Материал: Математический анализ . учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Определение 4. Число А называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности (2.1) значений аргумента соответствующая последовательность (2.2) значений функции сходится к А.

Символическая запись: .

Определение 5. Число А называется пределом функции при ( ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Символическая запись:

Р а с с м о т р и м п р и м е р. Пусть . Эта функция имеет предел, при равный нулю. Действительно, если  бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность значений функции: является бесконечно малой и поэтому имеет предел, равный нулю, т.е. .

Определения 4  5 даны «на языке последовательностей». Можно дать равносильные определения «на языке » и записать их с помощью логических символов. В качестве примера сформулируем определение предела функции при .

Определение 6. Число А называется пределом функции при , если для любого числа существует число такое, что для всех хХ, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

2.3. Теоремы о пределах функции

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести все теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема 1. Пусть функции и g (x) имеют в точке х₀ пределы В и С. Тогда функции ,  g(x) и (при ) имеют в точке пределы, равные соответственно В  С, В  С и .

Теорема 2. Пусть функции , и определены в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и функции , имеют в точке предел, равный А, т.е. . Пусть, кроме того, выполняются неравенства . Тогда

.

З а м е ч а н и е. Теоремы 1 и 2 верны также и в случае, когда х₀ является одним из символов , +, .

2.4. Два замечательных предела

1. Первый замечательный предел .

С помощью первого замечательного предела вычисляются многие другие пределы.

Пример 1. Найти .

Решение. Знаменатель дроби при стремится к нулю. Поэтому теорема 1 из п. 2.3 здесь неприменима. Для нахождения предела преобразуем данную дробь

Пример 2. Найти

Решение. Имеем

Пример 3. Найти .

Решение. Имеем

2. Второй замечательный предел

Второй замечательный предел имеет широкое применение. С его помощью находятся многие другие пределы.

Пример 4. Найти

Решение. Сделаем замену переменной, полагая . Тогда очевидно, что    при . Поэтому

Пример 5. Найти

Решение. Положим . Тогда при и t   . Следовательно,

Пример 6. Найти

Решение. Для нахождения предела преобразуем данную дробь:

Но (см. пример 4). Поэтому В частности, при .

2.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1. Бесконечно малые функции.

Определение 1. Функция называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке (или при ), если

Аналогично определяются бесконечно малые функции при х   x  + x   x  x₀  и х  x₀+.

Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке »: функция называется бесконечно малой в точке , если для любого существует такое, что для всех х  X, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство ; или с помощью логических символов:

( ) ( ) ( , , : |;

и «на языке последовательностей»: функция называется бесконечно малой в точке , если для любой сходящейся к последовательности { } значений аргумента х, отличных от , соответствующая последовательность { } является бесконечно малой.

(29)

необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой при

Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые последовательности. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при , а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при .

Все сказанное о бесконечно малых функциях при справедливо и для бесконечно малых функций при  x   x x₀ и х  x₀+.

2. Бесконечно большие функции.

Определение 2. Функция называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке (или при ), если для любого существует такое, что для всех , , удовлетворяю­щих неравенству , выполняется неравенство |f (х)|  A.

В этом случае пишут и говорят, что функция стремится к бесконечности при , или что она имеет бесконечный предел в точке .

Если же выполняется неравенство f(х)  A ( f(х)  A ), то пишут и говорят, что функция имеет в точке х₀ бесконечный предел, равный +  ( ).

По аналогии с конечными односторонними пределами определя­ются и бесконечные односторонние пределы:

Аналогично определяются бесконечно большие функции при х   x  .

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует такая же связь, как и между соответствующими последовательностями, т. е. функция обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот.

2.6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются бесконечно малыми функциями. Этого, вообще говоря, нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может привести к различным результатам. Так, например, если , , то

Если же , , то

Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций. Пусть при функции и являются бесконечно малыми. Тогда:

1) если , то  бесконечно малая более высокого порядка, чем (говорят также, что имеет более высокий порядок малости, чем , при ; при сравнении бесконечно малых функций часто используют символ о («о малое»), если функция – бесконечно малая в точке более высокого порядка, чем бесконечно малая в этой же точке , то это условно записывается так: ;