Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

12. 13. (3/2, 0). 14. 1) При – точка перегиба, на (- , 2) – выпуклость вверх, на (2,  вниз; 2) при и – точки перегиба, на (- , -2) – выпуклость вниз, на (2, 1) – вверх, на (1,  вниз; 3) на (  выпуклость вниз, точек перегиба нет; 4) при и – точки перегиба, на (  выпуклость вверх, на (1, 1) – вниз, на (1,  вверх; 5) при 1/2  точка перегиба, на (0, 1/2) – выпуклость вверх, на (1/2,  вниз; 6) на выпуклость вниз, точек перегиба нет. 15. . 16. 17. 1) – вертикальная асимптота,  горизонтальная; 2) 1/2 – вертикальная асимптота, 1/2 – наклонная; 3)  вертикальные асимптоты, – наклонная; 4)  вертикальная асимптота, – наклонная; 5) две различные наклонные асимптоты при и при 18. При  максимум, ; при – минимум, ; при – точка перегиба. 19. При  максимум, ; при  минимум, ; при – точка перегиба. 20. При  максимум, 4/3; при  минимум, ; при – точка перегиба. 21. При  минимум, ; при  максимум, ; при – точки перегиба. 22. Область определения функции (, 0). При  максимум, ; на (, 0) – выпуклость вверх. 23. Область определения функции (, 1). При 2/3  максимум, ; на (, 1) – выпуклость вверх. 24. При  максимум, 3/ ; при x – точка перегиба; – горизонтальная асимптота при . 25. Область определения ; и – наклонные асимптоты при и при . 26. Область определения ; – горизонтальная асимптота. 27. При  минимум, . 28. При  максимум, ; при  минимум, . 29. При  минимум, . 30. При  минимум, ; при  максимум, ; при – точка перегиба; – горизонтальная асимптота. 31. При  минимум, ; при  максимум, . 32. При 3/5  максимум, ; при  минимум, ; при x=6/5 – точка перегиба. 33. Экстремальных точек нет;  вертикальные асимптоты, – горизонтальная асимптота. 34. Экстремальных точек нет,  вертикальные асимптоты, – горизонтальная асимптота. 35. При 2/5  максимум, ; при  минимум, ; при – точка перегиба. 36. При  максимум, ; при  минимум, ; при , – точки перегиба; – горизонтальная асимптота. 37. При  минимум, ; при – вертикальная асимптота, – горизонтальная асимптота. 38. При  максимум, ; при 1/2 – точка перегиба; – вертикальная асимптота, – горизонтальная асимптота. 39. При  максимум, ; при  минимум, ; при , – точки перегиба; – горизонтальная асимптота. 40. При х=0  максимум, ; при – вертикальные асимптоты, – горизонтальная асимптота. 41. При  максимум, ; , – вертикальные асимптоты, – горизонтальная асимптота. 42. При  максимум, 2/е; при – точка перегиба; – горизонтальная асимптота при . 43. При  минимум, f(1) = e; точек перегиба нет; – вертикальная асимптота, – горизонтальная асимптота при . 44. При 1/2  минимум, ; точек перегиба нет; – вертикальная асимптота при . 45. При – максимум, ; при – точка перегиба; – горизонтальная асимптота. 46. При  максимум, ; при  минимум, ; при – точки перегиба; – горизонтальная асимптота. 47. При  минимум, ; – точки перегиба; – горизонтальная асимптота при . 48. При  максимум, ; при , – точки перегиба; – горизонтальная асимптота при . 49. При  максимум, ; – вертикальная асимптота, – горизонтальная асимптота при . 50. При  минимум, ; при  максимум, ; – вертикальные асимптоты; – горизонтальная асимптота при . 51. Экстремальных точек нет, – вертикальная асимптота,  горизонтальные асимптоты, . 52. Экстремальных точек нет. При – точка перегиба, y=  горизонтальные асимптоты; . 53. При – максимум, ; – вертикальная асимптота, – горизонтальная асимптота при . 54. При  максимум, y=1/е; при – минимум, ; – горизонтальная асимптота; функция неотрицательная. 55. При 1/е  минимум, 1/е; (1;0) – точка пересечения с осью Ох; , точек перегиба нет. 56. При  минимум, ; функция положительна,  вертикальная асимптота при . 57. При  максимум, ; при  точка перегиба;  вертикальная асимптота при , – горизонтальная асимптота при . 58. При  минимум, ; при – максимум, ; функция неотрицательна. 59. При  максимум, ; при – минимум, , при и  точки перегиба; функция неотрицательна. 60. При  минимум, ; при – точка перегиба; – вертикальная асимптота. 61. При  максимум, ; при – точка перегиба; – вертикальная асимптота при , – горизонтальная асимптота при . 62. При  минимум, ; при – максимум, ; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 63. При  максимум, ; при – минимум, ; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 64. При  максимум, 49/12; при – максимум, 5/4; при – минимум, 9/8; при 9/7 – точка перегиба; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 65. При  минимум, ; при – максимум, ; – вертикальная асимптота, х/2 – наклонная асимптота. 66. При  минимум, ; точек перегиба нет; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 67. При  минимум, ; при – максимум, ; – вертикальные асимптоты, – наклонная асимптота. 68. Экстремальных точек нет. При ,  точки перегиба, – наклонная асимптота. 69. При  минимум, 27/4; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 70. При 1/2  минимум, ;  вертикальная асимптота при , х+3/2 – наклонная асимптота при . 71. Экстремальных точек нет. При – точка перегиба; х+/2 – наклонная асимптота при , х  /2 – наклонная асимптота при . 72. При  минимум, ; при – максимум, ; – вертикальная асимптота, – наклонная асимптота. 73. При 1/2  максимум, 1/2+/4; при – минимум, 1/2/4; х/2 – наклонная асимптота при , х/2 – наклонная асимптота при .

