Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

горизонтального положения и отпускают без начальной скорости. Пренебрегая трением в оси шарнира, определить, какую скорость Uj будет иметь ползун в мо­ мент прохождения стержня через вертикаль.

Р е ш е н и е . Рассматривая систему ползун — стержень, применим к ней теорему об изменении кинетической энергии на перемещении, при котором стер­ жень приходит из положения АВ0 в положение АВ1. Получим, учтя, что 7"0= 0

Значение s можно было бы опять определить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, но в данном случае проще составить дифференциальное уравнение относительного движения груза [уравнение (56) из §91] в проекции на ось As. Так как подвижная система отсчета вместе с призмой перемещается

ffijs = m jgsln а —ma’ic o s a .

Подставив это значение m2s в равенство (а), найдем искомое ускорение призмы

а1х = х = —

nijg sin 2«

2(ml -|-/n,sln*a)‘

316

§126. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ

ИСИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ

Задачи, рассмотренные в предыдущих параграфах (и в § 89), удалось решить с помощью теоремы об изменении кинетической энер­ гии по той причине, что во всех случаях работу действующих сил можно было подсчитать, не зная заранее закона происходящего движения. Важно установить, каков вообще класс сил, обладающих этим свойством.

Работа на перемещении М хМ г силы F, приложенной к телу в точ­ ке М, вычисляется по формуле (44') из § 87:

Как уже было отмечено в § 89, вычислить стоящий справа ин­ теграл, не зная закона происходящего движения (т. е. зависимостей х, у, г от времени /), можно лишь в случаях, когда сила постоянна или зависит только от положения точки, т. е. от ее координат х, у, z. Такие силы образуют силовое поле (см. § 32). Так как сила опре­ деляется ее проекциями на координатные оси, то силовое поле зада­ ется уравнениями:

Но в общем случае и для вычисления работы таких сил надо в фор­ муле (54) перейти под знаком интеграла к одному переменному, т. е. например, знать зависимости y=fi (x) и г= /,(х ). Эти равенства, как известно, определяют в пространстве уравнение кривой, являю­ щейся траекторией точки М. Следовательно, в общем случае, ра­ бота сил, образующих силовое поле, зависит от вида траектории точки приложения силы.

Однако если окажется, что выражение, стоящее в формуле (54) под знаком_интеграла и представляющее собой элементарную рабо­

ту силы F, будет полным дифференциалом некоторой функции U(x, у, г), т. е.

dA=dU(x, у, г) или Fx dx+ F v d y+ F z dz=dU(x, у, г), (56)

то работу A {MiMa) можно вычислить, не зная заранее траекторию точки М.

Функция U от координат х, у, z> дифференциал которой равен элементарной работе, называется силовой функцией. Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенци­ альным силовым полем, а силы, действующие в этом поле,— потен­ циальными силами. В дальнейшем силовую функцию считаем одно­ значной функцией координат.

317

где U1—U(x1, уи 2,) и U , —U(Xi, y t, z2) — значения силовой функ­ ции в точках Мл и М , поля соответственно. Следовательно, работа потенциальной силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и от вида траектории движу­ щейся точки не зависит. При перемещении по замкнутой траекто­ рии Ui—Ux и работа потенциальной силы равна нулю.

Основным свойством потенциального силового поля и является то, что работа сил поля при движении в нем материальной точки за­ висит только от начального и конечного положений этой точки и ни от вида ее траектории, ни от закона движения не зависит.

Силы, работа которых зависит от вида траектории или от закона движения точки приложения силы, называются непотенциальными.

Ктаким, силам относятся силы трения и сопротивления среды. Если установлено, что соотношение (56) имеет место, то силовая

функция находится из равенства

V = J &А + С или U — ^(Fx d.t + Fu dy + Fx dz) + C. (58)

Постоянная С здесь может иметь любое значение (как видно из формулы (57), работа от С не зависит). Однако обычно условливают­ ся считать в некоторой точке О, называемой «нулевой точкой», ве­ личину Uо—0 и определяют С'исходя из этого условия.

Известными нам примерами потенциальных сил являются силы тяжести, упругости и тяготения (см. § 88). Покажем, что для полей этих сил действительно существуют силовые функции, и найдем их выражения. Поскольку под знаком интегралов, из которых в § 88 были получены формулы (47), (48) и (50), стоят элементарные ра­ боты соответствующих сил, то придем к следующим результатам,

тикально вверх, d/4 = —Pdz, откуда, считая U= 0 при 2=0 (нуле­

где г = V хг + у* + г*.

