Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

1. Определение К г. У любой точки тела, отстоящей от оси вра­ щения на расстоянии hk, скорость vk=wKk (соj — угловая скорость

тела). Следовательно, для этой точки т г (mhvk) = mkvhhh= mkhlas. Тогда для всего тела, вынося общий множитель со за скобки, получим

Заметим еще, что формула (32) сохранит свой вид и в случае поворота тела вокруг мгновенной оси вращения 01 с угловой ско­

ростью со, так как при этом поле скоростей точек тела будет в дан­ ный момент времени таким же, как при вращении вокруг неподвиж­ ной оси. Таким образом,

2*. Определение К х и К и. Для определения К х вычислим величину mx(vk) так же, как вычисляется момент силы; при этом используем формулы (47) из § 28, заменив в них F на v. Тогда

Но согласно формулам (77')_из § 62 oky=a>xk, икг=0 (последнее сразу видно

из рис. 295); следовательно, mx(vk)= —хкгка>. В результате, вынося общий мно­ житель ш за скобки, найдем

К х= 2/п*(mkvk) = — (S m ^ ft) ш = — /хга,

так как сумма, стоящая в скобках, представляет собой центробежный момент инерции J xt (см. § 104). Аналогичное выражение получится для К у, где всюду вместо хк войдет ук. Окончательно

центра О, лежащего на оси вращения Ог, представляет собой вектор Ко, проекции которого на оси Охуг определяются формулами (32) и (34). В общем случае, как

видим, вектор К о не направлен по оси вращения Ог. Но если ось Ог будет для точ­ ки О главной осью инерции тела (в частности, осью симметрии), то J XZ= J у*=0. При этом К х—К у=0 и К о = К х. Следовательно', если тело вращается вокруг оси, являющейся для тонки О главной осью инерции тела (или вокруг оси симметрии

тела), то вектор Ко направлен вдоль оси вращения и численно равен Кж, т. е. У,со.

§ 116. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ГЛАВНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ (ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ)

Теорема моментов, доказанная для одной материальной точки (см. § 85), будет справедлива для каждой из точек системы. Следо­ вательно, если рассмотреть точку системы с массой т к, имеющую

скорость vh, то для нее будет

Й о (т А^*)] - «о (F%) + т 0(F‘k),

где F% и F lk — равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на данную точку.

Составляя такие уравнения для всех точек системы и склады­ вая их почленно, получим

-^-[2/л0 (т ку*)] = 2m0(F£) + 2m0(F„! ).

Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна

м е н т о в для системы: производная повремени от главногомомента количеств движения системы относительно некоторогонеподвижного центра равна сумме моментов всехвнешнихсил системы относитель­ но того оке центра.

Проектируя обе части равенства (35) на неподвижные оси Охуг,

Уравнения (36) выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.

Доказанной теоремой широко пользуются при изучении враща­ тельного движения тела, а также в теории гироскопа и в теории удара. Но значение теоремы этим не ограничивается. В кинематике было показано, что движение твердого тела в общем случае слага­ ется из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Если за полюс выбрать центр масс, то поступательная часть движения тела может быть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вра­ щательная — с помощью теоремы моментов. Это показывает важ­ ность теоремы для изучения движения свободного тела (летящий самолет, снаряд, ракета; см. § 132) и, в частности, для изучения плоскопараллельного движения (см. § 130).

Практическая ценность теоремы моментов состоит еще в том, что она, аналогично теореме об изменении количества движения, позво­

292

ляет при изучении вращательного движения системы исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.

Т е о р е м а м о м е н т о в о т н о с и т е л ь н о ц е н т р а масс* . Чтобы применять теорему моментов к изучению плоскопараллельного движения или движения свободного твердого тела, надо найти вы­ ражение этой теоремы для движения систе­ мы относительно центра масс. Пусть Охуг— неподвижные оси, по отношению к которым движется рассматриваемая механическая система, а Сх'у'г' — оси перемещающиеся поступательно вместе с центром масс С этой системы (рис. 296), при этом оси

все уравнения динамику можно составлять в осях Сх'у'г' так же, как в неподвижных, если к действующим на каждую из точек си­

стемы силам Fek и F* прибавить переносную силу инерции FJJ пер (кориолисовы силы инерции в данном случае равнц нулю, так как оси Сх'у'г' движутся поступательно). Следовательно, уравнение (35) в осях Сх'у'г' примет вид

поскольку сумма моментов внутренних сил относительно любого центра равна нулю. При этом величина К.с вычисляется по формуле

где vl — скорости точек системы по отношению к осям Сх'у'г'. Найдем значение последней суммы в равенстве (37). По опре­

делению, F* пер=—mha„ пеР. Так как оси Сх'у'г' движутся поступа­ тельно, то для любой из точек В* системы ак пер=ас; следовательно,

Fk ntv=—mhac и mc ( F ^ p)= ^ X (- т кЪс)= - т ^ Х а с. Тогда, вы­ нося общий множитель ас за скобки и учитывая, что по формуле

(Г) 2 т кл*=М г 'с , получим

2тс (^пер) = — (2тАГ;) Xflc= - М7'с хас=О,

так как точка С является в системе осей Сх'у'г' началом координат и г 'с = 0. В результате равенство (37) дает

(38)

Сравнивая этот результат с уравнением (35), приходим к выводу, что для осей, движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема моментов относительно центра масс сохраняет то т же вид, что и относительно неподвижного центра. Точно так

293

же для моментов относительно осей Сх'у'г' из (38) получаются урав­ нения, аналогичные уравнениям (36).

