Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Рис. 32

Точки экстремума:

1) максимум при , причём ; 2) минимум при , причём . На ( ) направление выпуклости графика вверх, а на ( ) - вниз.

6 . Используя полученные данные, строим эскиз графика (рис. 33)

Задачи к п. 4

1. Определить промежутки возрастания и убывания функции:

1) 2)

3)

4) 5)

2. Доказать, что функция убывает на всей числовой прямой.

3. Найти максимумы и минимумы функций:

1) 2)

3)

4) 5)

4. Решеткой длиной 120 метров нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.

5. Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

6. Определить наибольшую площадь прямоугольника, у которого одна сторона лежит на основании а данного треугольника, а две вершины – на боковых сторонах треугольника, если треугольник имеет высоту h.

7. Из квадратного листа картона со стороной а вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся крестообразной фигуры склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?

8. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

9. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения р. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

10. В прямой круговой конус радиуса R и высоты h вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.

11. В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.

12. Из сектора круга радиуса R свертывается коническая воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объем?

13. Даны точки А(0, 3) и В(4, 5). На оси Оx найти точку, сумма расстояний которой до точек А и В наименьшая.

14. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

1) 2)

3) 4)

5) 6)

15. При каком значении а кривая имеет точку перегиба при х = 1?

16. При каком значении а кривая будет иметь выпуклость вниз на всей числовой прямой?

17. Найти асимптоты графиков функций:

1) 2)

3) 4)

5)

Построить графики функций:

18. 19. 20.

21. 22. 23.

24. 25.

26. 27. 28. 29. 30.

31. 32. 33. 34. 35. 36. . 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67.

68. 69. 70.

71. 72. 73.

Ответы к п. 4.

1. 1) Возрастает на , 2) возрастает на и убывает на , 3) возрастает на и убывает на 4) возрастает на и убывает на 5) возрастает на и убывает на 3. 1) При 1/2 – минимум , 2) при 1/e – минимум, 3) при – минимум, ; при – максимум, при – минимум,  37/4; 4) при – минимум, при – максимум, 5) при – минимум, при – максимум , 4. 3030 м. 5. 5 и 5. 6. ah/4. 7. а/6. 8. 9. 10. 11. .