Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y 6		v 6
+
D			T

qO	-x	qO	-u

Ðèñ. 54

точностью до бесконечно малых более высокого порядка будет рав- íà jJ(uj; vj)j∆uj∆vj. Тем самым геометрический смысл якобиана в

том, что его значение является коэффициентом растяжения (или сжатия) площади при соответствующем преобразовании. Исполь-

зуя этот факт, доказывается следующая формула

∫∫ ∫∫

f(x; y) dxdy = f(x(u; v); y(u; v))jJ(u; v)j dudv;

D T

которая называется заменой переменных в двойном интеграле.

63. Переход к полярным координатам в двойном интеграле

Выясним как будет происходить замена переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам

x = cos φ;

y = sin φ:

Имеем		x′

J( ; φ) =
	xφ′

y′		cos φ	sin φ

yφ′		sin φ
yφ′	=	sin φ	cos φ = :

Таким образом, имеет место равенство

∫∫ ∫∫

f(x; y) dxdy = f( cos φ; sin φ) d dφ:

D T

Пример 39. Перейти к полярным координатам и вычислить

двойной интеграл			x2	y2 dxdy; D = f (x; y) : x2 + y2 R2 g:
∫∫D	√	R2

При переходе к полярным координатам угол φ будет изменяться от 0 до 2 , а при каждом φ радиус будет изменяться от 0 до R. Тем самым области D будет соответствовать область

T = f ( ; φ) : 0 R; 0 φ 2 g:

это верхняя

y 6		φ 6
'D R$		2 q	T q
+	x	qO Rq
qO	x	qO Rq
	-			-
&%

Ðèñ. 55

Переходя в интеграле по области T к повторному, получаем

∫∫D

dxdy = ∫0

2 dφ ∫0 R

R2 x2

2 d

√

∫

√

3=2

)

= 2

R2 2 d

3=2

R3:

√

Заметим, что поверхность z = R2 x2 y2

часть сферы радиуса R с центром в нуле. Таким образом, нами вычислен объем половины шара радиуса R.

64. Замена переменных в тройном интеграле

Рассмотрим теперь замену переменных в тройном интеграле

∫∫∫

f(x; y; z) dxdydz:

Пусть задано преобразование пространства Ouvw в пространство

Oxyz

x = x(u; v; w);

Определение 48.

определитель

y = y(u; v; w);				(30)
z = z(u; v; w):
Якобианом	преобразования (30) называется
	xu′	yu′	zu′
	w	w	w
J(u; v; w) =		yv′	zv′	:
J(u; v; w) =	xv′	yv′	zv′	:

		y′	z′
	x′	y′	z′

Здесь имеет место формула, аналогичная формуле для двойного

интеграла,

∫∫∫

f(x; y; z) dxdydz

V∫∫∫

=f(x(u; v; w); y(u; v; w); z(u; v; w)jJ(u; v; w)j dudvdw;

Ω

где Ω это объемная область в Ouvw, которая отображается на

65.Переход к цилиндрическим координатам в тройном

интеграле

Рассмотрим некоторые конкретные преобразования в пространстве. Начнем с цилиндрической системы координат

x = cos φ; y = sin φ; z = z:

Ðèñ. 56

Вычислим якобиан этого преобразования

x′

y′

z′

cos φ

sin φ

yφ′

zφ′

sin φ

cos φ

J( ; φ; z) = xφ′

0 = :

Следовательно, переход

к цилиндрической

системе осуществляется

y′

z′

x′

следующее образом

∫∫∫ ∫∫∫

f(x; y; z) dxdydz = f( cos φ; sin φ; z) d dφdz:

V Ω

Пример 40. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом вращения z = x2 + y2 и плоскостью z = 4 (z 4).

Объем тела есть тройной интеграл от единичной функции. Перейдем в таком интеграле к цилиндрической системе координат.

z6 q4

O 2 y x

Ðèñ. 57

Óãîë φ меняется очевидным образом от 0 до 2 , а радиус проекций точек тела на плоскость Oxy при любом φ меняются от 0 до 2 в силу того, что проекция всего тела на эту плоскость есть круг радиуса 2. Переменная z меняется от уравнения поверхности параболоида вращения до плоскости z = 4. Надо только учесть,

что уравнение параболоида вращения в цилиндрической системе координат записывается как z = 2. Èòàê,

∫∫∫V	dxdydz =	∫0	dφ ∫0	2	d	∫ 2	dz = 2 ∫0	2	(4	2) d
		2				4
										4		2


							= 2 (2 2			4	) 0		= 8 :

66. Переход к сферическим координатам в тройном интеграле

Сферическая система координат (r; φ; ) связана с декартовыми следующим образом

x = r sin cos φ; y = r sin sin φ; z = r cos :

Здесь r расстояние до центра координат, угол φ такой же, как и в цилиндрической системе координат, а угол меду радиусвектором точки и осью Oz.

z 6

O -

φHHHHj y x

Ðèñ. 58

Вычислим якобиан при переходе к сферическим координатам

xr′

yr′

zr′

sin cos φ

sin sin φ

cos

yφ′

zφ′

r sin sin φ

r sin cos φ

J(r; φ; ) = xφ′

y′

z′

x′

r cos cos φ

r cos sin φ

r sin

sin

cos φ

sin sin φ

cos

sin φ

cos φ

= r sin

= r sin (cos

cos cos φ

cos sin φ

sin

cos φ)

cos φ

sin φ

sin

sin φ

cos φ

sin φ

= r sin :

Таким образом, переход к сферической системе координат осуществляется следующее образом

∫∫∫

f(x; y; z) dxdydz

V∫∫∫

=f(r sin cos φ; r sin sin φ; r cos )r2 sin drdφd :

Ω

Пример 41. Вычислить объем шара радиуса R.

Имеем		jV j = ∫∫∫V
		jV j = ∫∫∫V	1 dxdydz:
Перейдем к сферическим координатам. Тогда
jV j = ∫0	2 dφ ∫0	d ∫0 R r2 sin dr = 2 ∫0		sin d ∫0 R r2 dr
					r3		R		4

				= 2 2	3	0		=	3	R3:

Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния