С учётом изложенного, проведём тщательный анализ процесса движения ползуна (рис. 11) при ускоренном вращении стержня. В этом случае на ползун действуют следующие силы: переносная сила , вектор которой направлен по нормали к стержню в сторону движения и равен нормальной реакции стержня на ползун; сила трения направлена противоположно движению ползуна относительно стержня. Она связана с нормальной реакцией через угол трения и коэффициент трения (). Результирующая сила силы трения и нормальной реакции образуют угол трения .
Решение. Известно, что ползун начнёт ускоренное движение вдоль стержня (вдоль оси ) лишь тогда, когда вектор результирующей силы отклонится от нормали на угол немного больший угла трения в сторону относительного движения ползуна. Превышение угла отклонения результирующей от угла трения (рис. 11) настолько незначительно, что отклонение результирующей от нормали в момент начала ускоренного движения ползуна можно принимать равным углу трения . Направление абсолютного ускорения , совпадает с направлением вектора результирующей силы .
Вторая составляющая результирующей силы , направленная вдоль оси ОХ, является относительной силой . Эта сила генерирует относительное ускорение . До нашего анализа считалось, что вектор этого ускорения направлен к центру вращения. Поскольку , в данном случае, - движущая сила, то вектор ускорения этой силы совпадает с направлением её действия, то есть вектор ускорения в данном конкретном случае направлен от центра вращения, а не к центру, как считалось до сих пор, поэтому у нас есть основания назвать его относительным центробежным ускорением.
Далее, надо учесть существование предельно большой величины силы трения соответствующей коэффициенту трения , который связан с углом трения зависимостью . При ускоренной фазе вращения стержня с угловым ускорением результирующая сила достигнет предельно большой величины, определяемой силой трения (рис. 11). Как только ползун начнёт движение вдоль стержня, увеличение силы трения прекратится, но увеличение результирующей силы, которую мы обозначили символом , продолжится за счёт продолжающегося увеличения переносного и относительного ускорений, поэтому результирующую силу, независящую от силы трения, обозначим символом .
А теперь обратим внимание на две причины ускоренного движения ползуна. Первая обусловлена увеличением угловой скорости от нуля до постоянной величины , вторая - увеличением радиуса, равного переменной координате . Так как в этом случае две переменные и , то математическая модель для определения переносного касательного ускорения имеет вид
. (47)
Обратим внимание на то, что составляющие полного переносного ускорения (47) имеют одинаковую размерность и отметим, что математики, физики и механики обычно не пишут размерность радиан, в которой заложен смысл углового перемещения материальной точки. Если размерность радиан опускать, то размерность полного переносного ускорения (47) становится, соответствующей ускорению линейного перемещения материальной точки. Сейчас мы увидим, что нельзя опускать размерность радиан, так как появляется путаница в преставлениях о сути сложного движения материальной точки.
Из формулы (47) следует, что при ускоренном вращении стержня результирующая касательного (переносного) ускорения ползуна состоит из двух составляющих . Первая составляющая - генерируется переменной угловой скоростью , а вторая - переменным радиусом вращения .
Чтобы найти полное относительное ускорение ползуна в момент ускоренного вращения стержня, надо также учесть две переменных величины: переносную угловую скорость и переменный радиус вращения, равный координате . Переменная угловая скорость будет генерировать угловое ускорение . Кроме этого она будет генерировать и переменное ускорение ползуна в относительном движении, направленное, в данном случае, от центра вращения. Поэтому, как мы уже отметили, есть основания назвать его центробежным ускорением.
Теперь надо учесть ту часть относительного ускорения ползуна, которая генерируется меняющейся координатой или переменной относительной скоростью . Она равна . Тогда полное относительное ускорение, при ускоренном вращении стрежня будет равно
(48)
Сразу видна некоторая странность. Размерность первой составляющей полного относительного ускорения , а второй . Из этого следует, что мы не имеем права опускать размерность радиан. В чём суть этого противоречия? Попытаемся поискать его причину. Для этого запишем уравнение изменения угла вращения стержня.
