Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Задача 162. По шероховатой цилиндрической поверхности радиуса R (ряс. 329) из положения, определяемого углом <р0, начинает катиться без сколь­ жения сплошной однородный цилиндр радиусом л Пренебрегая сопротивлением

Проведя касательную Ст к траектории цент­ ра С (в сторону движения этого центра)

н учтя, что для цилиндра J c =mr42, составим первое и третье из уравнений (72)

где о) — угловая скорость цилиндра.

Выразим все скорости через <р. Одновременно учтем, что в точке К находится мгновенный центр скоростей. Тогда, поскольку при качении цилиндра вниз <р

убывает и ф < 0 , будет:

»'с= — (Я— ')Ф. ю=с'С/г= —(R—г)ф/г.

При этих значениях vc и о> уравнения (а) примут вид:

Исключая из равенств (6) силу F, найдем окончательно следующее дифферен­ циальное уравнение, определяющее движение центра С:

ср+к2вт<р=0, где fc=2g/3 (R —r).

Поскольку очевидно, что при движении цилиндра <р< ср0, то, когда угол <р0 мал, можно приближенно принять sin <рх<р. Тогда получим известное диф­ ф е р е н ц и а л ь н о е уравнение гармонических колебаний.

В данной задаче при 1=0 ф = ф 0, а <р=0. Интегрируя уравнения (в) при этих начальных условиях, найдем следующий закон малых колебаний цилиндра:

Период этих колебаний

т = 2л/k — 2л У 3 (R — r)/2g.

В заключение найдем условие качения без скольжения, учитывая, что F < {S (см..§23). Значение F дает второе из равенств (б):

F = —m (R—r)ф/2.

Но согласно уравнению (в) <p=—/Лр и так как k*=2g!3(R—r), то окончательно

f= (m g /3)ф.

Теперь заметим, что при малом ф часть цилиндрической поверхности, по ко­ торой хатается цилиндр, можно рассматривать как часть горизонтальной пло­ скости и считать приближенно N = P= m g. Тогда неравенство F<JN дает

Так как наибольшее значение ф равно ф», то при рассматриваемых малых коле­ баниях качение цилиндра будет происходить без скольжения, когда ф«<ЗЛ

331

Задача 163. Тело весом Р опирается в точке В на пьезоэлектрический датчик прибора, измеряющего силу давления, а в точке А поддерживается нитью AD (рис. 330). При равновесии линия АС горизонтальна, а давление в точке В равно Q0. Вычислить, чему равен момент инерции Jc тела относительно оси, проходя­

Так как oCj/—0, то точка С начинает перемещаться по вертикали вниз, а точ. ка В скользит горизонтально (трение в опоре считаем малым). Восставляя перпен­ дикуляры к направлениям этих перемещений, находим, что мгновенный центрскоростей будет в точке К ■Следовательно, vc—Ьш. Дифференцируя это равен* стйо и считая в течение рассматриваемого элементарного промежутка времени b= const, получим ас^Ь г. Тогда первое из уравнений (а) дает

P 6e = ( P - Q 1)g.

Определяя отсюда е, найдем окончательно

7c = Q 16/e»=PQxfc*/(P-Q1)ff.

Полученный результат, можно использовать для экспериментального опре­ деления моментов инерции.

мобиль, начиная движение из состояния покоя, испытывает сопротивление воз­ духа, пропорциональное квадрату его поступательной скорости: Я=ци*. Момент трения в оси каждого колеса AfTp=const. Пренебрегая сопротивлением качению,

Кинетическая энергия автомобиля равна энергии кузора и колес. Учитывая* что Р — вес всего автомобиля, a v=for (так как скорость центра С колеса равна скорости v кузова), получим

как сопротивлением качению мы пренебрегаем, а работа сил трення F1 n F t колес

332

Этот результат можно получить сразу, приравняв нулю сумму работ всех сил. Цель предыдущих выкладок — показать, как составляется уравнение дви­

жения {б).

2. Для определения сил трения, действующих на каждое колесо, составим уравнения вращательного движения колес относительно их осей. Для двух веду­

щих колес, учитывая, что действующая на каждое из них сила трения Ft направ­ лена вперед (см. § 108, рис. 284), получим

2PPc'e/S — Мвр 2М Хр 2 F\f

Так как при качении zr—ac —a, то окончательно найдем

Действующая на каждое из ведомых колес сила трения Ft направлена назад. Следовательно, для ведомого колеса будет

РрУ/g ^ F tr — Л11р|

Из равенства (б) видно, что с увеличением скорости ускорение а убывает, стремясь к нулю, когда и стремится к t»np. Таким образом, сила трения, действую­ щая на ведущие колеса, при разгоне несколько возрастает и достигает наиболь­

няется незначительно.

