Материал: Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. методические указания к самостоятельной работе. Ряжских А.В., Соболева Е.А
ром AD и гранью ABC, 3) уравнение высоты, опущенной на грань ABC из вершины D, и основание этой высоты - точку F, 4) уравнение плоскости, проходящей через ребро AD и точку F. Сделать чертеж.
Решение.
(1)Найдем уравнение плоскости ABC по формуле (3):
x −3 |
y −4 |
z |
|
= 0 или 12x +16y + 20z −100 = 0. |
(6) |
|
|||||
−4 |
−2 |
4 |
|
||
2 |
−4 |
2 |
|
|
|
Тогда вектор нормали к плоскости N (12;16;20).
(2)Найдем угол между ребром AD и гранью ABC по формуле (5). Вычислим координаты вектора AD и его длину:
AD =(4;−6;6) AD = 2
22 .
Используя ранее найденные координаты вектора N , получим его длину
N |
= 20 |
|
2 |
. |
|
|
После вычисления скалярного произведения получим |
|||||||
sin(ϕ)= |
9 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
, ϕ = arcsin |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
10 11 |
|
10 |
11 |
|
||||||||
(3) Найдем уравнение высоты, опущенной на грань ABC из вершины D. Используя координаты вектора N , перпендикулярного плоскости ABС, запишем
уравнение прямой, параллельной N и проходящей через точку D:
x12−7 = y16+ 2 = z20−6 .
Основание высоты, опущенной на грань ABC - точка F, принадлежит одновременно и плоскости ABC и прямой DF. Удобно уравнение прямой DF представить в параметрическом виде
x =12t +7;
y =16t −2; (7)z = 20t +6.
Тогда, подставив (7) в уравнение плоскости ABC (6), получим уравнение на па-
раметр t : 800 t + 72 = 0 , t = – 0.09.
Подставив полученный параметр t в (7), найдем координаты точки F
(5.92;−3.44;4.20).
26
(4) Найдем уравнение плоскости, проходящей через ребро AD и точку F. По-
скольку направляющий вектор прямой уже известен - это вектор AD , уравнение плоскости можно записать используя условие компланарности 3 векторов:
(AM × AF ) AD = 0,
где M - любая точка плоскости с координатами (x; y; z). Тогда
|
x −3 |
y −4 |
z |
|
|
|
|
|
|||
|
5.92 −3 |
−3.44 −4 |
4.20 |
−0 |
= 0 |
|
4 |
−6 |
6 |
|
|
или −19.44x −0.72y +12.24z +61.20 = 0 . После упрощения уравнение примет вид
27x + y −17z −85 = 0. |
(8) |
Для проверки правильности полученного уравнения следует подставить координаты точек A, D, F в (8). Вид пирамиды приведен на рис.1. ■
Рис. 1. Чертеж к примеру 1
5.2. Вопросы для самоконтроля
1.Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки. Направляющий вектор прямой.
2.Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Вектор нормали плоскости.
3.Угол между прямой и плоскостью.
4.Параметрическое уравнение прямой в пространстве.
5.Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.
27
5.3. Варианты заданий
Задание. В пирамиде ABCD найти: 1) уравнение плоскости ABC, 2) угол между ребром AD и гранью ABC, 3) уравнение высоты, опущенной на грань ABC из вершины D и основание этой высоты - точку F, 4) уравнение плоскости, проходящей через ребро AD и точку F. Сделать чертеж.