5. Функции нескольких переменных Введение

Между функциями одной и функциями нескольких переменных имеются существенные различия. Одномерное пространство изменения аргумента функции одной переменной «склеивает» некоторые характеристики функций. Переход от двух переменных к большему их числу, как правило, не представляет затруднений, если не принимать во внимание потерю наглядности графика таких функций.

Зависимость между несколькими переменными величинами, при которой значение одной из них полностью определяется значениями остальных переменных, возникает во многих вопросах естествознания.

Например, наиболее простое термическое уравнение состояния реального газа – уравнение Ван-дер-Ваальса, связывает три переменных p, V, T:

,

где p, V, T – давление, объем газа и его абсолютная температура; R – универсальная газовая постоянная; a и b – постоянные, не зависящие от p, T, но разные для разных газов. Таким образом, это соотношение определяет температуру реального газа в зависимости от значений переменных p и V.

При рассмотрении физических характеристик тела (например, его плотности или температуры T) приходится учитывать изменение этих характеристик при переходе от одной точки тела к другой. Каждую же точку тела можно задать тремя декартовыми координатами x, y, z. Это означает, что рассматриваемая величина (плотность или температура T) определяется значениями трех переменных x, y и z. Если проводится описание физического процесса, то значения физических величин определяются значениями уже четырех

переменных: трех координат точки x, y, z и времени t. Так, при изучении звуковых колебаний газа, его плотность и давление p определяются значениями четырех переменных x, y, z и t.

При изучении экономического поведения индивида учитываются определённого вида зависимости между доходами и его потребностями. Если доля дохода потребителя, которую необходимо потратить для его жизнеобеспечения, равна M, то эта величина зависит от количеств определенных продуктов и диктуемой рынком стоимостью единиц этой продукции .

Для изучения такого рода зависимостей в этой главе вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций. В дальнейшем мы ограничимся изучением в основном функций двух и трех аргументов, причём областью значений будут являться числовые множества.

5.1. Предварительные сведения: n – мерное координатное и n – мерное евклидово пространства

1. Координатное и евклидово пространства.

При изложении теории функций многих переменных используют геометрические понятия, обобщающие наши представления о плоскости и о трехмерном геометрическом пространстве.

Координатным n – мерным пространством называется множество всевозможных упорядоченных совокупностей ( ) вещественных чисел . Будем обозначать n - мерное координатное пространство символом . Каждую упорядоченную совокупность ( ) будем называть точкой n – мерного координатного пространства и обозначать буквой (например, M). Числа будем называть координатами точки.

Запись M( ) означает, что точка М имеет координаты .

Если сопоставить каждой точке координатного пространства вектор с координатами и назвать суммой векторов и вектор с координатами ( ), а произведением вектора на вещественное число вектор , то координатное пространство превращается в линейное пространство.

Для построения теории функций многих переменных недостаточно введения n – мерного координатного пространства. Необходимо ввести расстояние между точками координатного пространства.

Определение. Координатное пространство называется n – мерным евклидовым пространством, если между любыми точками и пространства определено расстояние, обозначаемое символом и выражающееся соотношением

. (5.1)

Обозначается n – мерное евклидово пространство символом .

З а м е ч а н и е. В курсе линейной алгебры, изучаемом в первом семестре, давалось общее определение евклидова пространства как такого линейного пространства, для которого предписано правило, ставящее в соответствие любым двум элементам (векторам) и этого пространства действительное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом или ( ). Это правило удовлетворяет требованиям: 1) ( )=( ), 2) ( )=( )+( ), 3) ( )= ( ), 4) , причем только при , где .

Если в пространстве , элементы которого рассматривать как векторы , , …, определить скалярное произведение соотношением

, (5.2)

то будут выполнены указанные выше четыре условия и пространство превратится в евклидово пространство с точки зрения общего определения евклидова пространства, сформулированного в линейной алгебре.

2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.

Как и в случае функции одной независимой переменной, введению функции n переменных должно предшествовать перечисление и описание важнейших типов множеств точек n – мерного евклидова пространства .

1. Открытый n – мерный шар. Множество {M} всевозможных точек M пространства , координаты которых удовлетворяют неравенству

называется открытым шаром радиуса с центром в точке . Если использовать обозначение (5.1), то последнее соотношение можно записать в виде . Таким образом, открытый шар – это множество всех точек, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки – центра шара, меньше заданного положительного числа .

2. Замкнутый n – мерный шар. Множество {M} всевозможных точек пространства , координаты которых удовлетворяют неравенству

или

называется замкнутым n – мерным шаром радиуса R с центром в .

3. n – мерная сфера. Множество {M} всевозможных точек пространства , координаты которых удовлетворяют равенству

или

называется n – мерной сферой радиуса с центром в точке .

4. Открытый n – мерный шар радиуса с центром в точке называется - окрестностью точки .

5. Открытый n – мерный координатный параллелепипед. Множество {M} всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

где называется открытым n – мерным координатным параллелепипедом с центром в точке или прямоугольной окрестностью точки .

Аналогично вводится понятие замкнутого n – мерного координатного параллелепипеда.

Очевидно следующее утверждение: любая - окрестность точки содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки; любая прямоугольная окрестность точки содержит некоторую - окрестность точки (рис. 34, 35).