Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИЯ

Физическим маятником называется твердое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести.

Изобразим сечение маятника плоскостью, перпендикулярной оси подвеса и проходящей через центр масс маятника С (рис. 324, а).

Введем обозначения: Р — вес маятника, а — расстояние ОС от центра масс до оси подвеса, J 0 — момент инерции маятника от­ носительно оси подвеса. Положение маятника будем определять уг­ лом ф отклонения линии ОС от

вертикали.

3 / Для определения закона коле-

Чбаний маятника воспользуемся диф-

\щательного движения (66). В данном случае М г= М 0= —Ра sin ф (знак минус взят потому, что при Ф>Ь момент отрицателен, а при ф< 0 — положителен) и уравнение

(66)принимает вид

Рис. 324

J 0ф= — Ра sin ф.

Деля обе части равенства на J0 и вводя обозначение

найдем дифференциальное уравнение колебаний маятника в виде

ф+£*81пф=0.

Полученное дифференциальное уравнение в обычных функциях не интегрируется. Ограничимся рассмотрением малых колебаний маятника, считая угол ф малым и полагая приближенно sin ф«ф. Тогда предыдущее уравнение примет вид

Ф+А*Ф=0.

Это дифференциальное уравнение совпадает по виду с дифферен­ циальным уравнением свободных прямолинейных колебаний точки и его общим решением по аналогии с равенством (68) из § 94 будет

ф=С15Ш kt+ C cos kt.

Полагая, что в начальный момент /= 0 маятник отклонен на малый угол ф=ф» и отпущен без начальной скорости (ш«—0), найдем для постоянных интегрирования значения Ct= 0 и С»=ф». Тогда закон

326

малых колебаний маятника при данных начальных условиях будет cp=(p0cos kt.

Следовательно, малые колебания физического маятника явля­ ются гармоническими. Период колебаний физического маятника, если заменить k его значением (67), определяется формулой

Как видим, для малых колебаний период от угла начального от­ клонения ф0 не зависит. Этот результат является приближенным. Если проинтегрировать составленное вначале дифференциальное

Отсюда, например, следует, что при ф0—-0,4 рад (около 28°) фор­ мула (68) определяет период с точностью до 1 %.

Полученные результаты охватывают и случай так называемого математического маятника, т. е. груза малых размеров (который будем рассматривать как материальную точку), подвешенного на нерастяжимой нити длиной /, массой которой по сравнению с мас­ сой груза можно пренебречь (рис. 324, б). Для математического маятника, так как он представляет собой систему, состоящую из одной материальной точки, очевидно, будет

у0= т />= (/>/£г)/3, а —ОС—1.

Подставляя эти величины в равенство (68), найдем, что период малых колебаний математического маятника определяется форму­

период колебаний математического маятника совпадает с периодом колебаний соответствующего физического маятника.

Длина /, такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника, называется приведенной длиной физического маятника. Точка АГ, отстоящая от оси подвеса на расстоянии ОК —lu называется цент­ ром качаний физического маятника (см. рис. 324).

Замечая, что по теореме Гюйгенса J 0 —J с-{-Ма2, мы можем при­

Отсюда следует, что расстояние ОК всегда больше, чем ОС=а т. е. что центр качаний маятника всегда расположен ниже его цент­ ра масс.

327

Из формулы (69') видно, что KC=Jr/M a. Поэтому, если поместить ось под­ веса в точке К, то приведенная длина 7, полученного маятника согласно (690 будет

lt= K C + Jc /(M -KC )= JclM a+ a=lv

Следовательно, точки К к О являются взаимными, т. е. если ось подвеса будет проходить через точку К, то центром качаний будет точка О (так как и пе­ риод колебаний маятника не изменится. Это свойство используется в так называе­ мом оборотном маятнике, который служит для определения ускорения силы тяжести.

Э к с п е р и м е н т а л ь н о е о п р е д е л е н и е м о м е н ­ т о в и н е р ц и и . Один из экспериментальных методов определе­ ния моментов инерции тел (метод маятниковых колебаний) основан на использовании формулы (68) периода малых колебаний маятника.

