Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

где В — точка оси, совпадающая с концом вектора Ко- Отсюда, учитывая, что производная от вектора ОВ по времени равна скоро­ сти vB точки В, получаем

Равенство (74) выражает следующую теорему Резаля *: ско­ рость конца вектора кинетического момента тела относительно центра О равняется по модулю и по направлению главному моменту, внешних сил относительно того же центра. Следовательно, точка

В, а с нею и ось гироскопа, будет перемещаться по направлению век­

тора М 0■В результате находим, что если на ось быстро вращающе­ гося гироскопа подействует сила, то ось начнет отклоняться не в

сторону действия силы, а по направлению, которое имеет вектор Мо момента этой силы относительно неподвижной точки О гироскопа, т. е. перпендикулярно силе. Аналогичный результат имеет место и при действии на ось гироскопа пары сил.

Из равенства (74) следует, что когда действие силы прекра­ щается, то М 0= 0, а следовательно, и vB обращается в нуль и ось гироскопа останавливается. Таким образом, гироскоп не сохраняет движения, сообщенного ему силой. Если действие силы является кратковременным (толчок), то ось гироскопа практически почти не измекяет своего направлений **. В этом проявляется свойство ус­ тойчивости оси быстро вращающегося гироскопа, имеющего три

Допустим, что сила F (или пара сил F, F ', см. рис. 334) действует на гироскоп во все рассматриваемое время его движения, оставаясь в плоскости zOzi (такой силой может, например, быть сила тяжести). Так как по установленному выше ось Ог в сторону действия силы не отклоняется, то угол 0 = /jx O z остается все время постоянным, а

скорость vB — перпендикулярной плоскости zj0z. Следовательно, ось Ог гироскопа будет вращаться (прецессировать) вокруг оси Ozi

с некоторой угловой скоростью ю, называемой угловой скоростью прецессии. Найдем уравнение, определяющее со. Так как ось Ог

вращается вокруг оси 0гхс угловой скоростью со (см. рис. 334), то

* Анри Резаль (1,828— 1896) известный французский ученый, автор первого учебника но кинематике (1862), где кинематика излагается как самостоятельный раздел механики.

«Скорость» ид в формуле (74) имеет, конечно, размерность не длина / время,

•кинетический момент/время.

**Точнее ось .начнет совершать вблизи начального положения высокочастот­ ные колебания малой амплитуды, которые при наличии сопротивлений затухнут,

■ ось придет в положение, близкое к начальному (тем ближе, чем больше / жО).

336

Это уравнение является исходным приближенным уравнением элементарной (прецессионной) теории гироскопа. Из него следует, что ш/Cosin 0=Atfo. откуда

Чем больше J тем меньше со и тем большую точность дает эле­ ментарная теория * .

В качестве примера найдем угловую скорость прецессии волчка под действием силы тяжести Р (рис. 335). Введя обозначение ОС=а,

Аналогичную прецессию совершает земная ось, так как вслед­ ствие отклонения формы Земли от правильной шарообразной и нак­ лона ее оси равнодействующие сил притяжения Солнца и Луны не проходят через центр масс Земли и создают относительно этого цент­ ра некоторые моменты. Период прецессии земной оси (время од­ ного оборота) приблизительно 26 ООО лет.

ротором 3, закрепленным только в одном кольце 2, которое может вращаться по отношению к основанию 1 вокруг оси Ох (рис. 336). Такой гироскоп имеет по отношению к основанию две степени сво­ боды (поворот вокруг оси Ог и вместе с кольцом 2 — вокруг оси Ох) и его свойства существенно отличаются от свойств гироскопа с тре­ мя степенями свободы. Например, если толкнуть кольцо 2, то оно

* Процессия сопровождается еще так называемой нутацией — происходя­ щими с очень большой частотой малыми колебаниями оси Ог около ее среднего по­ ложения. В элементарной теории нутацня не учитывается.

