Материал: Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. методические указания к самостоятельной работе. Ряжских А.В., Соболева Е.А
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
Кафедра прикладной математики и механики
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе
для студентов направления 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей»
Воронеж 2021
УДК 51 (07)
ББК 22.11я7
Составители:
канд. физ.-мат. наук А. В. Ряжских, канд. физ.-мат. наук Е. А. Соболева
Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия:
методические указания к самостоятельной работе / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; cост.: А. В. Ряжских, Е. А. Соболева. - Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2021. - 30 с.
Приводятся основные сведения для закрепления теоретических и практических знаний основных разделов курса. Содержат краткий теоретический материал, необходимый для решения типовых задач, примеры с решениями и задания для самостоятельного выполнения.
Предназначены для студентов 1 курса направления 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей».
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле МУ_ЛВА_АГ.pdf
Ил. 8. Табл. 4. Библиогр.: 2 назв.
УДК 51 (07)
ББК 22.11я7
Рецензент - Т. И. Костина, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики и механики ВГТУ
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ВВЕДЕНИЕ
Цель методических указаний - научить студентов самостоятельно применять полученные знания к решению задач линейной алгебры и аналитической геометрии. Данная разработка поможет студентам усвоить лекционный материал с помощью вопросов для контроля знаний, разобраться в решенных заданиях, а также успешно решить задания для самостоятельного решения.
Методические указания составлены по программе дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для студентов направления 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» Воронежского государственного технического университета.
Внастоящих указаниях предлагается 6 одинаково организованных разделов, в каждом из которых своя нумерация формул и рисунков.
Вкаждом разделе приводятся краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач, далее - примеры (один или несколько) и вопросы для самоконтроля. В конце каждого раздела приводится 20 вариантов заданий для самостоятельного решения
1.МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.1.Краткие сведения, необходимые для выполнения задания
1.1.1.Разложение определителя по алгебраическим дополнениям
Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Минор будем обозначать Mij .
Рассмотрим матрицу третьего порядка
|
a |
b |
c |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
A = a2 |
b2 c2 |
. |
||
a |
b |
c |
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
Определитель матрицы
a1 b1 c1 det( A ) = a2 b2 c2 .
a3 b3 c3
Миноры элементов a12 = b1 и a23 = c2 соответственно:
(1)
(2)
Таким образом, минором для определителя третьего порядка будет определитель второго порядка. Определитель второго порядка можно вычислить по
формуле: M12 = a2c3 − a3c2 , M23 = a1b3 − a3b1 .
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя назы-
вается минор этого элемента, умноженный на (–1)p, где р — сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента будем обозначать такой же прописной буквой, что и сам элемент. Так, алгебраическое дополнение элемента a2 , обозначается че-
рез A2 , элемента b3 - через B3 , элемента a13 - через A13 и так далее.
Если, например, элемент a2 находится на пересечении первого столбца и второй строки, то для него p =1 + 2 = 3 и алгебраическим дополнением является
A = (−1)3 |
|
|
b1 |
c1 |
|
= b c −b c . |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
b3 |
c3 |
|
1 3 |
3 1 |
|
|
|
|
|
|
||
4
Алгебраическое дополнение и минор одного и того же элемента отличаются только знаком.
Разложение определителя любого порядка по алгебраическим дополнениям:
Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения.
det( A ) = a1A1 + a2 A2 + a3A3 = b1B1 + b2B2 + b3B3 = a2 A2 + b2B2 + c2C2 = . |
(3) |
||||||||||||||||||||
Для определителя матрицы А = (aij) порядка n запишем разложение в виде |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det( A ) = ∑aik Aik |
= ∑akj Akj . |
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
k =1 |
|
|
Пример 1. Вычислим определитель |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
, разлагая его по элементам первой строки. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∆ = |
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∆ =1 |
|
5 6 |
|
− 2 |
|
4 6 |
|
+ 3 |
|
4 5 |
|
=1 (5 9 − 6 8 )− 2 (4 9 − 6 7 )+ |
■ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
8 |
9 |
|
|
|
7 |
9 |
|
|
|
7 |
8 |
|
|
|
|
||||
+3 (4 8 −5 7 ) = 0.
1.1.2. Решение систем уравнений
Дана система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z:
a1x + b1y + c1z = h1,a2x + b2 y + c2z = h2,a3x + b3 y + c3z = h3.
Коэффициенты a1, a2,a3 , b1, b2,b3 , c1, c2,c3 и свободные члены
(5)
h1, h2,h3 счита-
ются заданными.
Тройка чисел x, y, z называется решением системы (5), если в результате подстановки этих чисел вместо x, y, z все три уравнения (5) обращаются в тождества.
Введем обозначения:
5