Момент инерции точки тела относительно оси O'Z' равен . Тогда момент инерции тела относительно этой же оси определится по формуле
но из рис. 33 следует, что а , поэтому
(167)
Рис. 35. К доказательству теоремы Гюйгенса
Так как ось OY лежит в плоскости, проходящей через центр масс C тела, то , поэтому и
(168)
Как видно, , поэтому из всех осей данного направления наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс тела.
9.5 Физический маятник
Физическим маятником называется твердое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести (рис. 34). P - вес маятника; - момент инерции относительно оси подвеса; - расстояние от оси подвеса до центра масс C маятника.
Дальше будет показано, что дифференциальное уравнение колебаний физического маятника (на основании рис. 34) имеет вид
(169)
Обозначая и ограничиваясь малыми колебаниями, когда , имеем
(170)
Рис. 36. Схема физического маятника
Это дифференциальное уравнение свободных колебаний точки и его общее решение имеет вид
(171)
Если при то и закон малых колебаний маятника при заданных начальных условиях запишется так
(172)
Следовательно, малые колебания физического маятника являются гармоническими. Период этих колебаний определяется по формуле
(173)
Как видно, для малых колебаний период от угла начального отклонения не зависит. При указанная формула определяет период с погрешностью до 1%.
9.6 Экспериментальное определение момента инерции тел
Подвесив тело так, чтобы ось подвеса OZ была горизонтальна, найдем период его малых колебаний . Затем методом взвешивания найдем положение центра масс C тела и величину (рис. 37, а). Тогда из формулы (173) будем иметь
(174)
Определение момента инерции по способу крутильных колебаний. Испытуемое тело подвешивается в центре масс на проволоке к неподвижной точке C (рис. 37, b).
Поскольку момент упругих сил проволоки пропорционален углу ее закручивания , то дифференциальное уравнение гармонических колебаний тела относительно оси CO имеет вид
(175)
где - момент инерции тела относительно оси OC.
Рис. 37. К определению момента инерции тела
Так как момент инерции тела во вращательном движении играет ту же роль, что и масса тела при поступательном движении, то период колебаний определяется по аналогичной формуле (173).
(176)
Для определения постоянной находят период крутильных колебаний эталонного тела на той же проволоке с известным моментом инерции относительно оси CO. Решая последнее уравнение относительно и приравнивая результаты, имеем
(177)
Откуда
(178)
9.7 Вращательное движение твёрдого тела и механической системы
Законы механодинамики позволяют описать все фазы вращательного движения твёрдого тела или их совокупностей, представляющих механическую систему, и проанализировать процесс генерации инерциальных моментов.
Методика применения законов механодинамики требует четкого учёта фазы движения или вращения материальных тел. Их три: ускоренное, равномерное и замедленное движение (вращение). Начальной фазой вращения ротора электромеханической системы, вращающейся за счёт энергии электродвигателя, является ускоренное вращение. Оно действует в течение короткого промежутка времени в момент начала его вращения, но мы не можем игнорировать роль этой фазы в формировании равномерного вращения системы (рис. 38).
Рис. 38. График изменения вращающих моментов, действующих на ротор электрогенератора при запуске его в работу и при равномерном вращении
Ускоренное вращение ротора электродвигателя обеспечивает активная ньютоновская сила, которая в этом случае формирует момент вращения ротора электродвигателя, поэтому у нас есть основания назвать его ньютоновским моментом . Ему сопротивляются все механические сопротивления и инерциальный момент (рис. 38). В соответствии с главным принципом механодинамики уравнение моментов, действующих на ускоренно вращающийся ротор электродвигателя и всей его нагрузки, запишется так
(179)
В момент начала вращения ротора его пусковой момент преодолевает сопротивления в виде моментов механических и рабочих сопротивлений и в виде инерциального момента . Сумма этих сопротивлений равна (рис. 38). Как только ротор начинает вращаться равномерно, то инерциальный момент становится положительным и не сопротивляется вращению ротора, а способствует его равномерному вращению (рис. 38). Равномерному вращению ротора сопротивляются: рабочая нагрузка, механические и аэродинамические сопротивления -.
