Материал: Кратные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика». Пантелеев И.Н
|
|
a2 - y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
a |
rd r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
òdy ò |
|
|
|
|
|
= |
ò dj ò |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a |
2 |
- x |
2 |
- y |
2 |
a |
2 |
- r |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
ay- y2 |
|
|
|
|
|
0 |
asinj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= - |
|
òdj |
ò (a2 - r2 )- |
|
d (a2 - r2 )= -ò |
(a2 - r2 ) |
|
|
|
|
dj = |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
asinj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
asinj |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= aòcosjdj = a sin j |
|
|
|
= a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Вычислить двойной интеграл: |
òò |
x2 + y2 - 9dxdy , где |
|||||||||||||||||||||||||||||||
область |
|
|
S |
|
|
|
|
|
ограничена |
|
|
|
S |
двумя |
окружно |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x2 + y2 = 9 и x2 + y2 = 25 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. Область интегрирования ограничена двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами r1 = 3 и r2 = 5. Переходя в интеграле к полярной системе координат будем иметь
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
5 |
|
|
|
|
òò |
x2 + y2 -9dxdy = ò djò r2 - 9rd r = |
||||||||||||
S |
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|||
|
1 |
2p |
2 |
3 |
|
|
5 |
64 |
2p |
|
128 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
ò |
(r2 - 9) |
|
|
|
dj = |
ò dj = |
|
. |
||||
2 |
|||||||||||||
2 |
0 |
3 |
|
|
|
|
3 |
0 |
|
p |
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Вычисление площадей плоских фигур и площади поверхности
1°. Площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, ограниченная областью D, находится по формуле
S = òòdxdy . |
(1) |
D |
|
16
Если |
область D |
определена |
неравенствами a £ x £ b , |
|||||||||||||||||||||
j (x) £ y £y (x) , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
y (x) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
S = òdx ò |
dy |
|
|
(2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a j(x ) |
|
|
|
||||||||||||
2°. Площадь плоской фигуры в криволинейных координа- |
||||||||||||||||||||||||
тах находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S òò |
|
I |
|
|
|
|
dudv , |
|
|
(3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
|
¶x |
|
|
¶x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
¶u |
|
|
|
¶v |
|
|
¹ 0 , в области G. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶y |
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
¶u |
|
|
|
¶v |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В |
частности, если |
область G |
задана |
в |
полярных |
|||||||||||||||||||
координатах |
и |
|
|
|
определена |
неравенствамиa £ j £ b , |
||||||||||||||||||
f (j ) £ r £y (j ), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
y (j) |
|
|
|
||||
|
S = òòrdjd r = òdj ò |
rd r . |
|
(4) |
||||||||||||||||||||
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a f (j ) |
|
|
|
|||||||
3°. |
Если |
гладкая |
|
|
|
|
поверхность |
задана |
уравнением |
|||||||||||||||
z = z (x, y ), то площадь поверхности находится по формуле |
||||||||||||||||||||||||
|
S òò |
æ ¶z ö2 |
|
|
æ ¶z ö2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
1+ ç |
|
|
÷ |
|
+ ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
dxdy , |
|
(5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
D |
è |
|
¶x ø |
|
|
è ¶y ø |
|
|
|
|
|||||||||||||
где D - проекция данной поверхности на плоскость Оху. |
|
||
Аналогично, если |
поверхность |
задана |
уравнением |
x = x (y, z ) , то |
|
|
|
17
S = òò |
æ |
¶x ö2 |
æ ¶x ö |
2 |
|
|||
1+ ç |
|
÷ |
+ ç |
|
÷ |
dydz |
(6) |
|
|
|
|||||||
D |
è |
¶y ø |
è |
¶z ø |
|
|
||
где D - проекция поверхности на плоскость Oyz; если поверхность
S = òò |
æ |
¶y ö2 |
æ ¶y ö2 |
|
||||
1+ ç |
|
÷ |
+ ç |
|
÷ |
dxdz |
(7) |
|
|
|
|||||||
D |
è |
¶x ø |
è |
¶z ø |
|
|
||
здесь D - проекция поверхности на плоскость Oxz.
3.1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) y = x, y = 4 x и x = 1 ; б) y = ln x, x - y =1, x = 0 и y = -2 .
Решение. а) Построим параболы и прямую (рис. 11.).
Рис. 11
Согласно формуле (2) имеем
1 |
4 x |
1 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
S = òdx ò |
dy = 3ò |
xdx = 2x |
2 |
|
|
= 2 . |
|
0 |
x |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
б) Построим область, ограниченную линиями (рис. 12).
18
Рис. 12
Поскольку область ограничена линиями, имеющими различный аналитический вид, то при вычислении площади ее следует разбить на две части прямойу =- 1. Вся площадь равна сумме интегралов
0 |
ey |
-1 |
ey |
0 |
-1 |
S = ò dy ò dx + ò dy ò dx = ò (e y - (1+ y ))dy + ò e ydy =
-1 |
1+ y |
-2 |
0 |
-1 |
-2 |
0
=æey - y - 1 -
ç 2 -2 2 e2
è ø -1
3.2.Вычислить площадь, ограниченную линиями:y2 ö÷ +ey -1 = 1 .
а) r = a (1- cosj ), r = a и расположенную вне круга.
б) (x2 + y2 )3 = x4 + y4 ;
Решение. а) Представим кардиоиду и круг на рис. 13.
Рис. 13
19
В силу симметрии относительно полярной оси достаточно найти половину искомой площади. Для этого воспользуемся формулой (4)
1 |
|
|
|
p |
a(1-cosj) |
|
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = òdj |
ò |
rd r = |
ò(a2 (1- cosj)2 -a2 )dj = |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
0 |
a |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 p |
|
|
|
|
a |
2 |
æ |
|
|
|
1 |
p |
ö |
|
|
= |
|
ò(-2cosj + cos2 j)dj = |
|
ç |
-2sinj |
p0 |
+ |
ò(1+cos 2j )dj ÷ |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
2 |
è |
|
|
2 |
0 |
ø |
|
||||||
|
a4 |
æ |
1 |
|
|
ö |
|
p |
a2 |
|||
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
çj + |
|
|
sin 2j |
÷ |
|
= |
|
p. |
||
4 |
2 |
4 |
||||||||||
|
è |
|
|
ø |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом S = |
1 |
pa2 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
б) Так как переменные x и y |
четных степенях, то фигура |
|||||||||||
симметрична относительно координатных осей. Запишем
уравнение линии в |
полярной |
системе |
координатx = r cosj , |
|||||||||||||||||||
y = r sin j : r6 |
= r4 (cos4 j + sin4 j ) |
|
или r2 |
= cos4 j + sin4 j . |
||||||||||||||||||
Для нахождения площади воспользуемся формулой (4) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
(cos4 j +sin4 j)2 |
|
1 |
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S = ò dj |
|
ò |
rd r = |
ò (cos4 j + sin4 j )dj = |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
2p |
( |
(1+ cos 2j )2 |
+ 1(- cos 2j )2 |
) |
dj = |
1 |
|
2p 1+ cos2 2j |
) |
= |
||||||||||
|
ò |
|
|
|||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
ò ( |
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
1 æ |
|
|
1 |
2p |
|
|
ö |
1 |
æ |
1 |
ö |
3p |
|
|
|
||||||
= |
|
ç 2p + |
|
(1+ cos 4j )dj ÷ |
= |
|
|
ç2p + |
|
|
|
2p ÷ = |
|
. |
|
|
||||||
4 |
2 |
4 |
2 |
4 |
|
|
||||||||||||||||
|
è |
|
|
ò0 |
|
|
ø |
|
è |
ø |
|
|
|
|||||||||
3.3. Вычислить площади, ограниченные линиями:
20