начнет свободно вращаться вместе с ротором вокруг оси Ох, в то время как трехстепенной гироскоп на такие толчки практически не реагирует (см. п. 2). Не реагирует трехстепенной гироскоп и на вра­ щение основания, сохраняя неизменным направление своей оси Ог (см. п. 1). Рассмотрим, что в таком случае будет с двухстепенным гироскопом.

Допустим, что в некоторый момент времени основание 1 начи­ нает вращаться вокруг оси Огх (или любой другой ей параллель­ ной) с угловой скоростью со (со<^£2). Тогда, вращаясь вместе с осно­ ванием, гироскоп начнет совершать вынужденную прецессию во­ круг оси Ozy. При этом, согласно уравнению (75), на ротор 3 должен

действовать момент М 0—(лХК о, который, очевидно, могут создать

только силы F, F' давления подшипников А, А' на ось ротора, по­ казанные на рис. 336 пунктиром (сравни с рис. 334). Так как центр масс О ротора 3 неподвижен, то по теореме о движении центра масс

должно быть F + f ' = 0, и, следовательно, силы F, F1образуют пару.

Но когда подшипники действуют на ось ротора с силами F, F', то по третьему закону динамики и ось будет одновременно действо­ вать на подшипники А, А ' с такими же по модулю и противополож­

ными по направлению силами N, N'. Пара сил N, N' называется

гироскопической парой, а ее момент Afriip — моментом гироскопиче­ ской пары или гироскопическим моментом * . Поскольку момент

М п р противоположен М 0, то

Отсюда получаем следующее п р а в и л о Н . Е . Ж у к о в -

ск о г о: если быстро вращающемуся гироскопу сообщить вынужден­ ное прецессионное движение, то на подшипники, в которых закреп­ лена ось ротора^гироскопа, начнет действовать гироскопическая пара

смоментом Л4Г11р, стремяищяся кратчайшим путем установить ось ротора параллельно оси прецессии так, чтобы направления век­

торов Q и со совпали.

Под действием гироскопической пары кольцо 2 начнет вращаться вместе с ротором вокруг оси Ох; при этом угол 0, а, с ним момент

Mr,p будут,убывать, и когда станет 0=0, вращение кольца прекра­ тится.

Если кольцо 2 скрепить с основанием 1 жестко, т. е. так, чтобы оно не могло вращаться вокруг оси Ох, то у гироскопа останется од­ на степень свободы (поворот вокруг оси Ог).Н о и вэтом случае, если вращать основание вокруг оси Огь будет иметь место гироскопиче­

ский эффект и ось начнет давить на подшипники с силами N, N', значения которых, зная расстояние А А ', можно определить по фор­ мул? (77), если все величины, входящие в ее правую часть, будут тоже известны.

* Некоторые авторы применяют этот термин в другом смысле, называя ги­ роскопическим моментом момент сил инерции частиц гироскопа.

338

5. Н е к о т о р ы е т е х н и ч е с к и е п р и л о ж е н и е г и р о с к о п а . Гироскопы используются как основной элемент в очень большом числе гироскопи­ ческих приборов и устройств, имеющих самое разнообразное применение.

Трехстепенные гироскопы используют в целом ряде навигационных приборов (гирокомпас, гирогоризонт, курсовой гироскоп и др.), а также в устройствах для автоматического управления движением (стабилизации) таких объектов, как самолет (автопилоты), ракеты, морские -суда и др.

Рассмотрим в качестве примера простейшее устройство, где трехстепенной гироскоп используется как стабилизатор (прибор Обри, стабилизирующий движение мины в горизонтальной плоскости). Прибор содержит свободный гироскоп (см. рис. 332), ось которого в момент выстрела совпадает с осью торпеды, направленной на цель. Если торпеда в некоторый момент времени отклонится от заданного направления на угол а (рис. 337), то ось гироскопа,

г,

Цель

Рис. 337 Рис. 338

сохраняя свое направление на цель неизменным (по свойству свободного гироскопа), окажется повернутой по отношению к корпусу торпеды на такой же угол. Этот поворот с помощью специального устройства приводит в дейст­ вие рулевую машину. В результате происходит поворот руля в соответст­ вующую сторону, и торпеда выравнивается.

