Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

С помощью этой формулы можно найти предельную угловую скорость, при пре­ вышении которой маховику из данного материала грозит разрыв.

Задача 159. Однородный стержень АВ весом Р, закрепленный в точке А шарниром, отклоняют до горизонтального положения и отпускают без начальной скорости (рис. 348). Определить реакцию шарнира А как функцию угла ф.

Р е ш е н и е . Рассматривая стержень в произввльном положении, проводим оси Аху (перпендикулярйо стержню и вдоль стержня) и изображаем действующие

на стержень силу тяжести Р и реакции Х а . Уа - Пользуясь принципом Даламбера, присоединяем к этим силам силы инерции стержня, приведя их к центру А (см. § 134, п. 2). Тогда силы инерции будут представлены двумя составляющими

Rx и Rn главного вектора R" и парой с моментом Мд. При этом по формулам (89') и (91) модули этих составляющих и момента пары имеют значения:

где I — длина стержня; <о и е — его угловая скорость и угловое ускорение. Составляя для этой плоской системы сил уравнения равновесия ZF/,x=0,

Для определения величины ш, входящей в выражение /?", можно или проин­ тегрировать уравнение (в), или воспользоваться теоремой об изменении кинети­ ческой энергии. Избирая второй путь и учтя, что Т0= 0, получим: JАиР1%— ■=(Р//2) sin <р или (PPI3g)ai= PI sin <р, откуда

<|>*=(3g/t) sin ф.

При найденных значениях е и <о* равенства (а) дают:

R" = (ЗР/4) cos <р, ЛЯ = (ЗР/2)81пф.

Подставив эти величины в первые два из уравнений (б), найдем искомые реакции:

Х а =>0,25Р cos ф, К,» = 2,5Р sin ф.

В начальный момент времени (ф=0) X ,4=0,25Р , Y а —0. В мойеит, когда стержень проходит через вертикаль (ф=90°), Х д = 0 , Y A=2,5P,

Задача 160. Однородный стержень АВ длиной / и весом Р прикреплен шар­ ниром А к вертикальному валу, вращающемуся с угловой скоростью const

(рис. 349). Найти натяжение Т горизонтальной нити, удерживающей стержень под углом а к валу.

351

Р е ш е н и е. Пользуясь принципом Даламбера, присоединяем к действую­

щим на стержень внешним силам Я, Т, Х а , Y A силы инерции. Для каждого эле­ мента стержня с массой Дm центробежная сила инерции равна ДтаАс, где х — расстояние элемента от оси вращения Оу. Равнодействующая этих-распреде­ ленных по линейному закону параллельных сил (см. § 21) проходит через центр тяжести треугольника АВЕ, т. е. на'расстоянии h=(2//3) cos а от оси Ах. Так как эта равнодействующая равна главному вектору сил инерции *, то по фор­ муле (89)

Tl cos а —R 'h —Р (//2) sin а = 0 .

Подставляя сюда значения R* и й, найдем окончательно

sin a + 0 ,5 t g а ) .

Д р у г о е р е ш е н и е . Задачу можно решить, не пользуясь результатами §21, а вычисляя сумму моментов сил инерций относительно центра А непосред­ ственно путем интегрирования. Проведем вдоль стержня АВ ось А \. Для каж­ дого элемента d£ стержня с координатой | сила инерции будет oAtdm. Ее момент относительно центра Л равен —учРх&т. Тогда уравнение моментов'даст

н при предыдущем решении.

§ 136*. ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ОСЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА. УРАВНОВЕШИВАНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ

Рассмотрим твердое тело, вращающееся равномерно с угловой скоростью © вокруг оси, закрепленной в подшипниках А я В (рис. 350). Свяжем с телом вращающиеся вместе с ним оси Ахуг; преимущество таких осей в том, что по отношению к ним координаты центра масс и моменты инерции тела будут величинами постоянными.

