Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

чения в уравнение (а),	найдем
— M l \ i)o/6 = — M gl/2, откуда		со0 =	3g//.
Задача 140. Шкивы	Л и д , соединенные	ремнем	(рис. 311), вращаются

после выключения двигателя так, что шкив А имеет угловую скорость o v Общий вес шкивов Я, а вес ремня р. Чтобы затормозить вращение, к шкиву А радиусом R прижимают с силой Q тормозную колодку; коэффициент трения колодки о шкив /, Пренебрегая трением в осях и считая шкивы сплошными дисками, найти, сколько

оборотов сделает	шкив	А до остановки.
Р е ш е н и е .	Для	определения искомого числа оборотов N 0t	воспользу
емся уравнением	(51)
		Г 1- Г 0= 2 Л -	(а)

При вычислении кинетической энергии надо всегда иметь в виду, что кинети ческая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в нее тел.

По условиям задачи 7’1= 0 , а Т0= Т Т д + Гр. Учитывая, что начальные скорости

всех точек ремня V p^uioR ^aor, где to0 и г — начальная угловая скорость и радиус шкива В, найдем по формулам (43) и (8):

= J /сои/2 = (P^/?5/4g) а>о, Tf) — J

— (Pn/^g) / - W = (PB/4g) У?*о>о»

T P = Pvlo/28 = p R H / 2 g .

Последнее равенство следует из того, что все точки ремня движутся с одной и той же по модулю скоростью. Окончательно, так как Я д + Я д = Я , получаем

T0= (P + 2 p )R W 0Ag.

Вычисляем работы сил. В данном случае работа сил тяжести равна нулю, так как центры тяжести колес и ремня при движении системы не перемещаются. Сила трения FTf—fQ. Ее работу найдем по формуле (47')

A Tf=-(JQR)-4>l = —fQR-2nNo6.

Подставляя все найденные значения в уравнение (а), получим окончательно

», . (P + p)R<d No6~ ‘ T x g f Q ' -

Задача 141. Тележку тянут вверх по наклонной плоскости е углом на клона а= 30°, приложив к ней постоянную силу Q=160 Н (рис. 312). Вес платформы тележки Я = 180 Н, вес каждого из четырех ее сплошных колес р—20 Н. Определить: 1) какую поступательную скорость будет иметь тележка, пройдя путь 1=4 м; если ио= 0 ; 2) с каким ускорением движется тележка. Качение колес

происходит без			скольжения;		сопротивлением		качению	пренебречь.	(51)
Р е ш е н и е .			1. Для определения vt воспользуемся					уравнением
					T y - T ^ Z A t .				(а)
В	данном случае			7’0= 0 ,	а	7’1= 7'пл+ 4 7 ’КОд. Тележка движется			поступа
тельно,	а	кинетическая		энергия		сплошного катящегося колеса была вычислена
в задаче		136 (см. § 121); следовательно,
			Т , = Pv\l2g +			4 (3pvj/4g) =	(Р -f 6p)vl/2g.

Работу совершают сила Q и сила тяжести Я,, равная Я + 4р. Работа силы трения, препятствующей скольжению, и нормальных реакций плоскости равна нулю (см. § 122). Вычисляя, находим:

A (Q) = Q4,- А = (Я,) — — (Я + 4p) hc = - (Я + 4р) I sin а .

Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем

<Я+6рК2/2£=[(2-(Я -Н р)з1п « 1 1,

(б)

311

откуда

р1 = j / ~ W l Q - (p + 4P)sin g l ^ 2 8 м/с.

2. Для определения ускорения а, поскольку нами уже получено равенст во (б), поступим следующим образом: будем считать в равенстве (б) величины о и I (параметр, определяющий положение всей системы) переменными. Тогда,

продифференцировав по времени обе части равенства, найдем

[(Р + 6p )/g l» - g ^ = lQ — (Я+ 4р) sin a] - j j .

Но dl/dt=v, a dw/dt=a. Окончательно, сокращая на v, получим

Q — (Р - f Щ sin а ■ п

°— Р + ' б р ------- £ = °.98 м/с*.

Обращаем внимание на использованный в этой задаче прием определения ускорения с помощью теоремы об изменении кинетической энергии.

Задача 142. На цилиндрический каток радиусом R и массой М намотана нить, перекинутая через блок О (рис. 313) и несущая на конце груз D массой т. Определить, какую скорость гс будет иметь центр С катка, пройдя путь s, если ос0= 0.. Найти, чему равно ускорение ор этого центра. Коэффициент трения каче ния катка равен *, радиус инерции катка относительно его оси равен рс . Массой

нети и блока О пренебречь.
Р е ш е н и е . 1. Для определения скорости i'c воспользуемся	уравнением
T - T t = X A k‘ .	(а)

В данном случае 7’в= 0 , а Г = 7 ,К1Т+ 7 д , причем по формулам (42), (44) и (4)

TD = mv})/2, TKtr = Mvb/2-\- Mpba>*/2.

Так как точка В является мгновенным центром скоростей, то (o=vc/R и vD=* *=vx=2vc . Следовательно,

Т = [4m + М ( I - f р?:/Я•)] vb/2.

Работу совершают сила Q=mg и пара N, Р (P=Mg). Поскольку »д=2Ор, то перемещением. груза D будет h=2s, где s — перемещение центра С катка, и

A (Q)=mg-2s. Работу сил сопротивления качению вычисляем		по формуле (48'),
так как N—P= M g= const.	Тогда
2 A i = 2mgs— (k/R) Mgs.
Подставляя найденные значения в уравнение (а), получим
[4m +A f ( 1+	p i/* » )] vb/2 = (2mkM/R) gs,	(б)
откуда
	2g (2m/? - кМ) Rs
	4 m R * + M (R * + p t)’

312

2. Для определения ас , как и в предыдущей задаче, дифференцируем обе части равенства (б) по t. Окончательно, учитывая, что ds/d/=t'c, найдем

(2mR - кМ) Rg

ас = 4тЯ2+М(/?2 + р*.) *

Задача 143. Шестерня 1 радиусом г и массой тх, насаженная на кривошип 2 длиной 0 С = / и массой т 2 и связанная с ним спиральной пружиной, может ка

таться по неподвижной шестерне 3 радиусом R=
= 1—г (рис. 314). Момент, действующий со сторо
ны пружины, Мпр-с а , где а — угол				поворота
шестерни / относительно кривошипа. Пренебре
гая трением в осях, найти период колебаний, ко
торые будет совершать кривошип, если его вы
вести из положения равновесия. Механизм рас
положен в	горизонтальной плоскости.
Р е ш е н и е .		Будем определять	положение
кривошипа	углом	<р, отсчитываемым от положе
ния равновесия. Чтобы исключить неизвестную
реакцию оси С, рассмотрим шестерню				/ и кри
вошип как одну систему и составим			дифферен
циальное уравнение ее движения с помощью
уравнения (49).
Сначала	вычисляем кинетическую			энергию
Т системы, выражая ее через угловую				скорость
<i>Kp кривошипа (так как мы ищем закон движе
ния кривошипа). Получаем
	Т — Тър-\-Тш — J OKp^Jp/S-f-mxvcl2-y Jсшшш/2.				(а)

Считая кривошип однородным стержнем, а шестерню — диском и учитывая, что точка касания является для шестерни / мгновенным центром скоростей, найдем, что

J,OkP= « j* , /3, JCiu = mirt/2,

^с= “крЛ шш= г с//-=<окр//л.

Подчеркиваем, что в формулу (44), по которой вычисляется Тш, входит абсо лютная угловая скорость шестерни, а не ее относительная скорость поворота по отношению к кривошипу. Подставляя все найденные значения в равенство (а), получим окончательно

T = (9ml + 2mt) /*coJp/l2 .

(б)

Теперь вычисляем элементарную работу. Внешние силы в данном случае работу не производят; следовательно, сМ*=0. Элементарная работа силы упру гости пружины (внутренняя сила), когда шестерня повернута вокруг кривошипа на угол ос, равна d ^ = —Afnpd a = —cada (знак минус потому, что момент направ лен в сторону, противоположную углу поворота шестерни). Поскольку мы ищем

закон движения кривошипа, то выразим угол а через							<р. Так	как aj)= axb, то
Rif= га	или	(V—г)<р=«х, откуда
		а = [ ( / —г)/г]ф		и	ЛА‘= —с [(/—г)/г] ф dq).
Составляя		теперь	уравнение	dT= dA‘,		получим
		[(9/Л! +	2ота) /*/6] Q)Kp'do)Kp=			—с [(/ — г)Чгг\ ф d9 .
Но	так	как				dcoк р
		dф— ^ dt — ci)Kp dt,				dcoк р	d ^ . .
		dф— ^ dt — ci)Kp dt,			a dcoMp— • dT~		*d7r	’

то окончательно, после сокращения на d/t найдем следующее дифференциальное уравнение движения системы:

£.+N>=0,	где А*=	6с (/-!■)*
		(9mj -j- 2m*) rtl

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением гармони ческих колебаний (см. § 94). Следовательно, кривошип, выведенный из положения равновесия, будет совершать гармонические колебания, пернод которых

_ 2 я	lr	9mt + 2m,
~ k=	~ r	У -----6?---- •

Решенная задача показывает, как может использоваться теорема об изме нении кинетической энергии для составления дифференциального уравнения движения системы, положение которой определяется одной координатой (здесь углом <р).'

Задача 144. Трос, имеющий длину I и массу т , , намотанный на барабан массой т» несет на конце груз массой т, (см. рнс. 300). Считая массу барабан» равномерно распределенной по ободу и пренебрегая толщиной троса и трением в оси (AfTр = 0), определить зависимость скорости о груза от длины х свешиваю

щейся частя троса. В	начальный мОмент времени 0 = 0 и приближенно х = 0 .
Р е ш е н и е . Д ля	определения искомой зависимости воспользуемся ’ урав
нением
	АТ = 2 (М*.	(а)
Поскольку груз,	все частицы троса и все точки	обода барабана движутся

с одной и той же скоростью о, то T —Mt?l2, где М —Ш у+ щ + щ . Кроме того, так

как вес свешивающейся	части троса	равен	(mig/l)x,	то	(m1gx/H~ffag)d
■ уравнение (а) примет	вид
	МА (и/2)= (mi// + ma)gdx.
Отсюда, интегрируя	и учитывая	что	при х—0	v=0,	получим

i»= У (mig/MI) jc*+ 2 (mtg/M) х.

| 126*. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ

В ряде случаев получить решение задачи с помощью одной из общих теорем не удается, но решение легко находится, если исполь зовать одновременно, например, две общие теоремы. Несколько та ких задач и рассматривается ниже.

Задача 14S. Горизонтальная трубка АВ, масса которой щ и радиус инер ции ржотносительно вертикальной оси Аг известны, вращается вокруг этой оси с угловой скоростью щ (рис. 315). В не

					который момент времени			находящийся в
					трубке шарик массой щ , чуть смещенный
					от точки А, начинает двигаться				без на
					чальной	скорости	вдоль	трубки.	Прене
					брегая	сопротивлениями,		найти	скорость
					v шарика относительно трубки как функ
			4 v		цию его расстояния х от оси Аг.
V Ki		I	4 v	I	Р е ш е н и е .		Рассмотрим		систему
\		1 р		I	трубка — шарик. Так как сопротивлення-
.		*		f Рг	ми (в том числе силами трения) здесь пре-
					небрегают, то при движении системы рабо-
'	»	. . .			та действующих на нее сил тяжести и ре-
	иис'				акций связей равна нулю. Следовательно,
					из уравнения (50)		получим T=Tt .

В момент t—0 шарик находится в точке А и его абсолютная скорость равна нулю. В прошвольный момент времени угловая скорость трубки равна ы, а ско рость шарика слагается из относительной, численно равной о, и ей перпендику лярной переносной, численно равной сох. Поэтому

T«**mipS»»/2, Т = + /п, (и*+ о)***)/2.

314

Подстановка этих	величин в равенство	Т = Т в дает
	иа = л г<во— (п2 + хг) ш2,	где n 2=	/nipl/m2.	(а)
Для определения неизвестной величины со воспользуемся теоремой моментов
относительно оси	Аг. Так как здесь. 2m I (/-\|)= 0 , то		/f=const=K q	или

mip|<o+т ах2ш=mip2(00,

откуда
	G)= /tJC00/("‘ +**)-			(б)
Подставляя это значение со в равенство		(а),	найдем окончательно
	пс°о*	-	л(0°	(в)
	V ifa + n3	У
Интересно отметить, что с увеличением х скорость стремится к предельному
значению	ипр=я<о0= у ^ m1/m2 ргЫо.
Задача	146. Однородный сплошной круговой цНлиндр массой m и радиусом г,

находящийся в наивысшей точке цилиндрической поверхности радНусом R и чуть смещенный из этого положения, начинает катиться вниз без начальной скорости (рис. 316). Найти, при каком значении угла 0 цилиндр оторвется от поверхности; обе поверхности абсолютно шероховаты (имеют насечку).

Р е ш е н и е . Отрыв произойдет в точке, где реакция N поверхности обра тится в нуль. Чтобы найти значение N, воспользуемся теоремой о движении центра масс, составив уравнение (16) в проекции на главную нормаль Сд к траектории центра масс С. Получим, учтя, что центр С движется по окружности радиуса

R+r,

maCn= ZFkn или mi’c/(R-\-r) = mg cos 0 — N.

(a)

Для определения vc воспользуемся теоремой • об изменении кинетической энергии. Так как Г0= 0 , а значение Т для катящегося цилиндра было найдено

в задаче 136 (см. § 121) и равно 3mvc/4, то

3m t£/4= mg (/?+/•)(!—cos0).

(б)

Подставляя отсюда значение mvc в уравнение (а), найдем

<V=mg (7 cos G—4)/3.

Следовательно, отрыв произойдет в точке, определяемой равенством

cos 0= 4/7 (0«55°).

Положение точки отрыва, как и величина' N, от значений R и г не зависят. Задача 147. К ползуну / массой mt , который.может перемещаться по гладким горизонтальным направляющим, шарнирно прикреплен стержень 2 длиной I и массой т г (рис. 317). В начальный момент времени стержень отклоняют до

315

Источник: https://studfile.net/preview/16461005/

Смотрите также:

2029
7.Методичка УГНТУ
Kramer_S_-_Shumery_Pervaya_tsivilizatsia_na_Zemle-1
lab05
Sb96067
T1
zaslavskiy_s_e_politicheskie_partii_rossii_problemy_pravovoy
Аксаков К.С.. «Разговор» Ив. Тургенева
АКТ списания счетчиков
Анализ ассортимента и структуры выпуска и реализации продукции