Прибор дает пример широко используемой индикаторной системы стаби­ лизации (стабилизатор непрямого действия), где гироскоп играет роль чувст­ вительного элемента, регистрирующего отклонение объекта от заданного положения и передающего соответствующий сигнал двигателю, который и осуществляет стабилизацию, возвращая объект в исходное положение (на­ пример, с помощью рулей).

Рассмотрим примеры использования двухстепенного гироскопа. Допу­ стим, что ротор этого гироскопа (рис. 338) помешен в кожух 2, связанный с основанием 1 жесткой пружиной, удерживающей ротор в положении, для которого угол /?= 7i/2 - 0 =O, и сохраняющей в дальнейшем этот угол малым. При вращении основания начнется под действием гироскопической пары поворот ротора, что вызовет увеличение угла /? и деформацию пружины. В результате начнет действовать момент kfi силы упругости пружины. При некотором р этот момент и момент гироскопической пары уравновесятся, т. е. будет kp= Jfla) или а>= kfj/Jfl. Таким образом, прибор служит гиротахомет­ ром, т. е. позволяет по значению угла /? определить угловую скорость объекта, на котором прибор установлен. Конкретным примером подобного прибора является авиационный указатель поворотов.

Примером использования двухстепенного гироскопа в качестве стабилизатора служит успокоитель качки. Он представляет собой вращающийся с угловой скоро­ стью П ротор 1 (рис. 339). Ось АА { ротора закреплена в раме 2, которая имеет свою ось вращения DDit скрепленную с корпусом судна. Когда на судно при волнении подействует момент М, он сообщит судну какую-то угловую скорость щ (вектор C0j направлен перпендикулярно плоскости чертежа). Тогда, согласно правилу Жуковского, рама вместе с ротором начнет вращаться вокруг оси DD\

ЗЭ9

2 2 *

с некоторой угловой схоростью со,, вследствие чего на подшипники D и О , станет

действовать гироскопическая пара N, N' с моментом Mr,p= /,Q cos, способст­ вующая уменьшению крена. Для повышения эффективности стабилизатора ис­ пользуют снабженный специальным регулятором двигатель, увеличивающий угловую скороств ш,, а с нею и стабилизирующий момент Afrip, и возвращающий раму в исходное положение, когда крен прекратится.

Успокоитель качки дает пример силовой гироскопической стабилизации (стабилизатор прямого действия),- где массивный гироскоп и регистрирует от­ клонение объекта от заданного положения, и осуществляет стабилизацию, а дви­ гатель играет лишь вспомогательную роль.

Рассмотрим в заключение пример определения гироскопических давлений на подшипники. Если судно, у которого ротор турбины вращается с угловой ско­ ростью (1 (рис. 340), совершает поворот с угловой скоростью ю, то на подшипники

Величины этих сил могут достигать десятков килоньютонов и должны учиты­ ваться при расчете подшипников.’ Через подшипники гироскопические давления передаются корпусу судна и у очень легкого судна могли бы вызвать при по­ вороте опускание хиля или носа. Подобный эффект может наблюдаться и у вин­ товыхсамолетов при виражах (поворотах в горизонтальной плоскости).

f132*. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

ИДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для составления дифференциальных уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку, необходимо найти выражение главного, момента количеств

движения Ко (кинетического момента) и кинетической энергии Т тела в этом

проекции на какие-нибудь три координатные оси Охуг. Чтобы получить соответст­ вующие формулы в наиболее простом виде, возьмем в качестве осей Охуг (см. ниже рис. 341) жестко связанные с телом главные оси инерции этого тела для точ­ ки О (см. § 104).

Начнем с вычисления Кх• По, аналогии с формулами (47) из § 28

тх ( т л7 » = т * (ykvk i— zkvky).

Но по формулам Эйлера [§ 62, формулы (77)]

v*i( ' “Л —а д , vkz= *>xVt—a>vxki

* Гироскопические давления на подшипники возникают и вследствие качк судна. Направления этих давлений будут, конечно, другими.

340