На ведомых колесах сила трения имеет наибольшее значением момент начала движения, а затем убывает и при равномерном движении (а = 0) равна наимень­ шему значению Л1тр/л

Если коэффициент трения колес о грунт не будет достаточен для того, чтобы сила трения, могла принять значение Fy или Ft , то соответствующие колеса будут буксовать. Так как М вр много больше Мтр, то в первую очередь буксование угрожает ведущим колесам.

При выключенном двигателе все колеса являются ведомыми и на них вна­ чале будет действовать сила трения F = M TVlr. Действие тормозных колодок экви­ валентно увеличению момента М тр в осях, а следовательно, и силы трения, дейст­ вующей на каждое из колес, чем и ускоряется торможение автомобиля (см. § 108).

333

§131*. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПА

Рассмотрим однородное твердое тело с неподвижной точкой О, имеющее ось симметрии Ог и вращающееся вокруг этой оси с угло­ вой скоростью й, на много превышающей ту угловую скорость со, которую может иметь сама ось Ог при ее поворотах вместе с телом

Рис. 332

вокруг точки О; такое тело называют гироскопом. Ось Ог гироскопа, как ось симметрии, является одновременно его главной центральной осью Инерции (см. § 104).

Простейшим примером гироскопа является детский волчок (см. ниже рис. 335). В гироскопических приборах ротор гироскопа обычно закрепляют в так называемом кардановом (кольцевом) под­ весе, позволяющем ротору совершить любой поворот вокруг непод­ вижного центра подвеса О, совпадающего с центром тяжести ротора, (рис. 332). Такой гироскоп, как. и волчок, имеет три степени свобо­ ды *

Угироскопов, применяемых в технике, Q больше ш в десятки

исотни тысяч раз (£ф>ш), что позволяет построить весьма эффектив­

ную приближенную теорию гироскопа, называемую элементарной, или прецессионной, Исходят при этом из следующего.

В каждый момент времени абсолютная угловая скорость гиро­

скопа. (о1Й=£2+(о, а его движение, как движение тела, имеющего неподвижную точку О (см. §60), слагается из серии элементарных

поворотов с ЭТОЙ угловой скоростью СОав вокруг мгновенных осей вращения ОР (рис. 333). Но когда £2^><о, угол Р между векторами <оав и Q очень мал и практически можно принять, что <oi(S=Q, а ось ОР в любой момент времени совпадает с осью Ог гироскопа. Тогда кинетический момент Ко гироскопа относительно точки О можно

* Гироскоп на рис. 332 может совершать независимые друг от друга поворо­ ты вокруг оси Ог, оси Ох (вместе с кольцом 2) и оси Ог, (вместе с колыши 1). Подробнее вопрос о степенях свободы рассматривается в § 138.

334

тоже считать в любой момент времени направленным вдоль оси Ог и численно равным К г, т. е. J (см. конец § 115). В этом и состоит основное допущение элементарной теории гироскопа.

Таким образом, в дальнейшем будем считать

где J t — момент инерции гироскопа относительно его оси Ог, а

саму ось Ог и вектор Ко полагать все время направленными вдоль одной и той же прямой. Последнее позволяет находить, как изме­ няется со временем направление оси Ог гироскопа, определяя, как

изменяется направление вектора Ко- Установим, исходя из элемен­

так, что его центр тяжести неподвижен, а • ось может совершать любой поворот вокруг этого центра (см. рис. 332); такой гироскоп называют свободным. Для него, если пренебречь трением в осях под­

веса, будет 2 т 0 (/г*)=0 и ^ 0 =const, т. е. модуль и направление ки­ нетического момента гироскопа постоянны (см. § 117). Но так как

направления вектора Ко и оси Ог гироскопа все время совпадают, то, следовательно, и ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к инерциальной (звезДной)

* Чтобы проделать подобный опыт, французский ученый Ж . Фуко (1819— 1868) сконструировал в 1852 г. прибор, сходный с изображенным на рис. 332, ко­ торый он и назвал «гироскоп» (от греческих gyreuo — вращаюсь и вкореб — смот­

рю, наблюдаю).

335