Материал: Математика. учебно-методическое пособие. в 2 ч.. Горбунов В.В., Соколова О.А
5) находим критические точки второго рода ( f (x) = 0 или f (x) не существует, функция непрерывна), интервалы
выпуклости и вогнутости графика функции, а также точки перегиба;
6)находим асимптоты (вертикальные, наклонные) функции;
7)строим график функции, используя полученную информацию.
|
y |
x 2 |
||
Пример 3.26. Исследовать функцию |
|
|
и постро- |
|
x 2 |
|
|||
|
|
1 |
||
ить ее график.
Решение:
1. Область определения функции
D y : , 1 1,1 1, .
2. Простейшие свойства:
а) если x 0 , то y 0 . График пересекает оси координат только в одной точке O 0,0 ;
|
б) так как |
|
y( x) |
|
x 2 |
|
|
|
x2 |
|
y(x)., |
то функция |
|||||||||||||||
|
|
( x)2 |
1 |
|
x2 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
x2 |
|
является |
|
четной, |
т. е. |
|
график ее |
|
симметричен |
|||||||||||||||||
x2 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
относительно оси Oy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в) функция непериодическая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3. Первая производная равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
2x(x 2 1) x 2 (2x) |
|
|
2x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
(x |
2 |
1) |
2 |
|
|
|
2 |
1) |
2 . |
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
|
||||||||
|
4. Приравниваем к нулю полученную производную. |
||||||||||||||||||||||||||
Получаем |
единственную |
стационарную |
точку |
x = 0, которая |
|||||||||||||||||||||||
является единственной критической точкой. Значение функции в этой точке y 0 0 .
50
5. Разбиваем область определения функции стационарной точкой и точками разрыва функции и исследуем знаки первой производной в каждом промежутке:
y 0 |
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
y 0 |
y 0 |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке |
|
x = 0 |
|
происходит |
смена знака |
производной |
||||||||||
с плюса на минус, |
|
поэтому точка |
|
x = 0 является |
точкой |
|||||||||||
максимума (yмакс = y(0) = 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. Вторая производная равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2x |
|
|
|
|
2(x 2 1)2 ( 2x)2 x 2 1 2x |
|
6x 2 2 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
1) |
2 |
|
(x |
2 |
|
1) |
4 |
x 2 |
3 . |
|||||
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
7. Приравнивая вторую производную к нулю, видим, что критические точки второго рода отсутствуют.
8. Разбиваем область определения функции точками разрыва функции и исследуем знаки второй производной в каждом промежутке:
y 0 y 0 y 0
1 |
Рис. 7 |
1 |
x |
|
|||
На интервалах |
x ; 1 1; |
функция выпуклая, |
|
а на интервале x 1;1 функция вогнутая. Точек перегиба
нет.
9. Асимптоты.
а) исследуем вертикальные асимптоты при x 1 и x 1:
51
lim |
x2 |
, |
lim |
|
x |
2 |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 1 0 x2 1 |
|
x 1 0 x2 |
1 |
||||||||
|
|
x2 |
, |
|
|
x2 |
|||||
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 1 0 x2 1 |
|
x 1 0 x2 |
1 |
||||||||
б) исследуем наличие наклонных асимптот:
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
lim |
|
|
x2 1 |
|
lim |
|
x |
0 , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1,2 |
x |
x |
|
x x2 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
b |
|
lim ( |
|
x2 |
|
0 x) lim |
|
x2 |
1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1,2 |
x x |
2 1 |
|
x x2 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
Имеется наклонная (горизонтальная) асимптота y 1 при x .
10. Полученные результаты используем при построении графика функции (рис. 8).
|
y |
|
|
y f x |
|
|
1 |
y 1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
x |
x 1 |
x 1 |
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
52
4. ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИКА» НА ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ БАКАЛАВРОВ, ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО НАПРАЛЕНИЮ
38.03.03 «УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ» (ПРОФИЛЬ «УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ ОРГАНИЗАЦИИ»)
Линейная алгебра
Матрицы, операции над матрицами. Определители второго и третьего порядков, их свойства.
Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись систем линейных алгебраических
уравнений. Обратная матрица. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
Векторная алгебра
Векторы, линейная зависимость векторов. Базис. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов.
Графический метод решения систем линейных неравенств.
Предел и непрерывность функции
Функция. Способы задания функции. Простейшие свойства функции. Основные элементарные функции, применяемые в экономике.
Предел функции. Бесконечно малые величины и их свойства. Первый и второй замечательные пределы. Простейшие типы неопределенностей и способы их раскрытия.
Сравнение бесконечно малых величин. Непрерывность функции.
53
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Производная функции. Основные правила дифференцирования. Таблица производных. Производные высших порядков. Дифференциал функции.
Исследование функции с помощью производной.
5. ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Контрольные работы выполняются по следующим правилам, при несоблюдении которых работа будет не зачтена.
Контрольная работа выполняется в тетради в клетку, содержащей 12 или 18 листов чернилами синего или черного цветов. Использование чернил красного цвета недопустимо.
Для замечаний рецензента необходимо оставлять поля размером 4-5 см.
Обложка тетради должна быть оформлена следующим образом: Контрольная работа № __, по математике, студента группы _______, Ф.И.О., № зачетки, № варианта.
Работа выполняется строго по своему варианту, условия задач записываются полностью, после чего идут подробные решения этих задач с описанием всех промежуточных действий и указанием всех используемых формул. Задачи располагаются по порядку возрастания номеров.
В конце работы необходимо поставить подпись и число. Если при рецензировании работы будут выявлены
преподавателем ошибки, допущенные студентом при решении задач, необходимо в конце работы сделать работу над ошибками, правильно решив отмеченные преподавателем задания. При необходимости следует проконсультироваться с преподавателем.
54