Материал: Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. методические указания к самостоятельной работе. Ряжских А.В., Соболева Е.А
3.3. Варианты заданий
Задание. Предложены задания двух типов: (а) по заданным параметрам или точкам построить каноническое уравнение линии второго порядка; (б) по известному каноническому уравнению линии найти ее параметры. Сделать чертеж.
1. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку
M(−2
5;2), если малая полуось его b = 3.
2.Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку M (2 ;
–2), если его большая полуось a = 4.
3.Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки M1(4 ;
–
3 ) и M2 2 
2 ;3 .
4.Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку M( 
15 ; –1), если расстояние между фокусами 2c = 8.
5.Дан эллипс 9x2 +5y2 = 45. Найти: 1) его полуоси, 2) координаты фокусов, 3) эксцентриситет эллипса.
6. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусы F1(−2; 32),
F 2(2;−32)и эксцентриситет ε = 
2 2 .
7. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку
M(2;−53 ), если эксцентриситет ε = 23 .
8.Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8, а эксцентриситет ε = 12 .
9. Составить каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет ε = 
3 5 , а малая полуось b = 2.
10.Найти длины полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса x2 +9y2 =9 .
11.Составить уравнение гиперболы, зная уравнения асимптот y = ±43 x и расстояние между фокусами 2c = 20.
12.Составить уравнение гиперболы, зная уравнения асимптот y = ±125 x и расстояние между вершинами, равное 48. Найти эксцентриситет.
13.Дана гипербола 16x2 −9y2 =144 . Найти: 1) её полуоси, 2) координаты фокусов, 3) эксцентриситет 4) уравнения асимптот.
21
14.Составить каноническое уравнение гиперболы, если даны: точка M(– 5 ; 3)
гиперболы и эксцентриситет ε = 
2 .
15.Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку M (9 2;−1), если уравнения её асимптот y = ±23 x.
16.Заданы расстояние между вершинами гиперболы, равное 24 и положение фокусов F1(– 10 ; 2), F2(10 ; 2). Составить уравнение гиперболы.
17.Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки M1(6; – 1) , M2 (−8;2
2 ). Найти эксцентриситет.
18.Составить каноническое уравнение гиперболы, если угол между её асимптотами равен 60° и гипербола проходит через точку M(6 ; 3).
19.Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между её вершинами равно 8, а расстояние между её фокусами равно 10. Найти уравнения её асимптот и эксцентриситет.
20.Найти длины полуосей, координаты фокусов, эксцентриситет гиперболы
9x2 −4y2 −36 = 0.
4.ПАРАБОЛА
4.1.Краткие сведения, необходимые для выполнения задания
Каноническое уравнение параболы имеет вид |
|
2 py = x2 . |
(1) |
Соответствующий график изображен на Рис. 11а.
Положение фокуса определяется координатами F (0; p 2 ), а положение дире к-
трисы определяется уравнением y = − p 2 .
Рис. 1. Вид параболы (а). График к примеру 1 (б)
22
Вершина параболы (точка B) совпадает с началом координат. Эксцентриситет линии ε = 1. Если вершина параболы смещена в точку B1 (x1 , y1 ), то уравнение параболы примет вид
y − y = |
1 |
(x − x |
)2 . |
(2) |
|
2 p |
|||||
1 |
1 |
|
|
Положение фокуса в этом случае определяется координатами F (x1; y1 + p 2 ), а
положение директрисы - уравнением y = y1 − p 2 . Пользуясь этими формулами, решим пример.
Пример 1. Привести уравнение параболы y2 – 8y + 8x = 0 к каноническому виду. В новых и старых координатах определить координаты фокуса параболы, положение вершины, составить уравнение директрисы. Сделать чертеж.
