Материал: Математический анализ . Часть 2. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
Постоянный
множитель можно выносить из-под знака
интеграла,
т. е. если
то
Неопределенный
интеграл от алгебраической суммы двух
функций равен алгебраической сумме
интегралов от этих функций в отдельности,
т. е.
2.3. Таблица основных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул этой таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных.
Справедливость остальных формул легко проверить дифференцированием.
I.
VIII.
II.
IX
.
III.
X.
IV.
XI.
.
V.
XII.
VI.
XIII.
VII.
XIV.
И нтегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.
2.4. Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.
Теорема 2.
Пусть
функция
определена
и дифференцируема на некотором промежутке
Т и пусть Х – множество значений этой
функции, на котором определена функция
.
Тогда, если на множестве Х функция
имеет первообразную, то на множестве
Т справедлива формула
(2.1)
Формула (2.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Пример 1.
Вычислить интеграл
Решение.
Положим
;
тогда
.
Отсюда
.
По формуле (2.1)
Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем
З а м е ч а н и е. При замене переменной в неопределенном интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от х.
Пример 2.
Вычислить
интеграл
Решение.
Положим
тогда
так что
Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.
Пример 3.
Вычислить
интеграл
Решение.
Положим
откуда
Таким образом,
так что
Пример 4.
Вычислить
интеграл
Решение.
Положим
Тогда
Пример 5.
Вычислить
интеграл
Решение.
Положим
тогда
При
аналогично получим
3. Метод интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.
Теорема 3.
Пусть
функции
и
определены и дифференцируемы на некотором
промежутке Х и пусть функция
имеет первообразную на этом промежутке.
Тогда на промежутке Х функция
также имеет первообразную и справедлива
формула
(2.2)
Формула (2.2)
называется формулой
интегрирования по частям в неопределенном
интеграле.
Так как
то ее можно записать в виде
Эта формула
позволяет свести вычисление
к вычислению интеграла
который может оказаться более простым.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Таким образом,
интеграл
вычислен двукратным интегрированием
по частям.