Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

2) ; ;

;

3. 1) 2) , ; 3) ,

4.

5. 1) 2)

3)

6. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

7. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8. 1) ; 2) ; 3) ; 4) 1728.

9. 1) ; ;

; ;

2) ; ; ; ; 3) ; ;

4) ; ; ; ; 5) ; ;

6) ; .

2. Неопределенный интеграл

2.1. Первообразная и неопределенный интеграл

1. Понятие первообразной функции. Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к обратной задаче: по данной функции найти такую функцию , производная которой была бы равна функции , т.е.

Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления.

Определение 1. Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке Х, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство

Рассмотрим примеры.

1. Функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как при любом значении

2. Функция  первообразная для функции на всей числовой прямой, ибо в каждой точке

3. Функция первообразная для функции на интервале (1,+1), так как в любой точке х этого интервала

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Действительно, если – первообразная для , т. е. то функция , где С – произвольная постоянная, также является первообразной для . Например, для функции первообразной является не только , но и функция так как

Отметим, что множество функций , где – некоторая первообразная для функции , а C – произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные для функции .

Лемма. Функция, производная которой на некотором промежутке Х равна нулю, постоянна на этом промежутке.

Терема 1. Если – первообразная для функции на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для функции на этом промежутке может быть представлена в виде , где С – произвольная постоянная.

2. Неопределенный интеграл.

Определение 2. Если функция – первообразная для функции на промежутке Х, то множество функций , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом

При этом функция называется подынтегральной функцией, dx – подынтегральным выражением, а переменная х – переменной интегрирования.

Символ обозначает, таким образом,

совокупность всех первообразных для функции . Но иногда будем понимать его как любой элемент из этой совокупности, т.е. как какую-то из первообразных.

Восстановление функции по ее производной, или, что то же самое, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Примеры.

1. так как

2. так как

3. так как

2.2. Основные свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие свойства.

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного

интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

Неопределенный интеграл от дифференциала

некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной

постоянной, т. е.