(49)
При переменном вращении стержня переменная угловая скорость этого вращения определится зависимостью
(50)
Теперь надо задать время от начала ускоренного вращения стержня до момента перехода его к равномерному вращению () или угол поворота от начала ускоренного вращения до перехода к равномерному вращению. Примем . Тогда из уравнения (49) имеем
(51)
При таком определении времени ускоренного вращения стержня переносная угловая скорость , входящая в выражение (51), является усреднённой постоянной величиной, но, тем не менее, она отражает время , затраченное на ускоренное вращение ползуна и мы имеем право использовать математическую модель (51) для описания ускоренного вращения стержня и ускоренного относительного движения ползуна. Подставляя этот результат в формулу (50), имеем
(52)
Так будет изменяться угловая скорость , входящая в формулу () для определения ускорения относительного движения ползуна вдоль стержня, в фазе ускоренного вращения стержня. Однако надо учесть и ту часть ускорения, которая возникает в результате увеличения радиуса вращения, то есть - координаты . В результате математическая модель полного относительного ускорения ползуна при ускоренном вращении стержня принимает вид
. (53)
Как видно, размерности формул (47) и (53) совпадают. Это свидетельствует о правильности определения составляющих полного переносного и полного относительного ускорений движения ползуна при ускоренном вращении стержня.
Таким образом, при ускоренном вращении стержня полное переносное (касательное) ускорение (47) и полное относительное ускорение (53) состоят из двух составляющих, учитывающих ускоренное движение ползуна за счёт увеличения переносной угловой скорости и за счёт увеличения расстояния от центра вращения до ползуна, то есть - координаты .
При равномерном вращении стержня модули обоих ускорений касательного (47) и переносного (53) оказываются одинаковыми и равными .
Так как , то абсолютное ускорение ползуна при равномерном вращении стержня определяется зависимостью
. (54)
Из этого следует математическая модель для результирующей активной силы , действующей на ползун при равномерном вращении стержня.
. (55)
При постоянной угловой скорости переносное касательное ускорение также увеличивается по мере удаления ползуна от центра вращения (О) за счёт увеличения радиуса вращения, то есть - координаты . Действие стержня на ползун передаётся через нормальную реакцию стержня, которая равна активной переносной силе . Кроме этого, переменная величина формирует переносную силу инерции, направленную противоположно перемещению ползуна и равную проекции результирующей силы инерции на нормаль. Это - кориолисова сила инерции . Так как любая сила инерции формирует замедление движения тела, совпадающее с направлением самой силы инерции, то кориолисова сила инерции также формирует замедление переносного движения ползуна, которое совпадает по направлению с вектором кориолисовой силы инерции (рис. 11). Модуль кориолисова замедления равен модулю переносного (касательного) ускорения
. (56)
Обратим внимание на то, что математическая модель бывшего кориолисова ускорения записывается так
. (57)
Это в два раза больше замедления (56). Возникает законный вопрос: какая из математических моделей (56) или (57) точнее отражает реальность? Чтобы получить ответ на этот вопрос надо вернуться к принципу причинности, согласно которому сила первична, а ускорение вторично. Поэтому надо составить уравнения сил, действующих на ползун, и из этих уравнений должен следовать ответ на поставленный вопрос.
При ускоренном движении материальных точек и тел сила инерции направлена противоположно движению и формирует замедление этого движения. Активная же центробежная сила направлена в сторону движения и совпадает с направлением центробежного ускорения, определяемого по формуле .
Согласно принципу механодинамики, в каждый данный момент времени сумма активных сил, сил сопротивления движению и сил инерции, действующих на ползун, равна нулю, поэтому векторное уравнение сил в этом сложном движении ползуна имеет вид
. (58)
Проектируя силы, приложенные к ползуну, на оси ОХ и ОУ, имеем:
; (59)
(60)
Преобразуем уравнение (60) таким образом
(61)
Итак, сумма проекций сил на ось ОУ, действующих на ползун, состоит из двух составляющих. Первая составляющая равна переносной активной силе , действующей на ползун в переносном движении, и равной ей нормальной реакции стержня на ползун. Это две активные силы, приложенные к ползуну в переносном движении. Обращаем внимание на то, что суммарное переносное ускорение, генерируемое этими силами, равно , что полностью совпадает с давно используемым кориолисовым ускорением (57).
Далее, направление вектора суммы ускорений, генерируемых переносной активной силой и нормальной реакции стержня на ползун, совпадает с давно принятым направлением вектора, так называемого, кориолисова ускорения (57). Напомним, что в данном случае направление вектора бывшего кориолисова ускорения (57) определяется поворотом вектора относительной скорости в сторону вращения.