Пусть на тело действуют заданные силы F[, F\, . , ., F*n. Обозначим проекции главного вектора всех этих сил на оси Ахуг через R‘x, RI, Rx (Rx=%Fix и т. д.), а их главные моменты относительно тех

• Из статики изв<?стно, что доя любой системы сил равнодействующая (если она существует) равна главному вектору этих сил._Следовательно, равнодейст­

вующая сил инерции, когда она существует, равна Ra, но при непоступательном

движении эта равнодействующая вообще не проходит через центр масс тела, что и имеет место в данном случае.

352

же осей — через Мех, М‘у, М г‘ [Mx= 2 m x(F‘k) и т. д.]; при этом, так как co=const, то Л1*=ч=0.

Для определения динамических реакций Х л , YA, ZA, Х в , Y B подшипников, т. е. реакций, возникающих при вращении тела, при­ соединим ко всем действующим на тело заданным силш и реакциям

Теперь, составляя согласно принципу Даламбера уравнения (88) в проекциях на оси Ахуг (или соответствующие им уравнения равно­ весия из § 30) и полагая АВ=Ь, получим

Х А ~h + R'x+ R" —0;

YA + YB+ Ry + Ку = 0;

-2д+ Я*+ R" — 0;

—Y J + Mi + M'^O-, Хд6 + Л1Л-Л1- = 0.

Главный вектор сил инерции R ”——тас, где т — масса тела [см. формулу (89)]. При <o=const центр масс С имеет только нормаль ное ускорение acn=u>*hc, где Лс -^ расстоя­

ние точки С от оси вращения. Следователь­ но, направление вектора R ■ совпадает с на­ правлением ОС. Вычисляя проекции R" на координатные оси и учитывая, что hccos а = х с, *csin а =ус, где хс н У с — ко­ ординаты центра масс, найдем:

/?£= /шо*Ас cos а = т(о*хс;

Ry = sin а = ггш>*ус; R%= 0.

Составляя такие выражения для всех точек тела, складывая их и вынося общин множитель за скобки, придем к равенствам:

ции *. Подставляя все найденные значения в равенства (92), полу* ЧИМ

х л + х в = — Rx— mxcи»; YA + Гв *= — flj—тусш \

ЛУ>= - M J — /„со*;

Уравнения (94) и определяют динамические реакции, действую­ щие на ось равномерно вращающегося твердого тела, если осью вращения является ось г.

Назовем статическими реакциями те значения реакций, которые дают уравнения (94), если в них положить (о=0. Как видно из урав­ нений (94), .динамические реакции могут вообще быть значительно больше статических, причем это зависит не только От значения со, но и от величин х с, Ус, 1*г> J Vt, характеризующих распределение масс тела по отношению к оси вращения Ог.

Однако из уравнений (94) видно, что наличие вращения не будет влиять на значения реакций подшипников А и В, если

Равенства (95) и (96) выражают условия того, что динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела, равны статичес­ ким реакциям или> как говорят, условия динамической уравновешен' ности вращающегося тела при его вращении вокруг оси г.

Условия (95) означают, что центр масс тела должен лежать на оси вращения, а условия (96) — что ось вращения должна быть главной осью инерции тела для начала координат А. При одновре­ менном же выполнении условий (95) и (96) ось Аг будет главной центральной осью инерции тела (см. § 104). Таким образом, динами­ ческие реакции, действующие на ось вращающегося тела, будут равны статическим, если ось вращения является одной аз главных централь­ ных осей инерции тела. Этот вывод остается справедливым и в слу­ чае, когда тело, вращается неравномерно.

Рассмотренная задача Позволяет одновременно уяснить механи­ ческий смысл величин J xz и J yz, а именно: центробежные моменты инерции J xt и J уг характеризуют степень динамической неуравно­ вешенности тела при его вращении вокруг оси г.

Динамическое уравновешивание вращающихся тел представляет собой важную техническую задачу, которая, как мы видим, сводит­ ся к определению главных центральных осей инерции тела. В § 104

* См. § 104, формулы (10). В равенствах (93) величины l x t, Jyt входят в вы­ ражения моментов центробежных сил инерций; этим можно объяснить появление термина «центробежный момент инерции».

354