Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
2.
Дифференцирование функции, заданной
параметрически. Предположим
теперь, что функции
и
имеют
производные, причем
на некотором промежутке.
Тогда
производная функции, заданной
параметрически, выражается формулой
(3.8)
Пример
1.
Найти
,
если
,
(
).
Решение.
Т. к. в нашем случае
,
то по формуле (3.8) получаем
Пусть существуют
вторые производные функций
и
в
некоторой точке
t.
Тогда можно вычислить вторую производную
функции, заданной параметрически.
Заметим, что функция
,
в свою очередь, задана параметрически
уравнениями
и
.
Следовательно,
(3.9)
Аналогично можно получить производную от у по x любого порядка.
Пример
2.
Найти
,
если
,
(
).
Решение.
,
t;
,
,
поэтому по формуле (3.9) найдем
Задачи к п. 3
Найти производные следующих функций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Используя предварительное логарифмирование, найти производные следующих функций:
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Для функций,
заданных параметрически, найти
29.
30.
31.
.
32.
Найти производные второго порядка следующих функций:
33.
34.
35.
36.
Найти производные второго порядка следующих функций заданных параметрически:
37.
38.
Написать уравнение
касательной и нормали к графику функций
в данной точке, если:
39.
40.
41.
42.
43.
В какой точке
кривой
касательная перпендикулярна к прямой
44.
Составить уравнение нормали к параболе
в точке пересечения с биссектрисой
первого координатного угла.
45.
Закон движения материальной точки по
прямой имеет вид
а) В какие моменты времени точка находится в начале координат?
б) В какие моменты времени направление ее движения совпадает с положительным направлением оси Ох?
в) В какие моменты времени ее ускорение равно нулю?
46.
Тело массой 4 движется прямолинейно по
закону
Определить кинетическую энергию тела
в момент времени t
= 5.
47. Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой скоростью изменяются объем и площадь поверхности шара?
48.
Доказать, что для линейной функции
приращение
и дифференциал dy
совпадают.
49.
Найти приращение
и дифференциал dy
функции
соответствующие значению аргумента
и двум различным значениям аргумента
50.
Найти приращение
и дифференциал dS
площади S
квадрата, соответствующие приращению
стороны x.
С помощью рисунка геометрически
истолковать
и разность
.