Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Обозначим равнодействующие всех (и внешних, и внутренних) активных сил и реакций связей, действующих на какую-нибудь точ­

ку системы Bh, соответственно через F| и Nh. Тогда, поскольку

каждая из точек системы находится в равновесии, Fk+ N k= 0, а сле­ довательно, и сумма работ этих сил при любом перемещении точки Вк будет тоже равна нулю, т. е. 6Л*+бЛ£=0. Составив такие ра­ венства для всех точек системы и сложив их почленно, получим

+= 0.

Но так как связи идеальные, а бг* представляют собой возможные перемещения точек системы, то вторая сумма по условию (98) будет равна нулю. Тогда равна нулю и первая сумма, т. е. выполняется равенство (99). Таким образом, доказано, что равенство (99) выра­ жает необходимое условие равновесия системы.

Покажем, что это условие является и достаточным, т. е. что если к точкам механической системы, находящейся в покое, приложить

активные силы /•*, удовлетворяющие равенству (99), то система останется в покое. Предположим обратное, т. е. что система при этом придет в движение и некоторые ее точки совершат действительные

перемещения dr*,. Тогда силы F| совершат на этих перемещениях работу и по теореме об изменении кинетической энергии будет:

dr = 2 d /ll (di4S = Fl-dr*),

где, очевидно, d7^>0, так как вначале система была в покое; сле­ довательно, и 2di4J>0. Но при стационарных связях действитель­

ные перемещения dr* совпадают с какими-то из возможных переме­

щений 6о, и на этих перемещениях тоже должно быть 26Л£>0, что противоречит условию (99). Таким образом, когда приложенные силы удовлетворяют условию (99), система из состояния покоя выйти не может и это условие является достаточным условием равновесия.

Из доказанного вытекает следующий п р и н ц и п в о з м о ж ­ н ы х п е р е м е щ е н и й * : для равновесия механической системы с идеальными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма эле­ ментарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении. системы была равна нулю. Математически сформулированное условие равновесия выражается равенством (99), которое называют также уравнением возможных работ. Это равенство можно еще представить в аналитической форме (см. § 87):

* В форме, близкой к современной, но без доказательства этот принцип вы­ сказал знаменитый математик и механик (швейцарец по происхождению) Иогаин Бернулли (1667— 1748). В общем виде принцип впервые сформулировал и доказал Ж. Лагранж (1788 г.) Обобщение принципа на случай неудерживающих связей было дано М.В. Остроградским в работах 1838— 1842 гг.

361

Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие равновесия механической системы, не требующее рассмотрения рав­ новесия отдельных частей (тел) этой системы и позволяющее при идеальных связях исключить из рассмотрения все наперед неиз­ вестные реакции связей.

f 140. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Приступая к решению задачи, следут вначале определить число степеней свободы рассматриваемой системы (в частности, механиз­ ма), по числу независимых возможных перемещений или координат системы.

В плоских механизмах число степеней свободы можно практически опреде­ лять тай. Представим себе, что механизм движется. Если, остановив поступатель­ ное или вращательное движение какого-нибудь одного звена, мы одновременно останавливаем весь механизм, то он имеет одну степень свободы. Если после этого часть механизма может продолжать движение, но, когда затем будет остановлено перемещение какого-нибудь другого звена, механизм остановится, t q он имеет две степени свободы и т. д. Аналогично, если определить положение механизма какой-нибудь координатой и когда она постоянна, механизм не может двигать­ ся — у него одна степень свободы. Если же после этого часть механизма мо^кет двигаться, то выбирается вторая координата и т. д.

Для решения задачи геометрическим методом, когда система имеет одну степень свободы, надо: 1) изобразить все действующие на систему активные силы; 2) сообщить системе возможное переме­ щение и показать на чертеже элементарные перемещения 6sh точек приложения сил или углы бф* элементарных поворотов тел, на кото­ рые действуют силы (у элементарных перемещений будем на черте­ же указывать их модули 6s„, которые непосредственно входят в условия равновесия); 3) подсчитать элементарные работы всех активных сил на данном перемещении по формулам;

ЬА% = bsk— 6sA cos а* или 6ЛJ = m0 (f|) бфА (101)

и составить условие (99); 4) установить зависимость между вели­ чинами бsfc и бср*, вошедшими в равенство (99), и выразить эти ве­ личины через какую-нибудь одну, что для системы с одной степенью свободы всегда можно сделать.

После замены в равенстве (99) всех величн бsk, 6<ph через одну получим уравнение, из которого и найдется искомая в задаче ве­ личина или зависимость.

Зависимости между бsk и 6<pft можно находить: а) из соответ­ ствующих геометрических соотношений (задачи 164, 169); б) из кинематических соотношений, считая, что система движется, и определяя при данном положении системы зависимости между линейными vh или угловыми <ofc скоростями соответствующих точек или тел системы, а затем полагая 6sh= v kdt, 6<pfc=<ohctt, что справед­ ливо, так как получаемые точками или телами за время dt действи­ тельные перемещения будут при стационарных связях одними из возможных (иначе, здесь можно сразу считать зависимости меж-

362

ду возможными перемещениями такими же, как между соответствую­ щими скоростями, см. задачи. 165, 166 и др.).

