Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

дулю R*= tno^n= (Plg)baP. Так как силы Р и Я* лежат в плоскости Оуг, то реак­ ции подшипников лежат в этой же плоскости, т. е. имеют составляющие Y А, 1А

в точке А и VB в точке В. Тогда, составляя на основании принципа Даламбера для всех действующих сил и сил инерции уравнения равновесия в проекциях на оси у и г и уравнение моментов относительно центра А, получим:

R » - Y A - Y B= Q, ZA- P = О,

Y B-2h— Pb— R«h = 0.

рены два одинаковых стержня, расположенных в одной плоскости на расстоянии л друг от друга (рис. 352); длина каждого из стержней 21, а масса т. Пренебрегая действием сил тяжести, найти динамические давления на вал, если он вращается

дого из стержней равны по модулю

Fi=Fi=ml<£>t

и образуют пару, которая уравновешивается парой сил Х А, Хв . Моменты этих пар по модулю равны друг другу. Следовательно, X Ab=F”h, откуда

X А ^ Х в = Fih/b —

Пара все время расположена в плоскости Аху, вращающейся вместе с валома Задача 1вЗ. Коленчатый вал одноцилиндрового двигателя несет на себе дводинаковых маховика А и В радиусом г=0,5'м . Рассматривая щеки и шейку ко лена вала как груз массой т = 2 1 кг, на

xc = mh/M, Jxl = mhb.

Последний результат следует из того, что центробежный момент инерции системы равен сумме центробежных моментов инерции ее частей, а для маховиков и при­

мыкающих к ним частей вала центробежные моменты Jx l равны нулю (ось Ог — ось симметрии).

Тогда,' как видно из уравнений (97), для присоединяемых грузов, координаты

Так как грузы располагаются на ободах маховиков, то гд = 0 , гд—1 и хА—хв = —г (при знаке плюс уравнения не имеют решений, следовательно, грузы должны быть снизу). Решая уравнения, найдем:

тА = (l— b) hmftrl) = 4,8 кг, ptB —bhmftrt) = 3,6 кг.

Присоединение этих грузов делает систему уравновешенной, а ось Ог — главной центральной осью инерции (но не осью симметрии) тела.

356

Глава XXVIII

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

§ 137. КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ

Введенное в § 3 понятие о связях охватывает не все их виды. По­ скольку рассматриваемые ниже методы решения задач механики применимы вообще к системам не с любыми связями, рассмотрим вопрос о связях и об их классификации несколько подробнее.

Связями называются любого вида ограничения, которые нала­ гаются на положения и скорости точек механической системы и вы­ полняются независимо от того, какие на систему действуют задан­ ные силы. Рассмотрим, как классифицируются эти связи.

Связи, не изменяющиеся со временем, называются стационар­ ными, а изменяющиеся со с временем — нестационарными.

Связи, налагающие ограничения на положения (координаты) точек системы, называются геометрическими, а налагающие ограни­ чения еще и на скорости (первые производные от координат по вре­ мени) точек системы — кинематическими или дифференциальны­ ми*.

Если, дифференциальную связь можно представить как геомет­ рическую, т. е. устанавливаемую этой связью зависимость между скоростями свести к зависимости между координатами, то такая связь называется интегрируемой, а в противном случае — неинтегрируемой.

Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи на­ зывают связями голономными, а неинтегрируемые дифференциаль­ ные связи — неголономными.

По виду связей механические системы тоже разделяют на голономные (с голономными связями) и неголономные (содержащие неголономные связи).

Наконец, различают связи удерживающие (налагаемые ими огра­ ничения сохраняются при любом положении системы) и неудержи­ вающие, которые этим свойством не обладают (от таких связей, как говорят, система может «освобождаться»). Рассмотрим примеры.

1.Все связи, рассмотренные в § 3, являются геометрическими (голономными)

ипритом стационарными. Движущийся лифт, изображенный на рис. 271, а, будет для лежащего в нем груза, когда положение груза рассматривается по от­ ношению к осям Оху, нестационарной геометрической связью (пол кабины, реали­

зующий связь, изменяет со временем свое положение в пространстве).