Решение
Приведем уравнение параболы к каноническому виду, выделив полный квадрат относительно переменной y, поскольку именно она входит в уравнение
со степенью 2. Получим (y – 4)2 = – 8(x – 2). Следовательно p = – 4. Поскольку в полученном уравнении координаты x и y поменялись местами по сравнению с
(2)при изображении параболы необходимо развернуть систему координат на 90°. Фокальной осью параболы будет ось x. Ее вершиной будет точка B с координатами (2; 4). Переместим в эту точку начало новой системы координат для того, чтобы полученное уравнение совпало с каноническим. В "новой" (x1 , y1) и "старой" (x , y) системах координат (СК) имеем:
объект |
|
новая СК |
старая СК |
положение |
вер- |
(0;0) |
(2;4) |
шины B |
|
|
|
положение |
фо- |
(–2;0) |
(0;4) |
куса F |
|
x1 = 2 |
x = 4 |
уравнение |
ди- |
ректрисы D
При построении параболы вначале изобразим старые и новые оси координат. Для этого проведем оси x1 и y1, проходящие через точку B. Затем в этой системе координат построим фокус F и директрису (Рис. 11б). Далее, в новой системе координат построим параболу, симметричную относительно оси x1 и
удовлетворяющую уравнению линии в каноническом виде – 8 x1 = (y1)2. Строим таблицу значений (y1 , x1)
23
y |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
– 0.13 |
– 0.50 |
– 1.1 |
– 2. |
– 3.1 |
– 4.5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
и вычерчиваем по ней сначала верхнюю от точки B половину параболы, а затем, симметрично относительно оси x1, нижнюю часть линии. После построения необходимо проверить положение вершины B, фокуса F и директрисы в "новой" (x1 , y1) и "старой" ( x , y ) системах координат. Проверим также коор-
динаты какой-либо из точек в разных с |
истемах. Например, возьмем точку М |
|||
при y = |
1. По |
уравнению в |
старой системе координат получим |
|
x = y − y2 |
=1− 1 |
8 |
= 0.875Строим точку по ее координатам, и убеждаемся, что |
|
8 |
|
|
|
|
она принадлежит параболе.■
4.2. Вопросы для самоконтроля
1.Каноническое уравнение параболы.
2.Координаты вершины параболы и уравнение директрисы.
4.3. Варианты заданий
Задание. Методом выделения полного квадрата привести уравнение параболы к каноническому виду. В новых и старых координатах определить координаты фокуса параболы, положение вершины, составить уравнение директрисы. Сделать чертеж.
1. y2 – 10 x – 2 y – 19 = 0 |
2. y2 – 6 x +14 y + 49 = 0 |
||
3. y2 – 6 x – 4 y + 29 = 0 |
4. x2 + 6 x + 5 = 2 y |
||
5. x2 – 10 x = 4 y – 13 |
6. 2 x2 – y – 4 x – 1 = 0 |
||
7. 3 x2 – y + 6 x + 5 = 0 |
8. 3 y2 – x + 6 y + 1 = 0 |
||
9. 2 y2 – x + 8 y + 10 = 0 |
10. 3 y2 |
– x – 6 y + 2 = 0 |
|
11. 4 y2 |
– x – 16 y + 17= 0 |
12. 2 y2 |
– x – 16 y + 29 = 0 |
13. 3 y2 |
– x + 6 y – 1 = 0 |
14. 4 y2 |
– x – 8 y + 7 = 0 |
15. 2 y2 |
– x + 8 y + 12 = 0 |
16. x2 – y + 4 x + 5 = 0 |
|
24
17. 3 x2 – y + 6 y + 1 = 0 |
18. 4 x2 – y – 8 x + 7 = 0 |
19. 3 x2 – y + 12 x + 16 = |
20. 4 x2 – y + 16 y + 12 = |
0 |
0 |
5.ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
5.1.Краткие сведения, необходимые для выполнения задания
Пусть заданы три точки A(xA; yA; zA ), B(xB; yB; zB ) Уравнение прямой AВ имеет вид:
|
|
x − xA |
= |
y − yA |
= |
|
z − zA |
. |
|||||
|
xB − xA |
|
|
yB − yA |
|
|
|
zB − zA |
|
||||
Или, иначе, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x − xA |
= |
y − yA |
= |
z − zA |
, |
||||||
|
|
ax |
|
|
ay |
|
|
az |
|
||||
гдеax ,ay ,az - координаты вектора a , параллельного прямой.
и C (xC ; yC ; zC ).
(1)
(2)
Уравнение плоскости AВC, проходящей через точки А, B и C, можно записать в виде определителя
x − xA xB − xA xC − xA
y − yA yB − yA yC − yA
z − zA
zB − zA = 0. (3) zC − zA
Раскрыв определитель, получим общее уравнение плоскости
Nx x + Ny y + Nz z −d = 0, |
(4) |
где N =(Nx; Ny; Nz ) - вектор, перпендикулярный плоскости.
Угол ϕ между прямой AB и плоскостью ABC определится соотношением
sin(ϕ)= |
|
|
a |
N |
|
|||
|
|
a |
|
N |
|
. |
(5) |
|
|
|
|
||||||
Пользуясь приведенными выше формулами, решим пример.
Пример 1. Даны координаты вершины пирамиды ABCD: A(3; 4; 0), B(–1; 2; 4), C(5; 0; 2), D(7; –2; 6). Найти: 1) уравнение плоскости ABC, 2) угол между реб-
25