Для системы с несколькими степенями свободы задачу можно решать, составляя условие (99) для каждого из независимых возмож­ ных перемещений системы и преобразуя его тем же путем. В ре­ зультате для системы получится столько условий равновесия, сколько она имеет степеней свободы. Другой метод решения, при­ водящий к тем же результатам, изложен в § 144.

При аналитическом методе расчета условие равновесия состав­ ляют в виде (100). Для этого выбирают координатные оси, связанные с телом, которое при возможных перемещениях системы остается неподвижным. Затем вычисляют проекции всех активных сил на выбранные оси и координаты xh, yh, zh точек приложения этих сил, выра&ая все координаты через какой-нибудь параметр (например, угол). После этого величины 6xh, byk, 6zh находятся дифференциро­ ванием координат xh, yh, zk по этому параметру.

Если все координаты xh, yh, zh выразить через один параметр сразу не удается, то надо ввести несколько параметров, а затем установить зависимость. между ними.

Отметим в заключение, что условиями (99) или (100) можно пользоваться для решения задач и при наличии трения, включая силу трения в число активных сил. Этим же путем можно находить реакции связей, если, отбросив связь, заменить ее соответствующей реакцией, включить последнюю в число активных сил и учесть, что после отбрасывания связи у системы появляется новая степень свободы.

Задача 164. В механизме, изображенном на рис. 354, найти зависимость

возможное перемещение, то все диагонали параллелограммов, образованных

(рис. 355). Трение катков о плоскость и бревно обеспечивает отсут­ ствие скольжения.

F 6sB— Q sin a -6 sg — 2Я Sin a - 6sc — О,

где 6SB — возможное перемещение бревна, совпадающее с перемеще­ нием точки В.

Точка касания К является мгновенным центром серостей катка. Следова­ тельно, vB~ 2vc и &sg=26sc , если считать 6sB—vgdt, 6sc = v c dt, Подставляя это значение 6sg в предыдущее уравнение, найдем окончательно

Р=(<Н~Я) sin a.

363

Задача 106. Найти зависимость между моментом М пары, действующей на

кривошип кривошипно-ползунного механизма (рис. 356), и силой давления Р на поршень при равновесии, если ОА—т, A B = l, Z ЛОВ=<р,

матическая задача была решена ранее (см. § 57, задача 63). Пользуясь/ получен­ ным там результатом, находим

Задача 167. Для редуктора, рассмотренного в задаче 83 (см. § 70), найти за­ висимость между'вращающим моментом МА, приложенным к ведущему валу А,

будет таким же, как пои равновесии. Следовательно, по условию (99), если по* ложить 6<p/)= o )/d /, бфд— wad/, будет:

М А = (в>в/®д) М д = (Пд/ПА) М д = 2,8Мд.

Задача 168. Найти зависимость между силами Р и Q в подъемном механизме, детали которого скрыты в коробке К (рис. 357), если известно, что при каждом повороте рукоятки А В (АВ=1) винт D выдвигается на величину Л.

Р е ш е и и е. Составляя условие равновесия (99), получаем

Р1&РАВ—Q6*0= 0.

Предполагается, что при равномерном вращении рукоятки винт вывинчи­ вается также равномерно, тогда

Подставляя это значение бфдя в предыдущее равенство, находим

Q=2nlPlh.

Заметим, что методами геометрической статики эту несложную задачу вообще нельзя было бы решить, так как детали механизма не известны.

Решенная задача показывает, каковы (принципиально) возможности при­ мененного метода. Но при конкретном инженерном расчете подобного механизма

необходимо будет, конечно, учесть трение между его деталями, для чего понадо­ бится знать, каков механизм,

364

Задача 169. Балка, состоящая из двух брусьев, соединенных шарниром С, несет нагрузку Я (рис. 358, а). Размеры балки и расположение опор показаны на чертеже. Определить силу давления на опору В, вызываемую заданной на­ грузкой.

Р е ш е н и е . Отбрасываем опору В и заменяем ее реакцией N g, численно равной искомой силе давления (рис. 358, б). Сообщив системе возможное пере­ мещение (у нее теперь появилась одна степень свободы), составляем условие (99)

NB 6sB— P 6sB= 0 .

Связь между 6sg и 6s£ находим из пропорций:

! ? - £ •

Следовательно,

Л Ь -Р а/А уЯ .

При применении метода геометрической статики решение оказалось бы более длинным (пришлось бы рассмотреть равновесие частей балки и ввести дополни­ тельно реакции других связей, а затем исключить эти реакции из полученной системы уравнений равновесия).

Задача 170. Горизонтальный брус 1 весом Я>, закрепленный в точке А шарниром (рис. 359), соединен шарниром В с брусом 2 весом Я,; концом С брус опирается на горизонтальный пол, образуя с ним угол а. Определить, при каком значении силы трения бруса о пол система будет в равновесии.

Р е ш е н и е . Изображаем действующие на систему силы f>lt Pt и силу тре­ ния F, включая ее в число активных сил; при этом силу Я , разлагаем на две составляющие, равные Я,/2 каждая и приложенные в точках В я С (обращаем

365