Вернемся к разыгрыванию двумерной случайной величины. Пусть, например, разыграна широта и получено значение. Надо разыграть долготу при известной широте, т.е. необходимо воспользоваться условной вероятностьюиз (23), когда. Другими словами, задача сводится к разыгрыванию условной дискретной случайной величины, принимающей значенияс вероятностями, …,. Применим процедуру, аналогичную при разыгрывании широты, т.е. найдем соответствующие кумулятивные наборы, сгенерируем равномерно распределенное на отрезке[0;1]случайное числои определим номер интервала, в который попадает случайное число.
В итоге изложенного выше алгоритма, завершается процедура разыгрывания двумерной случайной величины, т.е. находится пара, генерация которых может быть продолжена без ограничений. В конкретных расчетах алгоритм был несколько иной. Пусть генерируетсяпар значений,. Для четных значенийразыгрывалась вначале широта, а затем с помощью условной вероятности разыгрывалась долгота и, наоборот, при нечетномразыгрывалась вначале долгота, а затем с помощью условной вероятности разыгрывалась широта.
На рис.15 приведен итог применения, изложенного выше алгоритма в виде одной из версий случайного нанесенияточек в пределах суши с учетом плотности емкости среды обитания.
Рис.15. Случайное распределениеточек с учетом плотности емкости среды обитания
Трафик между территориями
Учтем наличие корреспонденций или трафика между парой территорий с номерамии(). В предыдущем разделе был разработан алгоритм случайного распределенияточек на поверхности Земли с учетом плотности емкости среды обитания. С каждой из точек свяжем определенную территорию, которая будет обладать соответствующей емкостью среды обитания,. В качестве таких территорий возьмем многоугольники Вороного для конечного набора точек,на поверхности Земли. Наборточек можно истолковать в том числе и в качестве логистических узлов по транспортировке части емкости среды обитания между территориями.
На рис.16 приведен пример распределения методом Монте-Карлоточек на поверхности Земли с учетом процедуры (21) -- (24). Там же с учетом береговой линии и полюсов нанесены соответствующие многоугольники Вороного. При построении многоугольников Вороного в координатах “широта - долгота” имела место особенность, связанная с полюсами. Вводились дополнительно четыре “фиктивные” точки:,,,, где. В расчетах параметрвыбирался, равным 5. Далее находились многоугольники Вороного по расширенному набору точек,. В рамках данной процедуры гарантировано конечные многоугольники Вороного включали береговую линию, а неограниченные многоугольники были вынесены в фиктивную область.
Рис.16. Карта поверхности Земли со случайным набором точек в пределах суши и многоугольниками Вороного
В начале определим трафик, сопровождение которого беззатратно. Определим матрицу,, элементы которой характеризуют передачу доли-й емкости среды обитания в-ю емкость среды обитания в связи с трафиком. Матрица,выступает в качестве меры обмены емкостью среды обитания между набором точек,на поверхности Земли. Согласно определению следует, что
, (25)
где-- доля-й емкости среды обитания не подверженная трафику, т.е. это та доля, которая остается внутри-й территории. Набор емкостей среды обитания,выступает в качестве некоторого ресурса, который в контексте трафика считается универсальным и аддитивным.
Найдем количество емкости среды обитания,покинувшее вследствие трафика-ю территорию и соответствующее количество емкости среды обитания,прибывшее в-ю территорию, тогда
. (26)
Принимая во внимание (25), непосредственной проверкой можно установить, что имеет место баланс прихода и ухода емкости среды обитания,, т.е. вследствие беззатратного трафика сколько уходит столько и приходит.
Пусть теперь при перемещении части емкости среды обитания из пунктав пунктдоля ресурсавследствие трафика теряется, считаем при этом, что. Полагаем, что в пределах логистического пункта затраты отсутствуют, т.е.. Матрицуназовем матрицей затрат на транспорт. С учетом (26) составим функционал,всех транспортных затрат:
. (27)
Смысл транспортного функционала (27) прозрачен: при перемещении ресурса из пунктав пунктчасть его в количестверасходуется, аналогично при перемещении ресурса из пунктав пунктчасть ресурса в количестветакже расходуется. Транспортный функционал (27) можно несколько упростить, учитывая, что первая и вторая двойные суммы совпадают, это видно после переобозначения индексов, т.е.
.
В связи с формулойможно поставить оптимизационную задачу о минимизации затрат на корреспонденциипутем подходящего смещения точекв пределах суши. Понятно, что в качестве глобального минимума затрат на транспорт выступает нулевое значение, когда. В математическом виде задача минимизации сводится к поиску набора точек, который, быть может не единственен, при котором реализуется один из локальных минимумов издержек на трафик, т.е.
. (28)
Для дальнейшего продвижения в решении задачи оптимизации (28) необходимы дополнительные уточнения вида матриц. Привлечем к рассмотрению хорошо известную в теории транспортных потоков так называемую гравитационную модель[8,9], в которой вводится некоторое обобщенное “расстояние”() между-й и-й территориями. Отметим, что матрица расстояний,, вообще говоря, не является симметричной, т.е., тогда как по определению считается, что,. Отметим, что из условияне обязательно следует, что точкиисовпадают в физическом пространстве.
Выберем экспоненциальную зависимость коэффициентов матрицы,от расстояния, тогда можно записать следующее представление:
, (29)
где-- некоторый неотрицательный параметр. Непосредственной проверкой можно убедиться в выполнении для матрицы,в форме (29) условия (25).
Следуя экспоненциальной зависимости матрицы,от расстояния в (29), выберем следующее простейшее представление для матрицы затрат на транспорт:
, (30)
гдеи-- некоторые постоянные неотрицательные коэффициенты. Согласно (30) призатраты на транспорт отсутствуют, т.е.. Наконец, прии приследует, что, т.е. доля затрат на транспорт становится постоянной величиной, равной. Из последнего замечания следует, что.
Подставим (29), (30) в, тогда найдем следующее выражение для суммарных затрат на транспорт:
.
Для транспортных затрат в формехарактерны следующие свойства, проверяемые непосредственно. Во-первых, когда расстояние между точками становится нулевым, т.е., затраты на транспорт отсутствуют,. Во-вторых, когда расстояние между точками стремится к бесконечности, т.е., затраты на транспорт в силу выбранных зависимостей (29), (30) также стремятся к нулю,. Отметим, что расстояние, равное нулю, либо стремящееся к бесконечности между парой точек, не означает, что точки сливаются или расходятся на бесконечность.
Рассмотрим транспортные затраты в формекак функцию параметра, т.е.. В этом случае очевидно, что. Пусть теперь, тогда. Для последнего функционала транспортных затрат очевидно, что глобальный минимум, равный нулю, достигается только в том случае, когда расстояния между точками стремятся к бесконечности. Именно последний вариант функционала будет рассмотрен в дальнейшем с точки зрения вычислительного эксперимента. В этом случае точки не смогут собраться вместе, они будут отталкиваться и заполнят максимум среды обитания, т.к. “заперты” на поверхности земной сферы.
Условие предельного переходаназовем “минимаксной транспортной доктриной”, которая расшифровывается согласно формуле: минимум транспортных издержек при максимуме заполнения емкости среды обитания.
Подставимв (28), тогда в общем случае задача минимизации транспортных издержек перепишется в виде:
. (31)
Уточним задачу минимизации (31) в упрощенном виде, когда считается, что, т.е. имеет место минимаксная транспортная доктрина минимума транспортных издержек при максимуме заполнения емкости среды обитания, тогда
.
Для определения алгоритма подсчета матрицы расстояний,выскажем ряд физических соображений об энергетических затратах по перемещению одной условной единицы веса груза из пунктав пункт. Пусть определен маршрут перемещения груза в виде линии:. В качестве аргумента параметризации линии выступает длина линии,, изменяющаяся от нуля до своего максимального значения,, равного длине маршрута, при этом считается, что,и,.
Пусть в начале маршрут движения полностью расположен на поверхности суши. В этом случае энергетика затрат на перемещение одной условной единицы веса груза складывается из трех характерных вариантов движений: 1) вертикальное перемещение груза вверх в связи особенностями рельефа; 2) вертикальное опускание груза в связи с особенностями рельефа; 3) перемещение груза по наклонной поверхности. Первые два пункта вариантов движения описывают энергетические затраты по перемещению груза “вверх - вниз”. Последний пункт характеризуется, главным образом, энергетическими затратами на преодоление трения качения в рамках таких видов транспорта, как автомобильный и железнодорожный. Пусть-- рельеф поверхности суши, тогда для выбранного маршрута перемещения условной единицы массы груза можно записать функцию,.
