Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
(1.4)
Из этого разложения
следует, что числа
-корни многочлена
,
так как при подстановке
правая часть (1.4), а следовательно, и
левая, обращается в нуль. Никакое
значение
,
отличное от
не может быть корнем многочлена
,
так как ни один из множителей в правой
части (1.4) не обращается в нуль при
.
Отсюда следует важный
Вывод. Многочлен n - ой степени не может иметь более n различных корней. Если в разложении (1.4) многочлена на линейные множители некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить. Тогда разложение на множители будет иметь вид:
(1.5)
При этом:
В этом
случае корень
называется корнем кратности
или
- кратным
корнем,
- корень кратности
и т.д. Если какое-либо
,
то корень
называется корнем кратности один или
простым корнем многочлена
.
Если многочлен имеет корень a
кратности k,
то мы будем считать, что многочлен имеет
k
одинаковых корней. Отсюда можно сделать
окончательный
Вывод. Всякий многочлен n-ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).
Рассмотрим теперь
многочлен
,
имеющий действительные коэффициенты
.
Для него имеет место формула (1.4), где
корни
могут быть как действительными, так и
комплексными. Имеет место следующая
Теорема.
Если многочлен
с действительными коэффициентами имеет
комплексный корень
,
то он имеет и сопряженный корень
.
Доказательство.
Подставим
в многочлен
значение
,
произведем возведение в степень,
умножение на коэффициенты
и приведем подобные. В результате
получим
.
Так как
- корень
многочлена, то
.
Отсюда
.
Подставим теперь в многочлен
.
Ранее было показано, что если в выражениях
для суммы, разности, произведения
комплексных чисел заменить каждое
комплексное число сопряженным, то и
результаты указанных операций заменятся
сопряженными числами (см. лемму). Поэтому
в результате подстановки
в
получим число, сопряженное с числом
.
То есть
.
Так как
,
то
,
то есть значение
также является корнем многочлена
.
Таким образом, в
разложении многочлена с действительными
коэффициентами
комплексные корни входят попарно
сопряженными. Перемножив линейные
множители этого разложения, соответствующие
паре комплексно-сопряженных корней,
получим трехчлен второй степени с
действительными коэффициентами:
где
введены обозначения:
,
- действительные числа.
Если число
является корнем кратности k,
то сопряженное ему число
должно являться корнем той же кратности
k.
Поэтому наряду с линейными множителями
в разложение многочлена входят столько
же линейных множителей вида
.
После перемножения они дадут трехчлен
второй степени
с действительными коэффициентами в
степени k.
Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности. То есть
При
этом
Задачи к п. 1
1. Вычислить:
,
,
,
,
если
1)
,
2)
,
2. Доказать следующие соотношения:
1)
;
2)
3)
4)
3. Найти действительные решения уравнений:
1)
2)
3)
4. Найти
все комплексные числа, удовлетворяющие
условию:
5. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа:
1)
;
2)
;
3)
.
6. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
7. Записать следующие комплексные числа в показательной форме:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
8. Вычислить:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
9. Найти все значения корня:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
Ответы к п.1
1. 1)
;
;
;
