Материал: Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. методические указания к самостоятельной работе. Ряжских А.В., Соболева Е.А

1.1.3. Матричный способ решения системы линейных уравнений

1.2. Вопросы для самоконтроля

1.3. Варианты заданий Задание. Дана коэффициенты системы (5). Найти решение двумя способами: 1)

2.ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

2.1.Краткие сведения, необходимые для выполнения задания

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	a1	b1	c1
	a1	b1	c1
A = a2		b2	c2	,	X
a		b	c
	3	3	3

	x
=	y	,	H
=	y	,	H
	z
	z

= h2 . (6)h3

Матрица A – матрица системы (5), X – вектор - столбец неизвестных, H – вектор - столбец свободных коэффициентов.

В методе Крамера: определитель системы ∆ = det( A ) и

h1 b1 c1

∆x =

h2 b2 c2

∆y =

a2 h2 c2

∆z =

a2 b2 h2

h3 b3 c3

a3 h3 c3

a3 b3 h3

Если определитель ∆≠0, то решение системы (5) дают формулы Крамера

x =

∆x

y =

∆y

, z =

∆z

(7)

∆

Пример 2. Найти все решения системы

x + 2y + 3z = 6;

2x − y −3z = −5;

4x −5z =19.

Решение.

Определитель системы ∆ =

= −37 . Так как ∆ ≠ 0 , то данная

−1

−3

система имеет единственное решение, определяемое формулами (7). Вычислим определители

		6 2			3						1		6	3			1 2			6
∆	x	=	−5	−1	−3		= −37	, ∆	y	=		2	−5	−3	= 74 , ∆	z	=	2	−1	−5		= −111.
	x		19 0		5				y			4	19	5		z		4	0	19
			19 0		5							4	19	5				4	0	19

Получим				x =1,		y = −2,		z = 3 .				Непосредственной					подстановкой				в систему

уравнений можно убедиться, что это решение исходной системы – все уравнения обращаются в тождество. ■

Пусть ∆=0.

Если хотя бы один из определителей ∆x , ∆y , ∆z отличен от нуля, то система не имеет решений.

Если ∆x , ∆y , ∆z равны нулю, одно из уравнений является линейной комбинацией двух других. В результате система уравнений для трех переменных

содержит только два уравнения. Такая система будет иметь бесконечное множество решений.

Пример 3. Решим систему из трех уравнений

x + 2y + 3z = 2;
	2x − y −3z = 4;

	5x −3z =10.

Определители системы ∆ = ∆x = ∆y = ∆z = 0 . Система имеет бесконечное однопараметрическое множество решений:

z = 1	3	(5x −10 ), y = −3x + 6 . ■
	3

Рассмотрим систему уравнений (5). Будем полагать далее, что определитель системы не равен нулю.

Представим систему в матричном виде:A X = H

Если существует обратная матрица A−1 , то, умножая матричное уравнение слева на A−1 , получим

						X = A−1H .						(8)
Вычисление обратной матрицы производится по формуле
						A−1 =			1		ADT	(9)
						A−1 =			det( A )		ADT	(9)
									det( A )
Матрицы A и ADT			имеют вид:
	a	b	c			A	A		A
	1	1	1			1	2		3
A = a2 b2			c2	,	ADT =	B1 B2			B3	.
a		b	c			C	C	2	C
	3	3	3			1		2	3

Пример 4. Найти все решения системы уравнений из примера 2 матричным способом.

Решение.

Вычислим матрицу алгебраических дополнений.

AD	= (−1)	2		−1	−3		= −5;					3			2		−3	= −22;
		2		−1	−3							3			2		−3
			0		5			AD = (−1)							4	5
11			0		5				12						4	5
AD	= (−1)	4		2	−1	= 4;		AD	=	(	3		2	3			= −10;
		4		2	−1						3		2	3
				4	0						−1)		0	5
13				4	0			21					0	5
											−5		−22			4
								AD =			−10			−7		8
								AD =			−10			−7		8		.
											−3			9			−5
											−3			9			−5

Для проверки рекомендуется перемножить ADT A и получить диагональную матрицу, то есть такую, у которой отличны от нуля только три элемента, стоящие на главной диагонали.

Воспользовавшись формулами (8) и (9), получим:

−5

−10

H =

−22

−7 9

−5

∆

−37

−5

−5 6 −10 (−5 )+ 3 19

−37

−22 6 − 7 (−5 )+ 9 19

−2

−37

4 6 +8 (−5 )−5 19

−111

Полученное решение x =1, y = −2, z = 3 совпадает с ранее найденным (см. пример 2). ■

1. Понятие минора и алгебраического дополнения.

2. Вычисление определителя третьего порядка путем разложения его по элементам 1 строки.

3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

4. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

с помощью определителя, 2) средствами матричного исчисления. Сделать проверку.

Вариант	a1	b1	c1	h1	a2	b2	c2	h2	a3	b3	c3	h3
Вариант

1.	2	7	13	0	3	14	12	18	5	25	16	39

2.	1	1	2	- 1	2	- 1	2	- 4	4	1	4	- 2

						8

3.	1	1	- 1	0	3	2	1	1	1	- 1	- 1	2

4.	1	2	4	31	5	1	2	20	3	- 1	1	10

5.	1	- 1	2	- 7	1	1	1	- 2	2	3	- 1	1

6.	2	1	- 2	- 2	1	- 2	2	3	2	- 2	1	1

7.	1	1	- 1	1	8	3	- 6	2	4	1	- 3	3

8.	1	2	1	4	3	- 5	3	1	2	3	- 1	0

9.	1	1	1	6	1	2	3	10	2	3	- 4	8

10.	4	- 3	2	9	2	5	- 3	4	5	6	- 2	18

11.	1	- 2	3	6	2	3	- 4	20	3	- 2	- 5	6

12.	3	2	1	5	2	3	1	1	2	1	3	11

13.	2	2	1	3	2	- 1	- 1	4	1	1	- 1	0

14.	1	- 1	2	4	2	1	1	2	1	- 1	- 1	- 2

15.	1	1	1	0	1	- 1	1	2	3	1	1	- 2

16.	1	1	1	- 2	1	- 1	2	- 7	2	3	- 1	1

17.	1	1	1	9	- 2	2	1	9	3	- 3	- 2	- 16

18.	1	3	4	7	3	- 3	2	4	- 5	7	4	- 1

19.	3	4	2	8	2	- 4	- 3	- 1	1	5	1	0

20.	1	1	- 1	2	4	- 3	1	1	2	1	- 1	1

Даны два вектора A(xA; yA; zA ) и B(xB; yB; zB ). Пусть ϕ - угол между ними. Тогда для векторов определены следующие операции векторной алгебры.

Длина вектора

вычисляется по формуле

+ y2

+ z2

Скалярное произведение векторов

A B = A B cos(ϕ) = xAxB + yA yB + zAzB .

Векторное произведение двух векторов можно определить по их коорди-

натам

	i	j	k	,
A × B =	xA	yA zA		,
	xB	yB	zB

где i, j,k - единичные векторы вдоль декартовых осей координат x, y, z соот-

ветственно. Векторное произведение можно определить как вектор C , удовлетворяющий следующим условиям :

1.Вектор C перпендикулярен каждому из векторов векторного произведения.

2.Направление его таково, что из конца вектора C наикратчайший поворот от

вектора A (первый вектор произведения) к вектору B (второй вектор произведения) виден происходящим против часовой стрелки.

3. Длина вектора C = A B sin(ϕ)

Рис. 1. К определению векторного произведения (а); чертеж пирамиды к примеру 1(б)

Модуль векторного произведения имеет величину, равную площади параллелограмма со сторонами, образованными векторами OA и OB (рис.1а).

Смешанное произведение трех векторов A(xA; yA; zA ), B(xB; yB; zB ) и C (xC ; yC ; zC ) - скалярная величина , которую можно определить через проекции векторов на оси координат

	xA	yA	zA

(A × B ) C =	xB	yB	zB
	xC	yC	zC

Смешанное произведение можно определить, как величину, модуль которой равен объему параллелепипеда, ребра которого параллельны векторам, входящим в произведение.

Источник: https://studfile.net/preview/16569428/

Определитель системы: ∆ =

1497
Банковское обслуживание предприятий
Белинский В.Г.. Библиотека романов и исторических записок, издаваемая книгопродавцем Ф. Ротганом
География туризма
Значение технико-криминалистического исследования документов при расследовании хищений объектов железнодорожного транспорта
Лекция 9 Сифилис. Первичный, вторичный период
лр 5
Методические указания к лабораторным работам № 11-12 по дисциплине «Информатика» для студентов направления подготовки 11.03.03. Ромащенко М.А
МП задачи 2019
Разработка рекламной кампании ОАО 'Трансаэро'