Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Отсюда видно, что при рассмотрении всех свойств потенциального силового поля вместо силовой функции можно пользоваться поня-

.тием потенциальной энергии. -В частности, работу потенциальной силы вместо равенства (57) можно вычислять по формуле

=—П,. (63)

Следовательно, работа потенциальной силы равна разности зна­ чений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и ко­ нечном ее полоясениях.

Выражения потенциальной энергии для известных нам потен­ циальных силовых полей можно найти из равенств (59) — (59” ),

Потенциальная энергия системы определяется так же, как и для одной точки, а именно: потенциальная энергия П механической системы в данном ее положении равна работе, которую произведут силы поля при перемещении системы из данного положения в нулевое,

При наличии нескольких полей (например, полей сил тяжести и сил упругости) для каждого поля можно брать свое нулевое по­ ложение.

Зависимость между потенциальной энергией и силовой функ­ цией будет такой же, как и для точки, т. е.

^ C^lt У\I • • •» -^п» Уп* Z„)= U (xi, У\, Z\ ,. . ., x nt y n, 2 n).

З а к о н с о х р а н е н и я м е х а н и ч е с к о й э н е р г и и . Допустим, что все действующие на систему внешние и внутренние силы потенциальны. Тогда

2Л Л= П0—

Подставляя это выражение работы в уравнение (50), получим для

Следовательно, при движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной, энергий системы в каждом ее положении остается величиной постоянной. В этом и состоит закон сохранения механической энергии, являющийся частным слу­ чаем общего физического закона сохранения энергии. Величина

Т+ П называется полной механической энергией системы, а сама меха* ническая система, для которой выполняется закон (65),— консер­ вативной системой.

Пример. Рассмотрим маятник (рис. 320), отклоненный от вертикали на угол ф0

иотпущенный без начальной скорости. Тогда в начальном его положении П0=

=P z 0 и 7’о=0, где Р — вес маятника; г — коор­ дината его центра тяжести. Следовательно, если

скую систему, на которую кроме потенциальных сил действуют не­ надежные а земных условиях силы сопротивления (сопротивление среды, внешнее и внутреннее трение). Тогда из уравнения (50) полу­ чим; Т—7’в=П*—n + i4* или

где А А— работа сил сопротивления. Так как силы сопротивления направлены против движения, тоЛд величина всегда отрицательная (Л ^О ). Следовательно, при движении рассматриваемой механи­ ческой системы происходит убывание или, как говорят, диссипация (рассеивание) механической энергии. Силы, вызывающие эту дисси­ пацию, называют диссипативными силами, а механическую систему, в которой происходит диссипация энергии,— диссипативной сивтемой.

Например, у рассмотренного выше маятника (рис, 320) благодаря трению в оси и сопротивлению воздуха механическая энергия будет со временем убывать, а его колебания будут затухать; это диссипа­ тивная система.

Полученные результаты не противоречат общему закону сохра­ нения энергии, так как теряемая диссипативной системой механи­ ческая энергия переходит в другие формы энергии, например в теплоту.

Однако и при наличии сил сопротивления механическая система может не быть диссипативной, если теряемая энергия компенсирует­ ся притоком энергии извне. Например, отдельно взятый маятник, как мы видели, будет диссипативной системой. Но у маятника часов потеря энергии компенсируется периодическим притоком энергии

339

извне за счет опускающихся гирь или заводной пружины, и маятник будет совершать незатухающие колебания, называемые автоколеба­ ниями. От вынужденных колебаний (см. § 96) автоколебания отли- чаются-тем, что они происходят не под действием зависящей от вре­ мени возмущающей силы и что их амплитуда, частота и период опре­ деляются свойствами самой системы (у вынужденных колебаний амплитуда, частота и период зависят от возмущающей силы).

Глава XXVI

ПРИЛОЖЕНИЕ ОБЩИХ ТЕОРЕМ К ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 128. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Рассмотрим приложения общих теорем динамики к задачам о движении абсолютно твердого тела. Так как изучение поступатель­ ного движения твердого тела сводится к задачам динамики точки, то начнем с рассмотрения вращательного движения вокруг непод­ вижной оси.

Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения г (рис. 321), действует система заданных сил F\, F\,_. . ■,_F%. Одно­

временно на тело действуют реакцйи подшипников RA и R B. Чтобы исключить из уравнения движения эти наперед не известные силы, воспользуемся теоремой моментов относительно оси г (см. §116).

=где М, = 2 т ,(П ) -

Будем в дальнейшем величину M z назы­ вать вращающим моментом.

Подставляя в Предыдущее равенство зна­ чение Kz—J z<*>. найдем

Уравнение (66) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного двиясения твердого тела. Из него следует, что произ­ ведение момента инерции тела относительно оси вращения на уг­ ловое ускорение равно вращающемуся моменту:

Равенство (66') показывает, что при данном М г чем больше мо­ мент инерции тела, тем меньше угловое ускорение, и наоборот. Сле­

довательно, момент инерции тела действительно играет при враща­ тельном движении такую же роль, как масса при поступательном, т. е. является мерой инертности тела при вращательном движении (см. § 102).

Уравнение (66) позволяет: 1) зная закон вращения тела, т. е. Ф =/(0, найти вращающий момент М г; 2) зная вращающий момент М г, найти ф= /(/). т. е. закон вращения тела, или найти его угло­ вую скорость со. При решении второй задачи следует иметь в виду, что в общем случае величина М г может быть переменной и зависеть

от t, ф и С 0 = ф .

Вместо уравнения (66) для изучения вращательного движения можно также пользоваться теоремой об изменении кинетической

ременно.

Уравнение (66) по своему виду аналогично дифференциальному уравнению прямолинейного, движения точки (см. § 77). Поэтому имеется аналогия и между самими названными движениями, и все результаты, получаемые для прямолинейного движения точки, бу­ дут справедливы и для вращательного движения твердого тела, если в них заменить соответственно силу F, массу т, координату х, ско­ рость v и ускорение а точки на вращающий момент М г, момент инер­ ции J г, угол поворота ф , угловую скорость со и угловое ускорение е вращающегося тела.

При решении задач уравнением (6б) целесообразно пользовать­ ся тогда, когда система состоит только из одного вращающегося тела. Если в системе кроме одного вращающегося тела есть еще дру­ гие движущиеся тела (см., например,, задачи 134, 140 и т. д.), то уравнение движения лучше составлять с помощью общих теорем или методов, изложенных в § 141 и 145.

В задачах, аналогичных задаче 134, следует иметь в виду, что

на барабан действует не сила Q, а натяжение веревки F, не равное Q, и уравнение (66) для барабана имеет вид j nB=Fr—M rv. Для его решения надо дополнительно определить силу F, составив уравне­ ние движения груза А, что удлиняет расчет.

Задана 149. Колесо массой т . вращается вокруг оси О с угловой скоростью о»о (рис. 322). В некоторый момент времени к колесу прижимается тормозная колодка с силой Q. Коэффициент трения колодки о колесо /, радиус колеса г. Пренебрегая трением в оси и массой спиц, определить, через сколько секунд

324

По начальным данным, при i=Q «о=<о0, следовательно, C1= /o w 0 и оконча­ тельно

Если понадобится найти число оборотов, сделанных колесом до остановки, то это проще сделать, не интегрируя еще раз уравнение (б), а применив теорему об изменении кинетической энергии.

Рис. 323

Задача 160. Вертикальный цилиндрический ротор, момент инерции которого относительно оси Ог равен Jz (рис. 323), приводится во вращение приложенным к нему моментом М вр. Найти, как изменяется при движении угловая скорость ротора ш, если Шо=0 , а момент сил сопротивления воздуха пропорционален <■>,

т.е. МС0Пр=цс1).

Ре ш е н и е . Дифференциальное уравнение (66) для вращающегося ротора

имеет вид (считаем положительными моменты, направленные в сторону вра­ щения)

г dm

1, -gj— Al.p-IUO.

Разделяя переменные и полагая \i!Jg= n t возьмем от обеих частей равенства соответствующие определенные интегралы, получим

шt

Г---------n [ d t.

Мвр -Ц0)

Отсюда

Окончательно найдем, что

Угловая скорость ротора со временем возрастает, стремясь к предельному виачению:

Согласно отмеченной выше аналогии эти результаты дают одновременно решение задачи о прямолинейном движении точки с массой т под действием

325