Материал: Математика. учебно-методическое пособие. в 2 ч.. Горбунов В.В., Соколова О.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Если производные f x	и x удовлетворяют		тем же
условиям, что и функции	f x	и x , теорему	можно

применить еще раз:

lim

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

и т.

(x)

x x0 (x)

x x0

Теорема справедлива и в том случае, когда x .

Пример 3.22. Найти предел lim

ln 5x 7

x 3

Решение:

ln 5x 7

ln 5x

5x 7

lim

x 3

x 1

x 3

Пример 3.23. Найти предел

lim

4x2 sin 7x

x 0

Решение:

д.

0 .

4x2 sin 7x

8x 7 cos7x

8x 7

lim

x 0

x 0 4x

x 0 12x

Правило Лопиталя может быть использовано и для

исследования неопределенностей вида 0 , ,

1 ,

0 ,

00 ,

для

чего

указанные

виды

неопределенностей

сводятся к неопределенностям

или

Пример 3.24. Найти предел lim sin 3x x .

x 0

Решение: lim sin 3x x

x 0

ln(sin 3x)

(ln(sin 3x))

lim

eln(sin 3x)

lim ex ln(sin 3x) lim

lim

x 0

3 cos3x

	sin3x
	sin3x
		1


lim e		x 2
x 0

		3 cos3x

			sin3x

			1

			x 2
lim e			x 2
x 0



			3x 2			3x 2
			3x 2		lim	3x 2
	lim


	x	0	sin3x		x 0
e			sin3x	e		sin3x
e				e

	6x
lim		e0

e x 0	3 cos3x		1 .

		1	1
Пример 3.25. Найти предел lim				.
	2
		4
x 2 x			ln x 1

Решение:

		1	1	lim	ln x 1 x2 4				0
lim
	2				x	2	4 ln(x
		4						1)
x 2 x			ln x 1	x 2					0

Производную можно применить к исследованию функций для построения ее графика.

Для определения интервалов возрастания и убывания функции применяют следующие теоремы.

Теорема (Необходимое условие возрастания (убывания)

функции). Если непрерывная и дифференцируемая			на
интервале	a, b функция	f x возрастает (убывает), то	для

любой точки этого интервала f x 0 f x 0 .

Теорема (Достаточное условие возрастания (убывания)

функции). Если функция f x непрерывна и дифференцируема

на интервале a, b и	f x 0	( f x 0) для любого x a,b ,
то функция f x является		возрастающей (убывающей) на
интервале a, b .

При исследовании функции необходимо определить наличие точек минимума и максимума.

Точка	x0 называется		точкой	максимума	(точкой
минимума)	функции	y f x ,	если	существует	такая	-
окрестность точки x0 ,		что для всех остальных значений				x из

этой окрестности будет выполняться неравенство

f x0 f x , ( f x0 f x ) .

Значение функции в точке максимума (минимума)

называется максимумом (минимумом) функции или экстре-

мумом функции.

Понятие экстремума функции является локальным для функции, поскольку всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции.

Рассмотрим необходимое и достаточные условия существования экстремума функции.

Теорема (Необходимое условие экстремума). Если
дифференцируемая функция y f x имеет в точке	x x0

максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. е.

f x0 0 (обратное не верно).

Геометрический	смысл теоремы состоит в	том, что
в точке экстремума	дифференцируемой функции	y f x

касательная к ее графику параллельна оси Ox .

Точки, в которых производная обращается в нуль,

называются стационарными.

Точки непрерывности, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.

Теорема (Достаточное условие экстремума). Если
функция	y f x	непрерывна в некоторой -окрестности
точки x0	и при переходе через нее слева направо производная

f x меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка макси-

мума; если же изменение знака происходит с минуса на плюс, то x0 является точкой минимума.

Еще одним из пунктов исследования функции является

определение интервалов выпуклости, вогнутости функции, точек перегиба.

График дифференцируемой функции y f x называется

выпуклым на интервале a,b ,	если любая касательная на этом
интервале будет располагаться выше графика функции. График
функции y f x называется	вогнутым на интервале a,b ,
если любая касательная на этом интервале будет располагаться
ниже графика функции.

Точки графика непрерывной функции y f x ,

отделяющие участки вогнутости и выпуклости графика,

называются точками перегиба.

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба


находят с помощью следующих теорем.
Теорема.		Если		функция		y f x	в	любой точке
интервала a,b имеет отрицательную вторую производную,
т. е. f x 0 ,		то график функции в этом интервале является
выпуклым.	Если		же	вторая		производная		положительная
в любой точке интервала					a,b ,	то график функции является
вогнутым на этом интервале.							f x непрерывной
Если в точке			x0	вторая производная
функции	y f x		равна		нулю	или не существует, а при
переходе через точку				x0	вторая производная меняет знак, то

точка графика с абсциссой x0 является точкой перегиба.

Точки, где функция непрерывна, а вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками второго рода.

Следующим пунктом в исследовании функции является

определение наличия асимптот. 48

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными.

Вертикальные асимптоты появляются на границах области определения функции и в точках разрыва второго рода.

Прямая	x a	является		вертикальной асимптотой графика
функции y f		x , если		lim		f (x) или	lim f (x) .
			x a 0			x a 0

Наклонные асимптоты — это прямые с уравнением вида
y kx b	при	x ,		где параметры k и			b находятся по
формулам:					f x
		k lim				; b lim f x kx .

			x		x	x
Если хотя бы один из пределов, связанных с вычислением
коэффициентов k и b ,					не	существует или равен беско-
нечности, то кривая			y f x			не имеет наклонной асимптоты.
В частном случае,			когда		k 0 , получаем		горизонтальную

асимптоту. Существуют функции, графики которых имеют различные асимптоты при стремлении x к и , поэтому при определении параметров k и b необходимо вычислять соответствующие пределы при x и x .

Рассмотрим общий план исследования функции: 1) определяем область определения функции; 2) находим точки разрыва функции;

3) находим точки пересечения графика функции с осями координат, определяем четность (нечетность) функции, ее периодичность;

4) находим критические точки первого рода, в которых
f (x) = 0 или	f (x)` не существует, но функция	y f x

непрерывна, интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума функции;

Источник: https://studfile.net/preview/16565639/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)