На рис. 39 - экспериментальное доказательство достоверности описанного и - математической модели (179).
В соответствии с законами механодинамики, равномерное вращение ротора всегда следует после ускоренного вращения. Осциллограмма изменения пускового момента ротора убедительно доказывает это (рис. 39). Амплитуда первого импульса тока более 10А. Она больше средней амплитуды почти в 2 раза и это естественно, так как в этот момент вращению ротора сопротивляются не только механические моменты , но и инерциальный момент (рис. 39). Особо подчеркнём - инерциальный момент, а не момент инерции ротора.
Рис. 39. Осциллограмма пусковых значений напряжения и тока обмотки возбуждения ротора при питании от сети
Анализ осциллограммы на рис. 39, показывает, что величины амплитуд импульсов тока становятся одинаковыми, примерно, после 5-го импульса. Это значит, что равномерное вращение ротора, в данном случае, начинается после 5-го импульса.
Связь между кинетической энергией равномерно вращающегося тела и его мощностью следует из работы, совершаемой им при равномерном вращении за одну секунду
. (180)
Так как мощность генерирует момент сил, то его величина определяется по формуле
. (181)
Из формул (180) и (181) следует, что сумма моментов, действующих на вращающиеся тела, не может равняться нулю, что и доказывает ошибочность первого закона Ньютона.
Однако, для нас важнее фаза равномерного вращения, так как в ней скрыт весь многочасовый рабочий режим вращающейся механической системы. На рис. 38 моменты, приложенные к механической системе, вращающейся равномерно после короткой фазы ускоренного вращения. Равномерное вращение тела или механической системы описывает второй закон механодинамики, который гласит: равномерное вращение тела при наличии сопротивлений происходит под действием инерциального момента , а постоянный активный момент преодолевает моменты сопротивления вращению тела. Его математическая модель имеет вид
. (182)
Как видно (182), суммарный момент сопротивления вращению тела преодолевается не только активным приводным моментом , но и инерциальным моментом . В подобных уравнениях динамики Ньютона инерциальный момент отсутствует, а в механодинамике (182) присутствует. Величина инерциального момента зависит от момента инерции вращающегося тела и определяется по формуле
, (183)
где - угловое ускорение вращения тела в фазе его ускоренного вращения, оно определяется по формуле
. (184)
Поскольку - угловая скорость вращения ротора, то для определения углового ускорения и инерциального момента необходимо знать время ускоренного вращения ротора. Эта задача решается экспериментально.
Возникает вопрос: нельзя ли использовать инерциальный момент для совершения полезной механической работы? Инженеры многократно пытались сделать устройства для реализации этой идеи, но они оказывались ненадёжными и, как следствие, малоэффективными. Указанная идея получила своё воплощение лишь при импульсном использовании инерциального момента. Оказалось, что если его увеличивать импульсно и после этого разрывать связь вала электродвигателя с валом потребителя механической энергии с помощью обгонной муфты, то существуют режимы работы, при которых уменьшается расход электрической энергии на привод электродвигателя, оборудованного устройством импульсного увеличения инерциального момента (рис. 40).
Если в системе привода электродвигателя установить дисбалансы, то они будут генерировать импульсы моментов сил, которые импульсно увеличивают рабочий момент , равный суммарному моменту всех сопротивлений (рис. 38). Эти импульсы передаются всем вращающимся деталям. В результате импульсно увеличивается и инерциальный момент . Если в этот момент прервать механическую связь между электродвигателем и потребителем механической энергии с помощью обгонной муфты, то потребитель механической энергии будет вращаться некоторое время по инерции, а рабочий момент на валу электродвигателя уменьшится до величины момента его холостого хода (рис. 40). В результате электродвигатель некоторое время будет потреблять из электросети электроэнергию, только на холостой ход (рис. 40, а-b).