Давно условились силы инерции направлять противоположно ускорениям. На рис. 11 кориолисова сила инерции направлена противоположно нормальной реакции , а значит и противоположно ускорению , которое фактически не является кориолисовым ускорением. Это сумма ускорений, формируемых силами и . Она не имеет никакого отношения к кориолисовой силе инерции, которая формирует не ускорение движения ползуна, а его замедление , вектор которого совпадает с направлением кориолисовой силы инерции (рис. 11). Таким образом, мы оказались в противоречивой ситуации. С одной стороны суммарное ускорение генерируется активными силами и , приложенными к ползуну и направленными в сторону его переносного движения, а с другой стороны суммарное ускорение давно названо кориолисовым ускорением, принадлежащим кориолисовой силе инерции, которая по своей природе генерирует не ускорение, а замедление материальных точек и тел при их ускоренном движении. Из этого следует, что направление действия кориолисовой силы инерции определяется правильно, но модуль его вычисляется неправильно. Произведение массы ползуна на ускорение его движения равно не кориолисовой силе инерции (рис. 11), а суммарной активной силе (), действующей на ползун в переносном движении. Модуль кориолисовой силы инерции , замедляющей переносное движение ползуна, равен произведению массы ползуна на замедление , генерируемое кориолисовой силой инерции , направленной противоположно переносному движению ползуна (рис. 11).
Конечно, в изложенном выше, неясна причина сложения (). Но без этого не появляется двойка в выражении (57) кориолисова ускорения. Однако, если представить, что ползун удаляется от центра на удлиняющейся гибкой нити, вращающейся относительно центра, то в такой схеме будет отсутствовать реакция стержня на ползун и останется одна переносная сила . Этот пример позволяет считать, что при движении ползуна по жёсткому стержню на него действуют в переносном движении две силы (). В этом случае численная величина кориолисова ускорения (57) остаётся прежней. Если же убрать силу , то численная величина кориолисова ускорения будет в два раза меньше и потребуется экспериментальная проверка достоверности новой формулы для вычисления теперь уже не кориолисова ускорения, а кориолисова замедления.
Обращаем внимание на то, что если ползун будет жёстко связан с вращающимся стержнем, то на него будет действовать связь в виде стержня, которая будет удерживать ползун от перемещения вдоль стержня. В результате координата относительного перемещения стержня станет постоянной величиной и её в таких случаях называют радиусом. Реакция связи, удерживающая ползун от относительного перемещения вдоль стержня, будет направлена к центру вращения и будет выполнять функции активного воздействия на ползун. Вполне естественно, что ускорение, генерируемое этой связью, также будет направлено к центру вращения и мы обязаны назвать его в этом случае центростремительным ускорением. Вполне естественно, что оно будет равно . Так как ползун закреплён жёстко, то . Отметим, что до проводимого нами анализа процесса сложного движения точки понятие «центростремительное ускорение» отсутствовало. Но, как мы видим, необходимость введения этого понятия существует.
Итак, мы выявили все особенности в описании сложного движения ползуна по вращающемуся стержню и физическую суть этого движения ввели в рамки причинно-следственных связей.
Пример-2. (рис. 12). Дано: ; Найти относительную скорость тела в момент вылета его из трубки (без учета силы трения).
Рис. 12. Схема к примеру 2
Решение
(62)
5. Колебательное движение материальной точки
В принципе, все действующие технические устройства генерируют колебания, которые могут выполнять определенные технологические процессы или наносить вред устройствам. Поэтому изучение колебаний - одна из важнейших сторон подготовки инженера.
Для теоретического описания колебательного процесса используют материальную точку в качестве объекта совершающего механические колебания. Большинство механических колебательных процессов имеют синусоидальный закон колебаний, в котором фаза ускоренного движения материальной точки переходит сразу в фазу замедленного движения. Фаза равномерного движения отсутствует. Поскольку сила инерции в фазе ускоренного движения материальной точки направлена противоположно движению и таким образом тормозит движение материальной точки, а в фазе замедленного движения она направлена в сторону движения материальной точки, то суммарное её действие за один период колебаний равно нулю. Поэтому есть основания не учитывать действие силы инерции при описании колебательных движений материальной точки. Её действие автоматически учитывается экспериментальными коэффициентами, которые входят в уравнения её колебательных движений.