Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
3.
.
2.
Раскрытие неопределенности вида
.
Будем
говорить, что отношение двух функций
при x
a есть
неопределенность вида
,
если
Для
этой неопределенности справедливо
утверждение, аналогичное теореме 5, а
именно: если в формулировке теоремы
заменить требование
на условие
то теорема останется справедливой.
Рассмотрим примеры.
1.
2.
3.
3. Другие виды неопределенностей и их раскрытие. Неопределенности вида 0 и можно свести к неопределенностям и . Покажем это на примерах.
Пример
1. Найти
.
Решение.
Имеем неопределенность вида 0.
Но
,
и получена неопределенность вида
.
Применяя правило Лопиталя, имеем
Пример
2. Найти
Решение.
Имеем
неопределенность вида .
Но
=
и
при том же условии
получена неопределенность вида
.
Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим
И,
наконец, рассмотрим неопределенности
вида
Такие неопределенности имеют место при
рассмотрении функций
,
если при
функция
стремится
соответственно к 0, 1 и ,
–
соответственно к 0,
и 0. Эти неопределенности с помощью
тождества
сводятся к неопределённости вида 0
,
которая уже рассмотрена.
Пример
3. Найти
Решение.
Имеем неопределенность вида
Но
и в показателе степени получена
неопределенность вида 0,
которая нами уже рассмотрена (см. пример
1). Следовательно,
Пример
4. Найти
Решение.
Имеем неопределенность вида
.
Но
,
и в показателе степени получена
неопределенность вида
.
Применяя
правило Лопиталя, получаем
Следовательно,
Пример
5. Найти
Решение.
Имеем неопределенность вида
.
Но
и
в показателе степени получена
неопределенность вида
.
Применяя правило Лопиталя, имеем
Следовательно,
4.3. Формула Тейлора
Рассмотрим одну из главных формул математического анализа, имеющую многочисленные применения как в самом анализе, так и в смежных дисциплинах.
Формула Тейлора.
Теорема
6 (теорема
Тейлора).
Пусть функция
имеет в точке а и в некоторой ее
окрестности производные порядка n+1.
Пусть х – любое значение аргумента из
указанной окрестности,
.
Тогда между точками а и х найдётся
точка
такая,
что справедлива следующая формула:
(4.3)
Формула
(4.3) называется формулой
Тейлора, а
выражение
остаточным
членом в форме Лагранжа.
Его можно переписать в другом виде. Так
как точка (а,
х),
то найдётся такое число
из интервала
, что
= а+q
(х
а), и остаточный
член принимает вид
Или,
если функция
ограничена в окрестности точки а,
то
при
В этом случае говорят, что остаточный
член записан
в форме Пеано.
2.
Формула Маклорена.
Формулой Маклорена называют формулу
Тейлора (4.3) при
:
Остаточный член имеет вид:
1)
в форме Лагранжа
2)
в форме Пеано
3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
1)
Так
как
то формула Маклорена имеет вид
(4.4)
2)
Так
как
то формула Маклорена имеет вид
(4.5)
3)
Так
как
то формула Маклорена имеет вид
(4.6)
В
формуле (4.5) остаточный член записан в
виде
а не в виде
так как следующий за последним член
равен нулю (то же самое относится к
формуле (4.6)).
4)
,
где
вещественное число. Так как
то формула Маклорена имеет вид
где остаточный член в форме Лагранжа равен
В
частном случае, когда
натуральное число,
следовательно,
и мы получаем известную из элементарной
математики формулу
бинома Ньютона