Заметим, что в любой другой подвижной системе отсчета будет

или г'сФ0, или не будут равны нулю кориолисовы силы инерции и уравнение моментов не будет иметь вид, совпадающий с (35).

$ 117. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ГЛАВНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ

Из теоремы моментов можно получить такие следствия.

1. Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю

2 т 0(Л*) = 0.

Тогда из уравнения (35) следует, что при этом /С0=const. Таким образом, если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к системевнешних сил равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этого центра будет численно и по направлению постоянен. Приложение этого результа­ та к случаю движения планеты было рассмотрено в § 86.

2. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их моментов относительно некоторой неподвижной оси Ог равна нулю

Im t (FD = 0.

Тогда из уравнений (36) следует, что при этом /C2=const. Таким образом, еслисумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этой оси будет величи­ ной постоянной.

Эти результаты выражают собой закон сохранения главного мо­ мента количеств движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить главный момент количеств движения системы'не могут.

С л у ч а й в р а щ а ю щ е й с я с и с т е м ы . Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей через центр масс) оси г. Тогда по формуле (32) K Z= J ZM . Если в этом слу­

чае hmz(Fek)=0, то

/ гю=const.

Отсюда приходим к следукйцим выводам:

а) если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то J z~ =const и, следовательно, co=const, т. е. твердое тело, закрепленное на оси, вращается в этом случае с постоянной угловой скоростью; б) если система изменяема, то под действием внутренних (или внешних) сил отдельные ее точки могут удаляться от оси, что вы­ зывает увеличение J t, или приближаться к оси, что приведет к уменьшению J z. Но поскольку y zto=const, то при увеличении мо-

294

мента инерции угловая скорость системы будет уменьшаться, а при уменьшении момента инерции — увеличиваться. Таким обра­ зом, действием внутренних сил можно изменить угловую скорость системы, так как постоянство К г не означает вообще постоянства <о.

Рассмотрим некоторые примеры.

а) О п ы т ы с п л а т ф о р м о й Ж у к о в с к о г о . Для демонстрации закона сохранения момента количеств движения удобно пользоваться простым прибором, называемым «платформой Жуковского». Это круглая горизонтальная платформа на шариковых опорных подшипниках, которая может с малым тре­ нием вращаться вокруг вертикальной оси г. Для человека, стоящего па такой

платформе, 2mt(F%)—0 и, следовательно, J zio=.const. Если человек, разведя руки в стороны, сообщит себе.толчком вращение вокруг вертикальной оси, а за­ тем опустит руки, то величина J г уменьшается и, следовательно, угловая ско­ рость вращения возрастет. Таким способом увеличения угловой скорости широко пользуются в балете, при прыжках в воздухе (сальто) и т. п.

Далее, человек, стоящий на платформе неподвижно (Kt =0), может повергуться в любую сторону, вращая вытянутую горизонтально руку в противопо­ ложном направлении. Угловая скорость человека при этом будет такой, чтобы в сумме величина K t системы осталась равйой нулю.

б) Р а с к а ч и в а н и е к а ч е л е й . Давлением ног (сила внутренняя) человек, стоящий на качелях, раскачать их не может. Сделать это можно следую­ щим образом. Когда качели находятся в левом верхнем положении А9, человек приседает. При прохождении через вертикаль он быстро выпрямляется. Тогда массы приближаются к оси вращения г, величина У, уменьшается и угловая ско­ рость о скачком возрастает. Это увеличение ш приводит в конечном счете к тому, что качели поднимутся выше начального уровня Аа. В правом верхнем поло­ жении, когда ш=0, человек опять приседает 11 J z увеличивается, но о» остается равной нулю; при прохождении через вертикаль он снопа выпрямляется и т. д. В результате размахи качелей будут возрастать.

Происходящие при этом вынужденные колебания качелей называются пара­ метрическими, так как они совершаются не под действием периодически меняю­ щейся силы (см. § 96), а вследствие периодического изменения параметров систе­ мы: ее момента инерции и положения центра тяжести.

в) Р е а к т и в н ы й м о м е н т в и н т а . Если рассматривать корпус вер­ толета (вместе с двигателем), его винт и отбрасываемую массу воздуха.кыЦодну систему, то силы взаимодействия между двигателем и винтом и между винтом и воздушной средой будут для этой системы внутренними и не могут изменить ее суммарный момент количеств движения, равный до пуска двигателя нулю. Поэтому корпус вертолета должен начать вращаться в сторону, противополож­ ную направлению вращения винта и воздушной среды. Действующий при этом на вертолет вращающий момент называют реактивным моментом. Чтобы предот­ вратить реактивное вращение корпуса одновинтового вертолета, на его хвостовой части устанавливают соответствующий рулевой винт. У многовинтового вертолета винты делают вращающимися в разные стороны.

Появление реактивного момента можно использовать для эксперименталь­ ного определения вращающего момента авиационного двигателя, так как эти моменты равны друг другу по модулю, а реактивный момент можно измерить, установив двигатель с вращающимся винтом на соответствующих весах.

§ 118. РЕШ ЕНИЕ ЗАДАЧ

Теоремой моментов пользуются для изучения вращательного движения тел (см. § 128, 131, 132).

Закон сохранения момента количеств движения позволяет по величине или по скорости перемещения одной части системы опре­ делить изменение угловой скорости (или угол поворота) другой ее части. При этом из рассмотрения исключаются все наперед неизвест­

295