5.1 Свободные колебания
Рассмотрим колебания груза , подвешенного на пружине, имеющей в естественном состоянии (без подвешенного груза) длину (рис. 13). За начало отсчета примем положение груза, в котором вес груза уравновешивается реакцией пружины (точка О, рис. 13).
Статическое удлинение пружины ВО, соответствующее положению равновесия груза, обозначим через . Тогда текущее удлинение определится из рис. 13 так
Рис. 13. Схема к выводу дифференциального уравнения свободных колебаний материальной точки
Согласно закону Гука, сила упругости (реакция) пружины пропорциональна ее удлинению, то есть , где - коэффициент пропорциональности (жесткость пружины).
Так как в положении статического равновесия модуль силы равен весу груза , то , откуда по результатам эксперимента можно найти коэффициент жесткости пружины
(63)
Как видно (рис. 13), дифференциальное уравнение движения груза будет иметь вид
, или
Поскольку и , а также то Обозначим ( - частота свободных гармонических колебаний), тогда
(64)
Это дифференциальное уравнение гармонического колебания. Следовательно, груз, подвешенный на пружине, совершает гармонические колебания около положения равновесия. Из теории линейных дифференциальных уравнений известно, что общий интеграл дифференциального уравнения (64) второго порядка выражается так
(65)
Если вместо постоянных и ввести постоянные и , такие, что то получим
(66)
где - амплитуда колебаний (наибольшее отклонение груза от положения равновесия); - фаза колебания; - начальная фаза (при ).
График гармонического колебания (рис. 14) представляет собой, очевидно, синусоиду. Промежуток времени , в течение которого груз совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. Так как период синуса и косинуса равен , то . Откуда
(67)
Величина , обратная периоду и определяющая число колебаний за секунду, называется частотой колебаний
(68)
Скорость точки при гармоническом колебании равна
(69)
Амплитуда и начальная фаза колебания определяются по начальным условиям движения. Полагая, что при (66 и 69) имеем: Отсюда
(70)
Pис. 14. График закона гармонического (синусоидального) колебания материальной точки
Свойства свободных колебаний при отсутствии сопротивления: 1 - амплитуда и начальная фаза (70) зависят от начальных условий; 2 - круговая частота (68) и период колебаний не зависят от начальных условий и являются независимыми характеристиками данной колебательной системы.
5.2 Затухающие колебания
Если свободные колебания совершаются в какой-то среде (жидкость, газ), то среда, создавая сопротивление, приводит к затуханию этих колебаний.
Пусть сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости . Знак минус означает, что сила направлена противоположно вектору (рис. 15). Таким образом, при затухающих колебаниях на точку (груз) действует восстанавливающая сила и сопротивление среды , поэтому дифференциальное уравнение затухающего колебания имеет вид
или
(71)
Рис. 15. Схема сил, действующих на точку в сопротивляющейся среде
Разделим обе части уравнения (71) на и введем обозначения:
где - коэффициент затухания.
Тогда
(72)
Для интегрирования этого уравнения применим способ замены переменного, полагая
(73)
где - новая переменная. После двукратного дифференцирования уравнения (73), подстановки результата в уравнение (65) и преобразований, получим
(74)
Полагая , имеем
(75)
Это дифференциальное уравнение гармонического колебания, сходное с уравнением (68). Интегрируя его, получим
(76)
Подставляя этот результат в уравнение (73), найдем
(77)
Это уравнение отличается от уравнения гармонического колебания множителем , который делает размахи колебаний точки M около положения равновесия переменными; они быстро уменьшаются с течением времени, поэтому их называют затухающими колебаниями (рис. 16).
Период затухающих колебаний равен
(78)
Рис. 16. График затухающих колебаний
Так как то и
,
то есть период затухающих колебаний больше, чем период гармонического колебания, совершаемого точкой под действием той же силы при отсутствии сопротивления.
Отвлеченное число называется декрементом затухающих колебаний. Величина - логарифмический декремент затухания.
5.3 Вынужденные колебания. Резонанс
В этом случае на "колеблющуюся" точку, кроме восстанавливающей силы , действует еще и периодически изменяющаяся сила , возбуждающая колебания. Ее проекция на ось OX равна . Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие под действием такой силы - вынужденными. Величина является частотой возмущающей силы. В данном случае - гармоническая возмущающая сила. Она может иметь и другой закон.
Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления. Если на движущуюся точку действует только восстанавливающая и возбуждающая силы, а сила сопротивления отсутствует, то дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид
(79)
Разделим обе части этого уравнения на и положим Тогда учитывая, что , имеем
(80)
Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при отсутствии сопротивления. Общее решение этого уравнения имеет вид:
(81)
где и - постоянные интегрирования.
Полученное уравнение показывает, что колебания точки складываются в этом случае из: 1 - колебаний с амплитудой , и частотой , называемых свободными колебаниями; 2 - колебаний с амплитудой
(82)
и частотой , которые называют вынужденными колебаниями. Здесь . Амплитуда не зависит от начальных условий, а амплитуда - зависит.
В практике, как правило, колебания происходят при наличии сопротивлений, поэтому собственные колебания с частотой быстро затухают, а вынужденные колебания с частотой оказываются основными. Но бывают и исключения, когда .
Амплитуда
(83)
вынужденных колебаний в этом случае неограниченно растет, так как знаменатель в формуле (83) стремится к нулю.
(84)
и наступает явление резонанса (рис. 17).
Рис. 17. Схема к анализу явления резонанса
Когда , амплитуда близка к нулю. Когда близка к , то становится очень большой. Если работающая конструкция проявляет явно выраженные признаки, близкие к резонансу, то надо экспериментально определить величину статической деформации тела, формирующего колебания с учетом приложенных к нему нагрузок, затем вычислить частоту собственных колебаний этого тела по формуле
Далее, используя характеристики привода конструкции, вычислить частоту возбуждающих колебаний и сравнить ее с частотой собственных колебаний. Если значение близко к единице, то конструкция работает в режиме, близком к резонансу (рис. 17).
Изменяя геометрические () и кинематические () параметры, можно добиться величины , далекой от ее резонансного значения.
Общие свойства вынужденных колебаний
1. Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий.
2. Вынужденные колебания не затухают при наличии сопротивлений.
3. Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы, и от характеристик колеблющейся системы не зависит (возмущающая сила "навязывает" системе свою частоту колебаний).
4. Если сопротивление среды мало, то даже при малой возмущающей силе можно получить интенсивные вынужденные колебания.
6. Общие теоремы механодинамики
Вводная часть
Общие теоремы механодинамики являются следствием основного закона механодинамики. Применение этих теорем избавляет исследователя от необходимости ряда операций интегрирования, так как эти операции раз и навсегда выполняются при доказательстве общих теорем. Указанные теоремы базируются на таких фундаментальных понятиях, как количество движения материальной точки, момент количества движения и действие силы на материальную точку.
6.1 О количестве движения материальной точки
Количеством движения материальной точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на её скорость . Направлен вектор так же, как и вектор - по касательной к траектории (рис. 18).
Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени - следствие действия силы на материальную точку. Длительность этого действия может быть разной, поэтому изменение количества движения материальной точки нельзя называть импульсом силы, так как понятие импульс силы соответствует её кратковременному действию. С учётом этого назовём величину, равную изменению количества движения материальной точки, просто: «действие силы» и обозначим символом (рис. 18).
Обратим внимание на то, что изменение количества движения материальной точки при ускоренном её движении происходит под действием ньютоновской силы и сил сопротивления движению, в виде сил, формируемых механическими сопротивлениями, и силой инерции. Изменение количества движения происходит за счёт превышение величины ньютоновской силы над силами сопротивления движению.
При ускоренном движении материальной точки результат действия силы всегда положительный.
Рис. 18. Схема к определению действия силы
При замедленном движении материальной точки ньютоновская сила отсутствует. Изменение количества движения материальной точки происходит за счёт превышения сил сопротивления движению над силой инерции, которая направлена в сторону движения материальной точки. При замедленном движении материальной точки результат действия силы всегда отрицательный.
6.2 Теорема об изменении количества движения материальной точки
Связь действия силы с основным уравнением механодинамики выражает теорема об изменении количества движения материальной точки.
Теорема. Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно действию силы () на материальную точку за тот же промежуток времени.
(85)
Дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному действию силы на материальную точку. Интегрируя выражение (85) дифференциала количества движения материальной точки, имеем
(86)
Теорема доказана. Если известны и , то легко построить и вектор действия силы (рис. 18). Проектируя уравнение (86) изменения количества движения точки на оси координат, получим:
(87)
(88)
(89)
Изменение проекции количества движения на какую-нибудь ось равно проекции действия силы на ту же ось.
Следствия теоремы:
1) когда , то
и (90)
2) если , то и выполняется закон сохранения количества движения, эквивалентный второму закону механодинамики.
3) если , то
и (91)
Обратим внимание на размерность действия силы. Чем дольше действует сила, тем больше величина её действия на материальную точку, поэтому понятие действие силы не может отражать ударное действие силы, которое совершается за малый промежуток времени. Поэтому для характеристики кратковременного действия силы вводим понятие ударная сила.
6.3 Ударная сила
Ударная сила - векторная величина, равная силе , делённой на время её действия при ударе . Логичность изменения ударной силы очевидна. Чем меньше время действия одной и той же силы, тем больше её ударное действие.
В качестве примера можно взять пулю, вылетевшую из патрона. Главным критерием определения расстояния действия ударной силы будет момент, когда под действием давления пуля вылетает из закрытого пространства патрона или ствола оружия. Тогда длину той части патрона, которую занимала пуля до выстрела, или длину ствола оружия можно принять за расстояние, на котором действует ударная сила, перемещающая пулю. Поскольку скорость вылета пули из ствола известна, то время действия ударной силы можно определять, как частное от деления длины ствола, по которому движется пуля, на скорость её движения.
Величину ударной силы, выстрелившей 2-й энергоблок Саяно-Шушенской ГЭС невозможно рассчитать, используя старые понятия импульс силы и ударный импульс. Новое понятие ударная сила позволяет решить эту задачу. Для этого возьмём расстояние от места крепления крышки энергоблока 80-ю шпильками до поверхности пола машинного зала, где заканчивалась герметизация полости колодца, в котором размещался энергоблок (рис. 19). Это расстояние эквивалентно расстоянию движения, например, пули в закрытой полости ствола перед вылетом из него. Для 2-го энергоблока это расстояние было принято равным S=0,80м (рис. 19). Средняя скорость взлёта энергоблока на высоту 14м составила V=16,56м/с. Тогда время действия ударной силы на энергоблок будет равно
. (93)
Рис. 19. Схема к определению времени действия ударной силы на энергоблок
Сила сопротивления подъёму энергоблока, закреплённого к фундаменту 80-ю шпильками, с учетом массы блока, прочности шпилек, крепивших крышку энергоблока и силы инерции, тормозившей его ускоренный вылет, составила