Пусть требуется определить момент инерции относительно оси Ог изображенного на рис. 325 тела (шатуна), вес которого Р изве­ стен. Подвесив тело так, чтобы ось Ог была горизонтальна, найдем с помощью секундомера период его малых колебаний Т. Затем ме­ тодом взвешивания (см. § 34, рис. 108) определим расстояние 0С=а. Подставляя все эти значения в формулу (68), получим

J 0t=PaT*/4nK

Если требуется определить момент инерции тела относительно оси Ох, проходящей через его центр тяжести, то тело можнр подве­ сить на двух жестко прикрепленных к телу штангах (стержнях) так, чтобы ось Ох была горизонтальна (рис. 326), и найти экспери­ ментально момент инерции JAB относительно оси АВ (величина а в этом случае наперед известна). После этого искомый момент инер­ ции вычисляется по теореме Гюйгенса: J OX—JAB — (P/g)ai-

§ 130. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Положение тела, совершающего плоскопараллельное движе­ ние, определяется в любой момент времени положением полюса и углом поворота вокруг полюса (см. § 52). Задачи динамики будут решаться проще всего, если за полюс принять центр масс С тела

(рис. 327) и определять положение тела координатами хс, Ус и углом ф.

328

На рис. 327 изображено сечение тела плоскостью, параллельной плоскости движения и проходящей через центр масс С. Пусть на

тело действуют внешние силы F[, F\, . . ., F%, лежащие в плоскости этого сечения. Тогда уравнения движения точки С найдем по теоре­ ме о движении центра масс

а вращательное движение вокруг центра С будет определяться урав­ нением (66), так как теорема, из которой получено это уравнение, справедлива и для движения системы вокруг центра масс. В резуль­ тате, проектируя обе части равенства (70) на координатные оси, получим:

Уравнения (71) представляют собой дифференциальные уравне­ ния плоскопараллельного движения твердого тела. С их помощью можно по заданным силам определить закон движения тела или, зная закон движения тела, найти главный вектор и главный момент действующих сил.

При несвободном движении, когда траектория центра масс из­ вестна, уравнения движения точки С удобнее составлять в проек­ циях на касательную т и главную нормаль п к этой траектории.

ния надо будет составить дополнительные уравнения, отражающие те условия, которые налагаются на движе­

ние тела связями (см. задачу 151 и др.). Часто уравнения несвобод­ ного движения будут составляться проще с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, которой можно воспользоваться вместо одного из уравнений (71) или (72).

Задача 161. Сплошной однородный круговой цилиндр скатывается по на­ клонной плоскости с углом наклона а (рис. 328). Определить ускорение центра цилиндра и наименьший коэффициент трения f цилиндра о плоскость, при кото­ ром возможно качение без скольжения, в двух случаях: 1) пренебрегая сопротив­ лением качению; 2*) учитывая сопротивление качению (коэффициент треня» ка­ чения к и радиус цилиндра R известны).

Р е ш е н и е . 1. Изображаем действующие на цилиндр силы: силу тяжести P=mg, наименьшую силу трения Т, при которой возможно качение без сколь­

329

жения, реакцию N плоскости, приложенную, когда сопротивление качению не учитывается, в' точке касания. Направим ось Ох вдоль наклонной плоскости а

Составляя другие два уравнения системы (71), учтем, что асх=ас и будем считать момент положительным, когда он направлен в сторону вращения цилин­ дра. Получим:

Уравнения (а) содержат три неизвестные величины ас, в и F (здесь нельзя считать F= fN , тай как это равенство имеет место, когда точка касания скользит вдоль плоскости, а при отсутствии скольжения может быть F<fN\ см. § 23). Дополнительную зависимость между неизвестными величинами найдем, учиты­ вая, что при чистом качении. vc—o>R, откуда, диф­ ференцируя, получим ac= tR . Тогда второе из ра­ венств (а), если учесть, что для сплошного ци­

линдра Ус = т /? 2/2, примет вид

macl2=F. (б)

Подставляя это значение F в первое из равенств (а), получим

Теперь находим из выражения (5)

Такая сила трения должна действовать на катящийся цилиндр, чтобы он ка­ тился без скольжения. Выше было указано, что F*zfN. Следовательно, чистое качение будет происходить, когда

(Я/3) sin а < /Я cos а или /^ ( tg а)/'3.

Если коэффициент трения будет меньше этой величины, то сила F яе может принять значения, определяемого равенством (г), и цилиндр будет катиться с про­ скальзыванием. В эгом случае ус и ш не связаны зависимостью vc=a>R (точка касания не является мгновенным центром скоростей), но зато величина Я имеет

Центр цилиндра в этом случае движется с ускорением ас, а сам цилиндр

вращается с угловым ускорением е, значения которых определяюгся равенства­ ми (д). _

2*. При учете сопротивления качению реакция N будет смещена в сторону движения на Величину k (расположена так, как ка рис. 308, б) и ее момент отно­ сительно центра С будет равен —kN. Тогда второй из уравнений (а) примет вид

После этою hs неравенства F ^ fN получим, что f должно иметь для обеспечения качения без скольжения значение /SsKtg ce)/3+2A/3/?j.

330