2. Положение катящегося без скольжения цилиндра (см. рис. 328) определяется координатой хс его центра С и углом поворота 9 . При качении выпол­ няется условие uc“*^ti> или ic —Лф. Этодифференциальная связь, нополученное уравне-

* По существу геометрические связи являются одновременно и кинематиче­ скими, так как продифференцировав уравнения, которым при геометрических связях должны удовлетворять координаты системы, найдем, что скорости при этом тоже связаны определенными зависимостями (см. ниже в примерах п. 2).

357

ние интегрируется и дает xc= R ff, т. е. сводится к зависимости между координа­ тами. Следовательно, наложенная связь годономная.

Заметим, что эту связь можно сразу считать геометрической, подчиняющей координаты зависимости xc=R<f. Но тогда отсюда найдем, что одновременно

и Х£=Яя>, т. е. что связь является и кинематической, 3. В отличие от цилиндра для шара, катящегося без скольжения пошерохова-

той плоскости, условие того, что скорость точки шара, касающейся плоскости, равна нулю, не может быть сведено (когда центр шара движется не прямолинейно) к каким-нибудь зависимостям между координатами, определяющими положение шара. Эго пример неголономной связи. Другой пример дают связи, налагаемые на управляемое движение. Например, если на движение точки (ракеты) нала­ гается условие (связь), что ее скорость в любой момент времени должна быть на­ правлена в другую движущуюся точку (самолет), то это условие к хакой-нибудь зависимости между координатами тоже не сводится и связь является неголо* номной.

4. В 9 3 связи, показанные на рис. 10—12, являются удерживающими, а на рве. 8 и 9 — иеудержявающими (на рис. 8 , а шарик может покинуть поверх­

$ <38. ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СИСТЕМЫ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Эффект механических связей можно учитывать, не только вводе их реакции, как это до сих пор делалось, но и рассматривая те пере-, мещения, которые точки механической системы могут иметь при на­ ложенных на нее связях. Такой путь позволяет сразу получать урав­ нения равновесия или движения системы, не содержащие наперед неизвестных реакций связей, что существенно облегчает решение многих задач механики.

Перемещения, о которых сказано выше, называют возможными

(или виртуальными) перемещениями. Они должны удовлетворять двум условиям: 1) быть элементарными, так как при конечном пере* мещении система может прийти ‘в положение, где эффект наложен­ ных связей будет другим; 2) быть такими, чтобы все наложенные в данный момент времени на систему связи сохранялись, иначе может измениться вид рассматриваемой механической системы.

Например, в кривошипно-полэунном механизме, изображенном ниже на рис. 356 (см. § 140), перемещение из показанного положения в положение, при котором <р=0 , нельзя рассматривать как возможное, так как при <р= 0 эффект наложенных связей будет другим, что, в частности, изменит условие равновесия

механизма под действием силы Р и пары с моментом М. Точйо так же нельзя считать возможным даже элементарное перемещение точки В шатуна вдоль ли­ нии АВ; оно было бы возможным, если в точке В вместо ползуна была бы качаю* щаяся муфта (рис. 161 в $ 57, муфта Q , т. е.' когда механизм был бы другим.

Таким образом, возможным-перемещением механической системы будем называть любую совокупность элементарных перемещений то­ чек этой системы из занимаемого в данный момент времени положе­ ния, которые допускаются всеми наложенными на систему связями.

При этом под допускаемыми в случае неудерживакнцих связей будем понимать те возможные перемещения, при которых связи сохраня­ ются (точки системы от связей не «освобождаются»).

35»

_ В дальнейшем следует различать действительное перемещение

dr движущейся точки, которое она совершает за элементарный про­ межуток времени d/, и возможное перемещение, которого точка не совершает, а только могла бы совершить, не нарушая наложенных на нее в данный момент времени связей.

Чтобы учесть это различие, будем возможное перемещение точки Обозначать символом бг * и изображать соответствующим элемен­ тарным вектором. При этом 6s будет обозначать модуль бг (6 s= |бг|), а бх, Ьу, Ьг — проекции Ьг на координатные оси; эти проекции рав­ ны элементарным приращениям координат точки при ее возможном перемещении и формально вычисляются так же, как дифферен­ циалы.

