Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

во для сил, действующих не только на твердое тело но и на любую изменяемую механическую систему. Тогда на основании принципа Даламбера должно быть:

Введем обозначения:

Величины R и, М о представляют собою главный вектор и главный момент относительно центра О системы сил инерции. В результате, учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равны нулю, получим из равенств (86):

Применение уравнений (88), вытекающих из принципа Даламбе­ ра, упрощает процесс решения задач, так как эти уравнения-не со­ держат внутренних сил. По существу уравнения (88) эквивалентны уравнениям, выражающим теоремы об изменении количества дви­ жения и главного момента количеств Движения системы, и отлича­ ются от них только по форме.

Уравнениями (88) особенно удобно пользоваться при изучении движения твердого тела или системы твердых тел. Для полного изу­ чения движения любой изменяемой системы этих уравнений будет недостаточно, так же как недостаточно уравнений статики для изу­ чения равновесия любой механической системы (см. § 120).

■В проекциях на координатные оси равенства (88) дают уравне­ ния, аналогичные соответствующим уравнениям статики (см. § 16, 30). Чтобы пользоваться этими уравнениями при решении задач, надо знать выражения главного вектора и главного момента сил инерций.

В заключение следует подчеркнуть, что при изучении движения по отношению к инерциальной системе отсчета, которое здесь и рассматривается, силы инерции вводятся только тогда, когда для решения задач применяется принцип Даламбера *

§ 134. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИ

Сравнивая первое из равенств (88) с уравнением mac —^Fk, выражающим доказанную в § 107 теорему о движении центра масс

* В § 91 мы рассматривали силы инерции (переносную и кориолисову), кот рые вводятся для того, чтобы получить возможность составлять уравнения движе­ ния в неинерциальной системе отсчета в том виде, который они имеют в системе отсчета инерциальной. Здесь силы инерции вводятся для того, чтобы в инерциалъной системе отсчета получить возможность составлять уравнения движения в виде уравнений равновесия. Все эти силы инерции к категории физических сил, примеры которых были рассмотрены в § 76, не принадлежат.

346

(в этой главе массу системы обозначаем буквой т), найдем, что

т. е. главный вектор сил инерции механической системы (в частности, твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускоре­ ние центра масс и направлен противоположно этому ускорению.

что аналогичным будет соотношение для моментов относительно оси, получим:

(90)

Т. е. главный момент сил инерции механической системы (твердого тела) относительно некоторого центра О или оси г равен взятой со знаком минус производной по времени от кинетического момента си­ стемы (тела) относительно того же центра или той же оси.

П р и в е д е н и е с и л и н е р ц и и т в е р д о г о т е л а . Согласно результатам § 12, справедливым для любых сил, систему

сил инерции твердого тела можно заменить одной силой, равной R H и приложенной в произвольно выбранном центре О, и парой с мо­

ментом, равным Мо- Рассмотрим несколько частных случаев.

1. П о с т у п а т е л ь н о е д в и ж е н и е . В этом случае ус­ корения всех точек тела одинаковы и равны ускорению ас центра масс С тела (ah—ac). Тогда все силы инерции Fk——/прообразуют

систему параллельных сил, аналогичных силам тяжести p h=mkg, и поэтому, как и силы тяжести, имеют равнодействующую, прохо­ дящую через точку С.

Следовательно, при поступательном движении силы инерции

твердого тела приводятся к равнодействующей, равной R" и прохо­ дящей через центр масс тела.

2. В р а щ а т е л ь н о е д в и ж е н и е . Пусть твердое тело имеет плоскость материальной симметрии Оху и вращается вокруг оси Ог, перпендикулярной этой плоскости** (рис. 343,хде показано сечение тела плоскостью Оху). Если привести силы инерции к центру О, то вследствие симметрии результирующая сила и пара будут ле­ жать в плоскости Оху и момент пары будет равен М&г. Тогда, так как

*Нормальную составляющую силы инерции называют еще центробежной составляющей или центробежной силой инерции.

**Для тела произвольной формы, вращающегося вокруг неподвижной оси, пример приведения сил инерции дается в § 136.

347

где e — угловое ускорение тела.

Следовательно, система сил инерции такого вращающегося тела

приводится к силе R и, определяемой формулой (89) и приложенной в точке О (рис. 343), и к паре с моментом Мог, определяемым фор­ мулой (91), лежащей в плоскости симметрии

то, очевидно, система сил инерции тела приведется к лежащим в

плоскости симметрии силе, равной R “ и приложенной в центре масс С тела, и паре с моментом М£2= —Усг-е.

При решения задач по формулам вида (91) вычисляется модуль момента МЦ, а его направление, противоположное е, указывается на чертеже.

