Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Кинетическая эвергня гироскопа определяется формулой (79”) из § 132. Считаем, как всегда, ось Ог направленной по оси симметрии гироскопа. Тогда Jx= J y и

Чтобы выразить Т в обобщенных координатах, воспользуемся кинематиче­ ским! уравнениями Эйлера (см. § 61):

wx = ^s1neslii4p4-6cos ф,

<о„=Ч>81пвсозф— ЙЯлф, « ,= ф -(-$ с о 8 0 .

И* m i уравнений

e>* + ® 5 = + ,sln *0 + 6, 1 coj=(<p-|-ij>cos 0)*.

Ледспмяя обе эти величины в равенство (б), найдем

т = Y V , <** sin* 0 + ё*) + Jt (ф+ cos ©)*].

Тогда учитывая, что /*(ф-Н£ cos 0)=У 1ш1, получим:

Для подсчета обобщенных сил обратимся к рис. 172. Если координате ф сооб­ щить приращение бф>0, то гироскоп совершит элементарный поворот вокруг оси Ог. Элементарная работа при таком повороте О.Д|=М*(мр, где Мг — главный мо­ мент всех действующих сил относительно оси Ог. Следовательно, QQ = M z.

.Аналогичным путем, учитывая, что при изменении угла ф гироскоп совершает поворот вокруг оси Огi, а при изменении угла в — вокруг линии узлов ОК,

найдем, что Q+ = M Zi, Q e-M 0K.

Подставляя все вычисленные величины в равенства (а), получим окончатель­ но следующие дифференциальные уравнения движения Гироскопа в форме Лагра­

проще, чем совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера. В частном случае, когда на гироскоп действует только сила тяжести ~Р, приложенная в какой-то точке С на оси Ог (см. рис. 172; точка С на нем не показана), и расстояние О С —а, а ось Ог, вертикальна, будет М ,= 0, М . = 0,

386

дают Л4г= 0 и ^ * ,= 0 , а из третьего уравнения, пренебрегая малой величиной, со­

Результат совпадает с тем, который дает элементарная теория гироскопа [см. § 131, формула (76)].

Глава X X X *

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ

§ 147. ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ

При определении условий равновесия механической системы воз­ никает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практи­ чески реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно выве­ сти из этого положения настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно мало­ го заданного отклонения. В противном случае равновесие называют неустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устой­ чивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову. Исходя из него, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника, изображенного на рис. 324, при <р=0 будет устойчивым, а при Ф=180° — неустойчивым.

Один общий критерий, устанавливающий достаточное условие устойчивости равновесия консервативной (см. § 127) системы, дает следующая т е о р е м а Л а г р а н ж а — Д и р и х л е : если потен­ циальная энергия консервативной системы имеет в положении рав­ новесия строгий минимум, то равновесие системыв этом положении является устойчивым.

В качестве доказательства ограничимся следующими рассуждениями. Для консервативной системы имеет место закон сохранения механической энергии, т. е. 74- n=const, где Т — кинетическая, а П — потенциальная энергия системы. Поэтому, если в положении равновесия П = П т |п, то когда система после малого возмущения придет в движение и будет удаляться от положения равновесия, зна­ чение П должно возрастать и, следовательно, Т будет убывать. Однако при воз­ растании П не может стать больше некоторой величины 111= П П)1П+Д П , которая

.получится, когда Т обратится в нуль. Учтя это, можно начальные возмущения, а с ними и значение ДП сделать столь малыми, что когда у системы П = П тш +ДП ее отклонение от равновесного положения будет меньше любого сколь угодно малого заданного. Отсюда и следует, что равновесное положение является устой­ чивым.

Даваемое теоремой условие устойчивости равновесия является лишь достаточным и не позволяет судить о том, что будет, если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума.

Рассмотрим отдельно случай равновесия консервативной системы, имеющей одну степень свободы. Пусть положение системы

определяется обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии <7=0. Согласно формулам (118') из § 144 в положении рав­ новесия (ЯШ<7)в= 0 . Кроме того, если П (q) имеет при q = 0 минимум, то (д,П/д<7* )* > 0 . Таким образом, при выполнении следующих усло­ вий (достаточных, но не необходимых):

(130)

« ? ) . > •

равновесие системы в данном положении ( q = 0) будет устойчивым. При решении задач, считая q малым, достаточно определять П(<7) с точностью до q%, так как члены с q* и выше в условия (130)

не войдут (при q= 0 обратятся в нули).

Задача 182. Определить, при каких условиях стержень AD (маятник), имею­ щий ось вращения в точке А , находится в устойчивом равновесии, когда он верти­

Где в П«=П(0) включены все постоянные величины (без выяснения, чему равно U*). Отсюда находим

ап

"Зф"-------(л1# //2) ф -)- (cxA.ii)— c,Xj0) h-f- (cj -f- ct) Л*ф.

что, конечно, можно было предвидеть заранее. Далее получим

388

1 148. МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, нахо­ дится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять поло­ жение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии q—0. Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы,

то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движе­ ния тоже оставаться величинами малыми. Для составления диффе­ ренциального уравнения движения системы воспользуемся уравне­ нием Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы ,П [(см. §143, формулы (115)), примет вид

(131)

Вообще это уравнение будет нелинейным, но его мбжно линеаризи­ ровать и тем самым существенно упростить, сохранив в уравнении малые величины q и q только в первой степени (первого порядка

малости; см. задачу 180 в § 146). Для этого значения T(q, q) и П (q) достаточно определить тоже приближенно. При этом, так как

т. е. с точностью до q* или q*.

Найдем сначала приближенное выражение Т (q, q). Для любой точки системы при станцнонарных связях

Тогда, вынося общий множитель q* за скобки, получим

так как производные drjdq, как и сами г*, являются функциями только q. Разложив F(q) в ряд Тейлора, получим

F fo)= F (0 )+ F '(0 to+ .

Так как Т надо определить с точностью до q*. то в этом разложении следует сохранить только первое постоянное слагаемое F (0). Тогда для Т получим выражение

389

Поскольку Т величина существенно положительная, то постоянный коэффициент а>0; его называют инерционным коэффициентом.

Размерность а зависит от размерности q\ в частности, а может иметь размерность массы или момента инерции.

Далее, разлагая П((7) в ряд Тейлора и учитывая, что в положении равновесия (дП/дд)0=0, найдем (с точностью до q*)

При этом по условиям (130) с Х ). В частном случае, если q — удли­ нение пружины, равенство (133) выражает потенциальную энергию поля сил упругости; поэтому коэффициент с называют квазиупругим коэффициентом (или обобщенным коэффициентом жесткости).

Из равенств (132) и (133) находим:

Подставляя эти величины в уравнение (131), получим следующее дифференциальное уравнение малых свободных колебаний системы с одной степенью свободы:

Это уравнение совпадает с известным уравнением свободных прямолинейных колебаний материальной точки (см. § 94) и его общее решение имеет вид

где А н а — постоянные интегрирования, определяемые по на­ чальным условиям. Частота и период этих колебаний согласно (134) определяются равенствами:

Установим, как при этом движутся точки системы. Разлагая ра­ диус-вектор rh (q) одной из точек системы в ряд Тейлора, получим

/Ч(<7)=гь(0)+гДО)<7+. . . Заменяя здесь q его значением (135), найдем, что с точностью до величин первого порядка малости

K (< 7 )-M 0 )| = K (0)| ,4sin (ft/ + a) (* = 1, 2......... п). (137)

Таким образом, точки системы тоже совершают малые колебания с частотой k и амплитудами \r'k(0)|Д. Из найденных результатов вытекают следующие с в о й с т в а м а л ы х к о л е б а н и й

си с т е м ы :

1)свободные (собственные) колебания системы являются коле­ баниями гармоническими; частота и период этих колебаний не за­

амплитуды колебаний точек системы, равные Л|/^(0)|, и начальная фаза а тоже зависят от начальных условий;

390