Отметим, что при стационарных связях действительное переме­

щение dr любой точки системы, которое тоже должно допускаться наложенными связями, совпадает с одним из возможных перемеще­

ний бг. При нестационарных связях dr ни с одним из возможных перемещений не совпадает.

Поясним это на приведенном в § 137 примере нестационарной связи (груз в лифте, см. рис. 271, а). Здесь для груза бг направлено вдоль А В , a dг слагается из перемещения вдоль АВ и перемещения вместе с лифтом, равного vAt_(v — ско­ рость лифта) и направленного перпендикулярно АВ; следовательно, dr образует

сАВ какой-то угол и ни с одним из бг совпасть не может.

Вобщем случае механическая система может иметь множество различных возможных перемещений. Однако для любой из систем, которые нами будут рассматриваться, можно указать некоторое число таких независимых между собой перемещений, что всякое

другое возможное перемещение может быть через них выражено. Например, для точки, находящейся на какой-нибудь плоскости

(поверхности), любое возможное перемещение бг вдоль этой плоско* сти можно выразить через два взаимно перпендикулярных перемеще­

ния 6rx и бга в виде бг=абг1+6бг1, где a n b — любые положитель­ ные или отрицательные числа.

Число независимых между собой возможных перемещений механи­ ческой системы называются числом степеней свободы этой системы.

Следовательно, точка, находящаяся на плоскости, имеет две сте­ пени свободы; одновременно ее положение на плоскости определя­ ется двумя независимыми координатами (координатами, каждая из которых может изменяться независимо от другой), например коор­ динатами х и у. Свободная материальная точка имеет три степени свободы (независимыми будут три возможных перемещения вдоль трех взаимно перпендикулярных осей); одновременно положение тйчки определяется тремя независимыми координатами х, у, г и •>. д.

Этот результат оказывается общим, т. е. у механической систе­ мы с геометрическими связями число независимых координат, опре­

* В математике символом «d» обозначается, как известно, дифференциал, а символом «6» обозначают так называемую вариацию функции.

359

деляющих положение системы, совпадает с числом ее степеней сво­ боды. Поэтому у такой системы число степеней свободы можно опре­ делять как по числу независимых возможных перемещений, так и по числу независимых координат. Так, у кривошипно-ползунного механизма (см. ниже рис. 356) одна степень свободы (у него одно не­ зависимое возможное перемещение, например поворот кривошипа ОА, и одна независимая координата, например уголф). У свобод­ ного твердого тела шесть степеней свободы (независимых перемеще­ ний — три поступательных вдоль координатных осей и три поворо­ та вокруг этих осей, а независимых координат — три координат^ полюса и три угла Эйлера).

§ 139. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Перейдем к рассмотрению еще одного принципа механики, кото­ рый устанавливает общее условие равновесия механической систе­ мы. Под равновесием (см. § 1) мы понимаем то состояние системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета (рассматри­ ваем так называемое «абсолютное» равновесие). Одновременно бу­ дем считать все наложенные на систему связи стационарными и специально это в дальнейшем каждый раз оговаривать не будем.

Введем понятие о возможной работе, как об элементарной работе, которую действующая на материальную точку сила могла бы совер­ шить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением

этой точки. Будем возможную работу активной силы F* обозначать символом 6Л* (6Ла= Р -бл), а возможную работу реакции N связи —

символом 6Ar(6Ar= N фг).

Дадим теперь общее определение понятия об идеальных связях, которым мы уже пользовались (см. § 123): идеальными называются связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом

Приведенное в § 123 и выраженное равенством (52) условие иде­ альности связей, когда они одновременно являются стайионарными, соответствует определению (98), так как при стационарных связях каждое действительное перемещение совпадает с одним из возможных. Поэтому примерами идеальных связей будут все при­ меры, приведенные в § 123.

Для определения необходимого условия равновесия докажем, что если механическая система с идеальными связями находится

360