318

Покажем, что, зная силовую функцию, можно определить силу, действую­ щую в любой точке поля. Из равенства (56), вычисляя дифференциал от функции

U (x ,y , г), получим

F 't o + F y & y + F '^ ^ & x + ^ j L & y + ^ A z .

Отсюда, приравнивая коэффициенты при djt, dу, dz в обеих частях равенства, при­ дем к такому результату:

Следовательно, в потенциальном силовом поле проекции силы на координатные оси равны частным_производным от силовой функции по соответствующим коор­

динатам. Вектор F, проекции которого определяются равенствами вида (60),

называют градиентом скалярной функции U (х, у, г). Таким образом, f= g ra d U. Из равенств (60) находим

Отсюда .следует, что если для данного поля существует силовая функция, то проекции силы удовлетворяют соотношениям:

Можно доказать справедливость и обратного вывода, т. е. что если равенства (61) имеют место, то для поля существует силовая функция V. Следовательно, усло­ вия (61) являются необходимыми и достаточными условиями того, что силовое пом является потенциальным.

Таким образом, если силовое поле задано уравнениями (55), то по усло­ виям (61) можно установить, является оно потенциальным или нет. Если поле

ностями равного потенциала. Если, как мы считаем, силовая функция является однозначной функцией координат, то поверхности уровня не могут пересекаться и через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. При лю­ бом перемещении Mt Mt вдоль поверхности уровня (Л = и г= С , и работа сил поля, как следует из уравнения (57), будет равна нулю. Поскольку сила при этом не равна нулю, то отсюда заключаем, что в любой точке потенциального силовогЪ поля QUO направлена по нормали к поверхности уровня, проходящей через »ту точки.

На рис. 319, а показаны две поверхности уровня U (х, у, z)= C 1, U (х, у, г)= = С г, а на рис. 319,6 — их сечение плоскостью, проходящей через нормаль Вп Если сила направлена в сторону, показанную на рисунке, то ее работа иа пере­ мещении ВВ1 будет положительна. Но по формуле (57) эта работа равна С ,—Ct.

Следовательно, Ct > C I( т. е. сила в потенциальном пом направлена в сторону возрастания силовой функции. Далее, работы силы Ft на перемещении ВВ’ и си­ лы Ft на перемещении DD' одинаковы, так как равны Ct—Cj. Но поскольку

319

Поясним сказанное примерами.

1. Для однородного поля сил тяжести (см. рис. 231), как видно из формулы (59), l/= cons(, когда z=const. Следовательно, поверхностями уровня являются

горизонтальные плоскости. Сила тяжести Р направлена по нормали к этим пло­ скостям в сторону возрастания U и во всех точках поля постоянна.

2. Для поля сил тяготения, согласно формуле (59*), U=const, когда r=const. Следовательно, поверхностями уровня являются концентрические сферы, центр которых совпадает с притягивающим центром.. Сила в каждой точке поля на­ правлена по нормали к соответствующей сфере в сторону возрастания U (убыва­ ния г), т. е. к ' центру сферы.

Если в потенциальном силовом поле находится с и с т е м а м а т е р и а л ь н ы х т о ч е к , то силовой функцией будет та­

т. е. дифференциал которой равен сумме элементарных работ всех действующих на систему сил поля.

| 127. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Для потенциального силового поля можно ввести понятие о потенциальной энергии как о величине, характеризующей «запас работы», которым обладает материальная точка в данном пункте силового поля. Чтобы сравнивать между собой эти «запасы работы», нужно условиться о выборе нулевой точки О, в которой будем услов­ но считать «запас работы» равным нулю (выбор нулевой точки, как и всякого начала отсчета, производится произвольно). Потенциаль­ ной энергией материальной точки в данном положении М называ­ ется скалярная величина П, равная той работе, которую произве­ дут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое

П — Ащоу

Из определения следует, что потенциальная энергия П зависит от координат х, у, г точки М, т. е. что П=П (х, у, г).

Будем в дальнейшем считать нулевые точки для функций П (х, у, г) и U (х, у, г) совпадающими. Тогда Uo=0 и по формуле (57) А ЛЮ= и а—U = —U, где U — значение силовой функции в точке М поля. Таким образом,

П(*, у, z)—— U (х, у, г),

т. е. потенциальная энергия в любой точке силового поля равна зна­ чению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.

320