Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Найти дифференциал указанных функций при произвольных значениях аргумента х и при произвольном его приращении

51. 52.

53. 54.

55. Вычислить приближенно: а) б) в)

56. Обосновать приближенную формулу и вычислить по этой формуле

57. Найти приближенное значение функции при .

Ответы к п. 3

39. 7x + y  3 = 0, x  7y + 71 = 0. 40. y  5 = 0, x + 2 = 0. 41. x  4y + 4 = 0, 4x + y  18 = 0. 42. y  2x = 0, x + 2y = 0. 43. 44. . 45. а) б) в) 46. 242. 47. 49. 50. 55. а) 0.05; б) 0.805; в) 0.2. 56. 2.93. 57. 1.2.

4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 1 (теорема Ферма). Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т. е.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке дифференцируемая функция имеет наибольшее или наименьшее значение, то в точке касательная к графику функции параллельна оси Ox (рис. 13).

Рис. 13 Рис. 14

З а м е ч а н и е. Теорема неверна, если функцию рассматривать на отрезке . Так функция на отрезке [0,1] в точке принимает наименьшее, а в точке – наибольшее значение, однако как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице (рис. 14).

Теорема 2 (теорема Ролля). Пусть на определена функция , причем: 1) непрерывна на ; 2) дифференцируема на ; 3) . Тогда существует точка , в которой .

Г еометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах равные значения, существует точка , в которой касательная параллельна оси Ох (рис. 15). На рис. 15 в точке с функция принимает наибольшее значение.

Рис. 15

Следует отметить, что все три условия теоремы Ролля существенны. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести примеры функций, для которых выполнялись бы два условия теоремы, а третье не выполнялось и производные которых не

Рис. 3

обращались бы в нуль ни в одной точке. Так, например, функция , x[0,1] (см. рис. 14) удовлетворяет условиям 1 и 2, но не удовлетворяет условию 3 и для нее не существует точки с такой, что . Рассмотрим еще два примера. Функция , равная x, если , и равная 0, если (рис. 16), удовлетворяет условиям 2 и 3, но не удовлетворяет условию 1. Функция , x[1,1] (рис. 17) удовлетворяет условиям 1 и 3, но не удовлетворяет условию 2. Для этих функций также не существует точки, в которой их производная обращалась бы в нуль.

Рис. 16 Рис. 17

Отметим, что в математике существенность тех или иных условий доказываемых теорем проверяется построением соответствующих примеров, когда невыполнение того или иного условия теоремы приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным.

Теорема 3 (теорема Лагранжа). Пусть на определена функция , причем: 1) непрерывна на ; 2) дифференцируема на . Тогда существует точка такая, что справедлива формула

Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис.18). Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки и графика функции а  угловой коэффициент касательной к графику в точке Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка с такая, что касательная к графику в точке параллельна секущей Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.

З а м е ч а н и е 1. Равенство

Рис. 74

(4.1)

называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

З а м е ч а н и е 2. Так как точка с лежит между a и b, то , где . Учитывая это, формулу Лагранжа можно записать в виде

З а м е ч а н и е 3. Если положить то получим Такая запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем запись в виде (4.1).

Как будет показано в дальнейшем, теорема Лагранжа лежит в основе доказательства многих формул и теорем анализа.

Теорема 4 (теорема Коши). Пусть функции и непрерывны на и дифференцируемы на . Пусть, кроме того, . Тогда существует точка такая, что справедлива формула

. (4.2)

З а м е ч а н и е. Формула (4.2) называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных приращений.

4.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

1. Раскрытие неопределенности вида . Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида , если

Раскрыть эту неопределенность – значит вычислить предел , если он существует, или установить, что он не существует. Следующая теорема устанавливает правило для раскрытия неопределенности вида .

Теорема 5 (теорема Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Пусть, далее, и в указанной окрестности точки а. Тогда, если существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.

З а м е ч а н и е 1. Если производные удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и , то правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем

З а м е ч а н и е 2. Теорема остается верной и в случае, когда и .

Р а с с м о т р и м п р и м е р ы.

1. .

2.