Рис. 40. Диаграмма изменения механических моментов вращающегося тела с дисбалансным приводом
Из рис. 40 следует, что наличие инерциального момента при равномерном вращении механической системы позволяет использовать его для экономии энергии подобно тому, как сила инерции равномерно движущегося автомобиля используется для экономии топлива. Для этого надо периодически отключать электродвигатель от нагрузки. Тогда и подача, и потребление электрической энергии будет импульсной. Эту задачу можно решить двумя способами: электрическим и механическим. Рассмотрим механический способ решения этой задачи.
Известно, что пусковой (ньютоновский) момент (рис. 40) при запуске электродвигателя в несколько раз больше рабочего момента . Это обусловлено тем, что пуск электродвигателя - ускоренное вращение, при котором этому процессу препятствуют не только механические и рабочие силы сопротивлений, но и инерциальный момент (рис. 40).
На рис. 40 показаны изменения моментов, вращающих механическую систему при переходе от пускового ускоренного вращения к равномерному вращению. После завершения ускоренного вращения начинается процесс равномерного вращения. Механические и рабочие силы сопротивления вращению, достигнув максимума, сохраняют свои величины, которые формируют постоянный момент механических и рабочих сопротивлений. Инерциальный же момент ведёт себя по другому. При переходе системы к равномерному вращению он меняет свой отрицательный знак на положительный и превращается в инерциальный момент, поддерживающий вращение электродвигателя, его привода и потребителя его механической энергии (рис. 40).
Нетрудно видеть (рис. 40), что инерциальный момент , препятствовавший ускоренному вращению электродвигателя, никуда не исчезает. Он изменяет свое направление на противоположное при переходе к равномерному вращению и после отключения электрической энергии, формирующей рабочий момент , инерциальный момент готов поддержать вращение электродвигателя. Такое вращение называется вращением по инерции.
В момент, когда импульс инерциального момента уменьшается до величины его среднего значения (рис. 40, точки К1, К2, К3…), обгонная муфта вновь включается и рабочий момент электродвигателя увеличится до своей прежней величины.
Итак, в процессе работы электродвигателя с дисбалансным приводом, появляются моменты времени полного освобождения электродвигателя от рабочей нагрузки (рис. 40, зоны 1, 2, 3…) и использование в эти моменты инерциальных импульсов для привода потребителя механической энергии.
Рис. 41. Центробежный усилитель мощности:
1 - электродвигатель; 2 и 3 - дисбалансы; 4 - шестерни, 5 - зубчатое колесо; 6 - неподвижная ось; 7 - обгонная муфта; 8 - подшипник; r - радиус вращения центра масс дисбаланса;
Описанная схема работы электродвигателя с дисбалансным приводом (рис. 41) испытана и запатентована российским изобретателем Линевич Э.И. Она дала положительные экспериментальные результаты по экономии электрической энергии.
А теперь представим математическое описание работы электродвигателя с дисбалансным приводом. Поскольку его работа начинается с ускоренного вращения, то его работа описывается первым законом механодинамики, который формулируется так: ускоренное вращение тела происходит под действием ньютоновского активного пускового момента и моментов сопротивления вращению в виде инерциального момента , и моментов механических сопротивлений. Математическая модель этого закона имеет вид
, (185)
Составляющие этой математической модели рассчитываются следующим образом.
, (186)
- сумма моментов инерции всех вращающихся деталей; - угловое ускорение вращения, которое определяется из формулы
, (187)
- начальная угловая скорость вращения, которая обычно равна нулю; - угловая скорость равномерного вращения; - время от начала вращения до перехода к равномерному вращению.
Из формулы (187) при , имеем
. (188)
Здесь - количество оборотов в минуту. - сумма моментов инерции всех вращающихся деталей определяется теоретически по специальным формулам, учитывающим массу детали, её геометрию и расположение относительно оси вращения.
Следующая составляющая закона ускоренного вращения - инерциальный момент . Он рассчитывается по формуле
, (189)
где - инерциальное замедление, генерируемое инерциальным моментом ; - сумма всех моментов механических и рабочих сопротивлений, которую можно принимать, с некоторыми допущениями, равной рабочему моменту электродвигателя при установившемся равномерном вращении. Величина инерциального замедления вращения двигателя определяется из формулы (189)