§ 135. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Принцип Даламбера дает единый метод составления уравнений движения любой несвободной механической системы. Им особенно удобно пользоваться для нахождения реакций связей, когда дви­ жение системы известно или может быть определено с помощью уравнений, не содержащих реакций, например с помощью теоремы об изменении кинетической энергии или уравнений, которые будут получены в § 141, Ц5. При этом из рассмотрения исключаются все наперед неизвестные внутренние силы. В случаях,, когда надо оп­ ределить реакции внутренних связей, систему следует расчленить

на такие части, .по отношению к которым искомые силы будут внеш­ ними.

Для одной несвободной материальной точки применение принци­ па Даламбера приводит к уравнениям, аналогичным тем, которые рассматривались в § 90 (6м. задачу 155).

Задача 155. Решить задачу 107 (см, .§90) с помощью принципа Даламбера. Р е ш е н и е . Изображаем груз в том положении, для которого надо найти

натяжение нити (рис. 344). На груз действуют сила тяжести Р и реакция нити Т.

Присоединяем к этим силам нормальную и касательную-силы инерции F” и 7? . Полученная система сил, согласно принципу Даламбера, будет находиться в рав­ новесии. Приравнивая нулю сумму проекций всех этих сил на нормаль М{0,

348

получим

T — P — Fn —0.

Так как F%=man=mu\ll, где — скорость груза в положении Ми то

T = P + I% = P + ihvl/l.

Таким образом^ мы получили для Г то же выражение, что и в задаче 107. Определяя теперь, как и в задаче 107, величину vx с помощью теоремы об измене­ нии кинетической энергии, найдем искомый результат.

Уравнение в проекции на касательную дает f ? = 0 . Этот результат получается потому, что в точке производная d u /d /= 0 , так как в этой точке модуль ско­ рости имеет максимальное значение.

Задача 158. Два груза весом Р* и Р , каждый, связанные нитью, движутся

по горизонтальной плоскости под действием силы Q, приложенной к первому грузу (рис. 345, а). Коэффициент трения грузов о плоскость /. Определить уско­

Прибавляем к этим силам силы инерции грузов. Так как оба груза движутся поступательно с одним и тем же ускорением, то по модулю

Fl = Plaig, Ft = Pta/g.

Направления сил показаны на чертеже. Силы трения равны:

F i4 P i, Ft= fP t.

Согласно принципу Даламбера полученная система сил должна находиться в равновесии. Составляя уравнение равновесия в проекции на горизонтальную ось, найдем

Q - /( P l+ P 2) - ( P 1+ P s)a/^= 0 .

Отсюда

e=[Q /(P 1+ P ,) —f]g.

Очевидно, грузы будут двигаться, если /< Q /(P i+ P t).

Искомое натяжение нити является в рассматриваемой системе силой вну­ тренней. Для ее определения расчленяем систему и применяем принцип Да­ ламбера к одному из грузов, например ко второму (рис. 345, б). На этот груз

действуют сила Р а, нормальная реакция Nt , сила трения F , и натяжение нити Т.

349

вес второго (заднего) груза. Поэтому, например, В'железнодорожном составе вы­ годнее в голове помещать более тяжелые вагоны, а в хвосте — более легкие.

Рассмотрим численный пример. Пусть Q=200 Н, P i=400 Н, Я2= 100 Н. Тогда движение возможно, если /< 0,4 . Натяжение нити при этом равно 40 Н.

няем к телам системы силы инерции (рис. 346). Груз А движется поступательно, и для него Ru=Qa/g=Qre!g. Силы инерции барабана приводятся к паре с мо­

ментом М'Ь, равным по модулю Jo-t= P fP dg и направленным противоположно

вращению (см. § 134). Составляя для всех сил условие равновесия в виде 2 mo(Fid=* = 0 , получим

|Л1&|+ Я,7 — Qr + AlIp=0

2! Рассматривая теперь груз А отдельно и присоединяя к действующим на него силам Q и Т силу инерции R*, получим из условий равновесия, что натяже­

Задача 158. Определить силу, стремящуюся разорвать равномерно вра­ щающийся маховик массой т, считая его массу распределенной по ободу. Радиус маховика г, а угловая скорость ш.

[ ]

Р е ш е н и е . Искомая сила является внутренней. Для ее определения раз­ резаем обод на две части и применяем принцип Даламбера к одной из половин

(рис. 347). Действие отброшенной части заменяем одинаковыми силами F', чис­ ленно равными искомой силе F. Для каждого элемента обода сила инерции (цен­ тробежная сила инерции) направлена вдоль радиуса. Эти сходящиеся в точке_0

равная 2г/п (см. § 35). Следовательно,

R a=mr<s?ln.

Условия равновесия дают 2F= RB и окончательно

F=mr(s?l2я .

350