С учетом высказанных физических соображений запишем формулу для подсчета расстояния по выбранной траектории между парой пунктови,:
, (32)
где,;,-- так называемая “единичная” функция. Неизвестные неотрицательные параметрыхарактеризуют вклад каждого из видов движений по перемещению одной условной единицы массы груза. Интегралы, входящие в (32) назовем транспортными интегралами.
Пусть теперь маршрут движения одной условной единицы массы груза лежит полностью в море, т.е. и пункты отправки, прибытия, и все прочие точки маршрута лежат на поверхности моря. В этом случае энергетические затраты по перемещению одной единицы веса условного груза морским транспортом связаны с преодолением вязкого трения. Для подсчета расстояния по выбранной траектории между парой пунктови,можно воспользоваться формулой (32). Считаем, что водный транспорт движется по горизонтальной поверхности, для которой можно считать, что. Учитывая последней интеграл в (32) и производя элементарное интегрирование, запишем соответствующий транспортный интеграл в виде:
, (33)
где-- некоторый неотрицательный параметр, учитывающий усредненные особенности вязкого трения в водной среде совокупного водного транспорта.
Отметим, что произвольный маршрут между пунктом отправления и назначения можно разбить на этапы движения только по суше или только по морю. Применяя к каждому этапу либо формулу (32), либо формулу (33) и складывая полученные значения, найдем итоговое расстояние между парой пунктов. Расстояния, подсчитанные по формулам (32), (33), не являются расстояниями в обычном смысле слова. Они скорее выступают в качестве эффективных расстояний, которые всегда можно измерить, подсчитав среднюю энергию по перемещению одной условной единицы массы груза из пункта отправки в пункт назначения.
Исходя из физических соображений, оценим по порядку величины параметры. При подъеме груза по наклонной плоскости работа в части подъема выражается формулой:, гдеm-- масс груза, а-- ускорение свободного падения. Найдем удельную работу на единицу веса груза путем деления на, она равна, т.е..
Несколько иная ситуация складывается при движении груза по наклонной плоскости в случае спуска. Не совсем понятно сколько в среднем энергии обычному наземному транспорту (автомобильному и железнодорожному) требуется при спуске. Самый простой случай, считать, что требуется столько же энергии, сколько и при подъеме, тогда найдем.
Для оценки третьего параметра необходимо учесть формулу для определения трения качения. Пусть-- трение качения, а-- радиус колеса, тогда можно записать следующую формулу для работы по преодолению силы качения:. Отметим, что трение качения резины по асфальту для автотранспорта,и трение качения стали по стали для железнодорожного транспорта,можно считать равными по порядку величины, т.е.. Считаем, что средний радиус колеса совокупного автомобиля и вагона железнодорожного транспорта порядка 0,5 м. В этом случае удельная работа по перемещению единицы веса груза составит.
Подставляяи, найдем.
Перейдем к оценке численного коэффициента. Для этого рассчитаем силу сопротивлениядля типичного контейнеровоза[10]с габаритами: длина,= 157 м; ширина,= 25,4 м; осадка,= 9,22 м, водоизмещение,= 22800 т; расчетная скорость,= 19 узлов = 9,77 м/сек. Для подсчета силы трения сопротивления принято использовать формулу, где-- сложный агрегированный коэффициент сопротивления трения,-- плотность морской воды,-- смоченная поверхность корпуса корабля. Поделим силу сопротивления на вес судна, равный,-- средняя плотность массы корабля с грузом,-- объем судна, приближенно его водоизмещение,-- ускорение свободного падения. В итоге можно записать следующую оценку для искомого коэффициента:. Считаем, что,. Величину смоченной поверхности вычислим по формуле Мурагина. В итоге надем. Отметим, что в рамках нашего анализа по порядку величины удельные энергетические затраты на перемещение единицы массы груза с помощью наземного и водного транспортов совпадают.
В задаче оптимизациинабор емкостей среды обитания отдельных регионовсчитался фиксированным. Однако это не отвечает процедуре нарезки территорий с помощью многоугольников Вороного. Действительно, по мере оптимизации расположения точек, их положения будут меняться, что приведет к изменению расположения соответствующих многоугольников Вороного. По этой причине внеобходимо иметь в виду набор,i= 1,…,N, полученный в связи с текущим набором точеки тем, что, где-- емкость среды обитания в пределах суши,-- емкость среды обитания многоугольника Вороного. В итоге задачу оптимизацииследует переписать в виде: