Материал: Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. методические указания к самостоятельной работе. Ряжских А.В., Соболева Е.А

3.1. Вопросы для самоконтроля

1.Уравнение прямой, проходящей через две точки.

2.Расстояние от точки до прямой.

3.Угол между прямыми.

2.5. Варианты заданий

Задание. Даны координаты вершин треугольника ABC. Требуется найти: 1) уравнение и длину стороны AC, 2) длину и уравнение высоты BE, 3) уравнение медианы BD. Сделать чертеж.

3.ЭЛЛИПС И ГИПЕРБОЛА

3.1.Краткие сведения, необходимые для выполнения задания

Канонические уравнения линий второго порядка:

16

Графики эллипса и гиперболы изображены на рис.1а и 1б. Пусть координаты фокусов F1 (– c ; 0) и F2 (c ; 0) для гиперболы и эллипса. Тогда, полагая,

что a - большая, а b - меньшая полуоси линии (b < a) , для этих линий второго порядка можно записать следующие соотношения:

Рис. 1. Эллипс (а) и гипербола (б)

Очевидно, что для эллипса эксцентриситет меньше 1, для гиперболы - больше 1. Уравнения асимптот гиперболы (прямые линии на рис.1б) запишем в виде уравнений с угловыми коэффициентами:

Пользуясь этими формулами, решим пример.

Пример 1 . Дано уравнение эллипса25x2 +9y2 = 225. Требуется найти: 1) его полуоси, 2) координаты фокусов, 3) эксцентриситет эллипса. Сделать чертеж.

Рис.2. Графики эллипса и гиперболы: а) к примеру 1 и б) к примеру 2

17

Решение

Найдем полуоси эллипса. Для этого разделим уравнение на число, стоящее в правой части. Получим уравнение эллипса в каноническом виде

x2 + y2 =1.

32 52

Поскольку в полученном уравнении a < b, необходимо развернуть систему координат на 90°. Эллипс будет вытянут вдоль оси y - фокальной оси. В новой системе координат полуоси a = 5, b = 3. Тогда по формулам (1), (2) получим

c2 =52 −32 =16, с=4, эксцентриситет ε = 45 . При построении эллипса отложим

вначале полуоси - точки пересечения линии с осями координат: (0 ; 5), (0 ; –5), (3; 0),( –3 ; 0). Затем фокусы F1 (0 ; –4), F2 (0 ; 4). После этого проведем кривую (рис. 2а).■

Пример 2. Дано уравнение гиперболы x2 −3y2 =3 . Требуется найти: 1) ее полуоси, 2) координаты фокусов, 3) эксцентриситет гиперболы. Сделать чертеж.

Решение

Найдем полуоси гиперболы. Для этого разделим уравнение на множитель,

гиперболы отложим вначале полуоси - точки пересечения линии с осями коор-

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса , если известны: точка M(4 ; 2) и эксцентриситет эллипса ε = 12 . Сделать чертеж.

Решение

18

Найдем полуоси эллипса. Подставив координаты точки М в уравнение эллипса в каноническом виде, а также воспользовавшись соотношениями (1) и

При решении уравнений удобно разделить второе уравнение на 1a2b2 и

При построении эллипса отложим вначале полуоси - точки пересечения линии с осями координат: (0 ; 4), (0 ; – 4), (4.62 ; 0), (– 4.62 ; 0). Затем фокусы F1 (– 2.31 ; 0), F2 (2.31 ; 0). После этого проведем кривую (рис.3).■

Рис. 3. График эллипса к примеру 3

Пример 4. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известны: положение фокусов F2 (4 ; 2) и F1(1 ; – 2) и эксцентриситет ε = 2. Сделать чертеж.

Решение

Найдем полуоси гиперболы. По известным координатам фокусов найдем фокусное расстояние гиперболы c = 5 2 . Далее воспользовавшись соотношениями (1) и (2), получим систему уравнений на параметры гиперболы a и b : c2 = a2 +b2 , c =ε a .

19

Рис. 4. Графики гиперболы к примеру 4

При построении гиперболы отложим вначале полуоси вдоль оси x - точки пересечения вершин линии с осями координат: (1.25 ; 0), ( – 1.25 ; 0), затем полуоси вдоль оси y (0 ; 0.72), (0 ; –0.72) и фокусы F1 (– 2.5 ; 0) , F2 (2.5 ; 0). После этого проведем асимптоты гиперболы и саму линию (рис. 4 а).

На рис.Рис. 4б приведен также вид гиперболы в "старой" системе координат, до приведения уравнения к каноническому виду. Из рисунка видно, что новая гипербола получается в результате параллельного переноса гиперболы на

Рис. а на расстояние 12 (4 +1)2 +(2 −2)2 = 2.5 по оси х, с тем, чтобы середина расстояния между F1 и F2 совпала с новым началом координат, и поворота на угол ϕ =arctg(43)≈53,1o■

3.2. Вопросы для самоконтроля

1.Каноническое уравнение эллипса.

2.Координаты вершин и фокусов эллипса. Эксцентриситет.

3.Каноническое уравнение гиперболы.

4.Координаты вершин и фокусов гиперболы. Эксцентриситет, уравнения асимптот.

20