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
A |
(4;2;5) |
(4;4;10) |
(4;6;5) |
(3;5;4) |
(–1;6;4) |
B |
(0;7;2) |
(4;10;2) |
(6;9;4) |
(4;7;6) |
(–2;8;2) |
C |
(0;2;7) |
(2;8;4) |
(2;10;10) |
(5;10;14) |
(6;8;9) |
D |
(5;1;0) |
(5;3;5) |
(7;6;9) |
(4;7;8) |
(7;10;3) |
|
|
|
|
|
|
№ |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
A |
(4;8;2) |
(6;6;5) |
(7;2;2) |
(4;8;4) |
(7;7;0) |
B |
(5;4;10) |
(4;9;5) |
(5;7;7) |
(10;5;3) |
(6;3;8) |
C |
(11;2;8) |
(4;6;4) |
(5;3;1) |
(5;6;8) |
(3;5;8) |
D |
(12;4;3) |
(6;9;3) |
(–1;–2;3) |
(8;8;7) |
(8;4;1) |
|
|
|
|
|
|
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
A |
(1;2;2) |
(9;3;7) |
(1;–5;–1) |
(8;2;3) |
(0;–2;3) |
B |
(–1;3;2) |
(3;9;7) |
(–5;1;–1) |
(4;6;5) |
(4;2;5) |
C |
(7;–3;5) |
(7;9;3) |
(–1;1;–5) |
(3;–2;1) |
(6;4;2) |
D |
(–4;0;–2) |
(2;–3;1) |
(–7;–1;0) |
(7;4;5) |
(2;–3;5) |
|
|
|
|
|
|
№ |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
|
|
|
|
A |
(1;4;3) |
(–5;–3;7) |
(2;–1;1) |
(1;–1;–4) |
(–2;–2;–4) |
B |
(6;8;5) |
(3;1;8) |
(4;3;5) |
(1;–5;–1) |
(2;–4;0) |
C |
(5;6;7) |
(3;5;5) |
(3;4;0) |
(–5;1;–1) |
(–4;2;0) |
D |
(5;5;11) |
(–1;1;9) |
(2;3;4) |
(–1;–3;–5) |
(0;2;–3) |
|
|
|
|
|
|
28
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие / под ред. Н. В. Ефимова. - 17-е изд., стереотип. - М.: Профессия, 2010. - 200 с.
2.Письменный, Д. Т.. Конспект лекций по высшей математике [Текст]. Ч. 1. - 15-е изд. - Москва: Айрис пресс, 2017 (Можайск: Можайский полиграф. комби-
нат, 2016). - 279, [1] с.
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................. |
3 |
|
1.МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ....................................................................... |
4 |
|
1.1. Краткие сведения, необходимые для выполнения задания........................ |
4 |
|
1.1.1.Разложение определителя по алгебраическим дополнениям.................... |
4 |
|
1.1.2.Решение систем уравнений........................................................................... |
5 |
|
1.1.3.Матричный способ решения систем линейных уравнений....................... |
7 |
|
1.2. |
Вопросы для самоконтроля ........................................................................... |
8 |
1.3. |
Варианты заданий........................................................................................... |
8 |
2.ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ............................................................. |
9 |
|
2.1. Краткие сведения, необходимые для выполнения задания........................ |
9 |
|
2.2. Вопросы для самоконтроля ......................................................................... |
12 |
|
2.3. Варианты заданий......................................................................................... |
12 |
|
3. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ....................................... |
13 |
|
3.1. Краткие сведения, необходимые для выполнения задания...................... |
13 |
|
3.2. Вопросы для самоконтроля ......................................................................... |
15 |
|
3.3. Варианты заданий......................................................................................... |
15 |
|
4.ЭЛЛИПС И ГИПЕРБОЛА................................................................................. |
16 |
|
4.1. Краткие сведения, необходимые для выполнения задания.................... .. |
16 |
|
|
Вопросы для самоконтроля ........................................................................ |
20 |
4.3. Варианты заданий......................................................................................... |
20 |
|
5. ПАРАБОЛА....................................................................................................... |
22 |
|
5.1. Краткие сведения, необходимые для выполнения задания...................... |
22 |
|
|
Вопросы для самоконтроля ........................................................................ |
23 |
5.3. Варианты заданий......................................................................................... |
24 |
|
6. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ........................................... |
24 |
|
6.1. Краткие сведения, необходимые для выполнения задания...................... |
24 |
|
6.2. Вопросы для самоконтроля ......................................................................... |
27 |
|
6.3. Варианты заданий......................................................................................... |
27 |
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ……………………………………….29 |
||
29
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТЕЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по дисциплине
для студентов направления 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей»
Составители:
Ряжских Александр Викторович, Соболева Елена Александровна
Компьютерный набор А. В. Ряжских
Подписано к изданию 29.04.2021 Объем данных 506 Кб
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский просп., 14
30