Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

В этом случае расстояние от точки до прямой равно

и, следовательно, d 0 при х .

Например, график функции (рис. 29) имеет вертикальную асимптоту , так как при х  0  и при х  0 .

Определение 2. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при ( ), если .

Рис. 28 Рис. 29

В этом случае расстояние от точки до прямой равно

и, следовательно, при , так как, .

Например, график рассмотренной выше функции имеет горизонтальную асимптоту при и при , так как 0 при и при .

Определение 3. Прямая ( ) называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если функцию можно представить в виде

(4.8)

где при ( ).

Рассмотрим геометрический смысл наклонной асимптоты. Для определенности разберем случай, когда . (Случай рассматривается аналогично).

Пусть – точка графика функции и пусть прямая является наклонной асимптотой графика функции при . Текущую ординату точки на асимптоте обозначим через , точку на асимптоте – через (рис.30).Тогда при . Опустим из точки М перпендикуляр МР на асимптоту. Расстояние d от точки М до асимптоты равно где   угол между асимптотой и осью Ох, и, следовательно, .

Таким образом, расстояние от точки графика функции до асимптоты стремится к нулю при х+, т.е. график функции неограниченно приближается к асимптоте при х+.

Рассмотрим способ отыскания наклонной асимптоты, т.е. способ определения чисел k и b в уравнении асимптоты. Разделив равенство (4.8) на х и перейдя к пределу при х+, получим

Итак,

(4.9)

Далее, из соотношения (4.8) получаем:

Таким образом,

(4.10)

Доказано, что если прямая  наклонная асимптота, то числа k и b находятся по формулам (4.9) и (4.10). Обратно, если оба предела (4.9) и (4.10) существуют, причём , то прямая является наклонной асимптотой графика функции при х+.

В самом деле, полагая и используя равенство (4.10), получаем что . Следовательно, справедливо равенство (4.8): , где , т.е. прямая является наклонной асимптотой графика функции при .

Практически целесообразно искать асимптоты в следующем порядке: 1) вертикальные асимптоты; 2) горизонтальные асимптоты; 3) наклонные асимптоты.

Пример 1. Найти асимптоты графика функции .

Решение. 1) Находим вертикальные асимптоты. Точка - точка разрыва 2-го рода данной функции, причем при , при . Следовательно, ось ординат ( )  вертикальная асимптота.

2) Находим горизонтальные асимптоты

,

следовательно, горизонтальных асимптот нет.

3) Находим наклонные асимптоты

,

.

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой графика данной функции как при , так и при .

График функции схематически изображён на рис. 31.

Рис. 30 Рис. 31

Пример 2. Доказать, что гипербола имеет своими наклонными асимптотами прямые .

Решение. Так как , то

Следовательно, прямые являются наклонными асимптотами данной гиперболы как при , так и при .

5. Схема исследования графика функции. Рассмотрим примерную схему, по которой целесообразно исследовать поведение функции и строить ее график.

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Найти асимптоты.

4. Найти точки возможного экстремума.

5. Найти критические точки.

6. С помощью вспомогательного чертежа исследовать знак первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции. Найти направление выпуклости графика, точки экстремума и точки перегиба.

7. Построить график, учитывая исследование, проведенное в п. 1  6.

При этом в начале исследования полезно проверить, является данная функция четной или нечетной, чтобы при построении использовать симметрию графика относительно оси ординат или начала координат.

В качестве примера построим по изложенной выше схеме график функции .

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме , при котором обращается в нуль знаменатель.

2. Так как уравнение не имеет действительных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью Ox, но пересекает ось Oy в точке .

3. Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва . Так как при , при , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции. Если ( ), то ( ), следовательно, горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее, из существования пределов

вытекает, что при и при график функции имеет наклонную асимптоту .

4. Для нахождения точек экстремума вычислим первую производную:

Решая уравнение , получаем две точки возможного экстремума: и .

5. Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:

Так как в нуль не обращается, то критических точек нет.

Нарисуем вспомогательный чертеж и исследуем знак первой и второй производных (рис. 32). Получаем, что функция на ( ) возрастает, на ( ) убывает, а на ( ) снова возрастает.

Точки экстремума:

1) максимум при , причём ; 2) минимум при , причём . На ( ) направление выпуклости графика вверх, а на ( ) - вниз.