Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y	6
y	6
d	q
	q	D
c	q
	qO aq	bq -	x

Ðèñ. 47

èäëÿ âñåõ x 2 [a; b] существует интеграл

∫d

	I(x) =	f(x; y) dy:
		c
Тогда	∫∫D f(x; y) dxdy = ∫ab I(x) dx:

Переменные x è y равноправны. Поэтому в случае существования для всех y 2 [c; d] интеграла

∫ b

J(y) = f(x; y) dx

имеет место равенство

∫∫∫ d

f(x; y) dxdy =	J(y) dy:
D	c

Интеграл	∫ b

I(x) dx

называется повторным и обычно записывается в виде

∫ b ∫ d

dx f(x; y) dy:

Формулы, полученные в теореме 40

∫∫ ∫ b ∫ d ∫ d ∫ b

f(x; y) dxdy = dx f(x; y) dy = dy f(x; y) dx

D a c c a

называются формулами повторного интегрирования. Пусть теперь область D имеет вид

D = f (x; y) : a x b; φ1(x) y φ2(x) g:

Поместим эту область в прямоугольник

= f (x; y) : a x b; c y d g:

Функцию f(x; y) доопределим нулем в точках n D. Тогда

∫∫D f(x; y) dxdy = ∫∫ f(x; y) dxdy:

y = φ2(x)

y = φ1(x)

qO aq

x bq

Ðèñ. 48
Из теоремы 40 имеем	∫ab I(x) dx:
∫∫ f(x; y) dxdy =

Íî â ñèëó òîãî, ÷òî f(x; y) = 0 ïðè c y φ1(x), а также при φ2(x) y d, получаем

φ (x)
I(x) = ∫φ1(2x)	f(x; y) dy:

Таким образом, получаем следующую формулу
∫∫D f(x; y) dxdy =	∫ab dx	∫φ1(2x)	f(x; y) dy:
		φ (x)

Если область D имеет вид

D = f (x; y) : c y d; 1(y) x 2(y) g;

то аналогичные рассуждения приводят к формуле

∫∫D f(x; y) dxdy =

∫c d dy ∫

1(2y()

f(x; y) dx:

x =

1(y) x =

2(y)

Ðèñ. 49

Лекция 27 апреля 2021 г.

Пример 36. Вычислить∫∫

(x + y) dxdy;

где область D ограничена линиями y = x2, y = 0, x = 1.

y = x2

Ðèñ. 50

Имеем

∫∫D(x + y) dxdy = ∫0

dx ∫0 x2

(x + y) dy:

Далее,

∫

(

)

Следовательно,

(x + y) dy = xy + y2

= x3 + 2 :

∫∫

∫

(

)

Пример 37.

Записать в виде

повторных

интегралов

+ 10

= 20:

D(x + y) dxdy =

+ 2

dx =

+ 10

= 4

∫∫D f(x; y) dxdy;

где область D ограничена линиями y = x, y = 2

x, y = 0.

qy = x @q

@ y = 2 x

Ðèñ. 51

Имеем	∫∫D f(x; y) dxdy =	∫0		dx ∫0
ãäå	∫∫D f(x; y) dxdy =	∫0	2	dx ∫0		φ(x) f(x; y) dy;
	x;			x	2	[0; 1];
	φ(x) = {2 x; x				2	[1; 2]:
					2

Функция φ(x) задается разными формулами на каждом из двух участков области D. Поэтому получается сумма двух повторных

интегралов

∫∫ ∫ 1 ∫ x ∫ 2 ∫ 2 x

f(x; y) dxdy = dx f(x; y) dy + dx f(x; y) dy:

D 0 0 1 0

Если записать повторный интеграл в другом порядке, то можно

обойтись одним интегралом

∫∫ ∫ 1 ∫ 2 y

f(x; y) dxdy = dy f(x; y) dx:

D 0 y

61. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть объемная область V имеет цилиндрическую форму с образующей, параллельной оси Oz, ограниченная поверхностями z =

z1(x; y) снизу и z = z2(x; y) сверху, (x; y) 2 D. Тройной интеграл по такой области можно представить через один однократный ин-

теграл и один двойной интеграл

∫∫∫ ∫∫ ∫ z2(x;y)

f(x; y; z) dxdydz = dxdy f(x; y; z) dz:

V D z1(x;y)

В силу того, что двойной интеграл может быть записан через повторный, тройной интеграл представляется в виде трех однократных интегралов.

Пример 38. Записать в виде двойного и однократного, а затем

в виде трех однократных интегралов тройной интеграл

∫∫∫

f(x; y; z) dxdydz;

ãäå V область, ограниченная плоскостью

x +	y	+	z	=	1

2		3
и координатными плоскостями.
Имеем					∫0
∫∫∫V f(x; y; z) dxdydz = ∫∫D dxdy						3(1 x y=2) f(x; y; z) dz;

ãäå D область на плоскости Oxy, на которую проецируется V .

z	6
3	qJJ
	V		J	JJ2
		O		JJ2		-
q					q
q

1						y

Ðèñ. 52

	y	6
	y	6
	2	qAA
		A
		A y = 2				2x
			A
		D A
		qO	A1q				-	x
					Ðèñ. 53
Записывая интеграл по области D через повторный интеграл,
получаем			∫0			∫0	2 2x dy ∫0
∫∫∫V f(x; y; z) dxdydz =			∫0	1	dx	∫0	2 2x dy ∫0		3(1 x y=2) f(x; y; z) dz:

62. Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан преобразования

Рассмотрим преобразование области T на плоскости Ouv в область D на плоскости Oxy, задаваемое функциями

x = x(u; v);

y = y(u; v):	(29)

Будем считать, что функции x(u; v) è y(u; v) имеют непрерывные частные производные в области T .

Определение 47. Якобианом преобразования (29) называется

определитель		xu′	yu′

Если в окрестности точки Pj(uj; vj)			T	выбрать прямоугольник
J(u; v) =	xv′		yv′	:
			2

с маленькой площадью ∆uj∆vj, то он с помощью преобразования (29) перейдет в некоторый кусок области D, площадь которого с

Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния