Материал: Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. методические указания к самостоятельной работе. Ряжских А.В., Соболева Е.А

Пользуясь приведенными выше формулами, решим пример.

Пример 1. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(3; 4; 0), B(– 1; 2; 4), C(5; 0; 2), D(7; – 2; 6). Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра BC,

2) проекцию AB на AD , 3) угол между ребрами AB и AC , 4) площадь грани ABC, 5) объем пирамиды, 6) длину высоты, опущенной на грань ABC. Сделать чертеж.

Решение.

(1) Найдем координаты вектора BC по формуле

BC = (xC − xB; yC − yB; zC − zB ),

BC = ( 5 – (– 1) ; 0 – 2 ; 2 – 4) = (6 ; – 2 ; – 2).

и свойство векторного произведения - модуль векторного произведения двух векторов имеет величину, равную площади составленного из этих векторов па-

1

раллелограмма. Поэтому площадь треугольника SABC = 2 AB × AC . Векторное

11

Окончательно, вычислив модуль вектора и разделив его на 2, получим искомую площадь: SABC =102 .

Искомый объем VABCD =12 .

(6)Найдем длину высоты, опущенной на грань ABC:

2.2. Вопросы для самоконтроля

1.Длина вектора.

2.Скалярное произведение двух векторов.

3.Угол между двумя векторами.

4.Векторное произведение двух векторов.

5.Площадь треугольника и параллелограмма

6.Смешанное произведение трех векторов.

7.Объем пирамиды и параллелепипеда.

2.3.Варианты заданий

Задание. Даны координаты вершины пирамиды ABCD. Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра BC, 2) проекцию ребра AB на AD, 3) угол между ребрами AB и AC, 4) площадь грани ABC, 5) объем пирамиды, 6) длину высоты, опущенной на грань ABC. Сделать чертеж.

12

3.ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

2.4.Краткие сведения, необходимые для выполнения задания

Пусть заданы координаты вершин треугольника ABC:

A(xA, yA ), B(xB , yB ), C (xC , yC ).

Уравнение прямой AВ, проходящей через точки А и В, имеет вид:

13

Длина отрезка AВ: AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 .

Если уравнение прямой АВ записать в виде общего уравнения прямой Ax + By + C = 0 , то для нахождения расстояния от точки В до прямой АС можно

пользоваться формулой:

Рассмотрим две прямые АС и BD. Пусть они заданы в виде уравнений прямых с угловыми коэффициентами:

y = kAC x + b1; y = kBD x + b2 .

Тогда, если kAC kBD = −1, то прямая BD перпендикулярна прямой AC, если kAC = kBD , то прямая BD параллельна прямой AC.

Пример 1. Заданы координаты вершин треугольника ABC:

A(3;4), B(-2;5), C(-1;-2) . Требуется найти: 1) уравнение и длину стороны AC, 2) длину и уравнение высоты BE, 3) уравнение медианы BD. Сделать чертеж.

Решение.

Прежде всего, изобразим треугольник (рис. 1а).

Рис. 1. Построение треугольника (а), его высоты (б) и медианы (в)

14

3x − 2y −1 = 0 .

II. Определим длину и уравнение высоты BE, опущенной из вершины B на сторону AC.

В общем случае удобно записать искомое уравнение в виде уравнения прямой y = kBE (x − xB ). Перепишем уравнение прямой АС в виде

y = kAE x − 12 где kAE = 32 .

По определению, высота BE должна быть перпендикулярна стороне AC. Тогда угловой коэффициент в уравнении прямой ВЕ должен удовлетворять со-

отношению kBEkAC = −1. Соответственно, kBE = −23 . Уравнение прямой ВЕ

(рис. 1б) примет вид 2x + 3y −11 = 0. Для определения длины BE воспользуемся стандартной формулой (3). Расстояние от точки В до прямой АС

III. Требуется найти уравнение медианы BD. Для этого найдем точку D – середину отрезка АС:

Проведем прямую через точку D(1;1) и вершину треугольника В. Уравнение прямой найдем так же, как и в пункте I решения

4x +3y −7 = 0 .

Все полученные прямые изображены на рис. 1в.■

15