Материал: Механика деформируемого твердого тела
Кручение
призматических
тел
ру
р
Пусть
к
основаниям
однородного
изотропного
призматического
тела
приложены
силы
,
приводящиеся
к
скручивающим
парам
.
Будем
считать
,
что
объемные
силы
отсутствуют
,
и
боковая
поверхность
призмы
свободна
от
внешних
сил
.
Направим ось
параллельно образующей боковой поверхности а
O
Направим
ось
параллельно
образующей
боковой
поверхности
,
а
оси
и
возьмем
на
одном
из
оснований
бруса
.
Решение
задачи
находится
с
помощью
полуобратного
метода
,
предложенный
Сен
-
Венаном
,
в
котором
решение
поставленной
проблемы
удается
получить
в
3
Ox
1
Ox
2
Ox
перемещениях
.
Будем
считать
,
что
каждое
из
сечений
рассмотренной
призмы
поворачивается
на
малый
угол
,
прямо
пропорциональный
расстоянию
от
нижнего
основания
призмы
,
где
–
постоянная
величина
,
называемая
степенью
закручивания
3
x
ψ τ
=
τ
закручивания
.
В
этом
случае
компоненты
вектора
перемещений
можно
выписать
в
явном
виде
:
1
2 3
2
1 3
3
1
2
(
)
u
x x u
x x u
x x
τ
τ
τφ
= −
, =
, =
,
.
Вычисляя
компоненты
тензора
деформации
и
подставляя
последние
в
формулы
закона
Гука
,
получаем
выражения
для
компонентов
тензора
напряжений
:
11
22
33
12
0
σ
σ
σ
σ
=
=
=
= ,
13
2
23
1
1
2
(
)
(
)
x
x
x
x
φ
φ
σ
μτ
σ
μτ
∂
∂
=
−
,
=
+
.
∂
∂
Формула
Прандтля
Касательные
напряжения
,
приложенные
в
поперечном
сечении
,
сводятся
к
паре
сил
с
моментом
Внося сюда значения касательных напряжений окончательно получим
где
1
23
2
13
(
)
M
x
x
d
ω
σ
σ
ω
=
−
.
∫
M
D
τ
=
Внося
сюда
значения
касательных
напряжений
,
окончательно
получим
где
Величина
называется
жесткостью
при
кручении
,
Введем гармоническую функцию
сопряженную с функцией
M
D
τ
=
,
2
2
1
2
1
2
2
1
(
)
D
x
x
x
x
d
x
x
ω
φ
φ
μ
ω
∂
∂
=
+
+
−
.
∂
∂
∫
D
0
D
>
(
)
x x
ψ
(
)
x x
φ
Введем
гармоническую
функцию
,
сопряженную
с
функцией
,
Граничное
условие
для
функции
будет
иметь
вид
1
2
(
)
x x
ψ
,
1
2
(
)
x x
φ
,
ψ
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)
0
dx
dx
dx
dx
x
x
x dl
x dl
dl
dl
ψ
ψ
∂
∂
+
−
+
= .
∂
∂
Для
компонентов
тензора
напряжений
получим
формулы
Часто
вместо
функции
вводят
другую
функцию
,
называемую
функцией
13
2
23
1
2
1
(
)
(
)
x
x
x
x
ψ
ψ
σ
μτ
σ
μτ
∂
∂
=
−
,
= −
−
.
∂
∂
ψ
1
2
(
)
x x
Φ ,
фу
ру у фу
у
фу
напряжений
при
кручении
или
функцией
напряжений
Прандтля
.
Она
определяется
формулой
1
2
(
)
,
2
2
1
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
)
2
x x
x x
x
x
ψ
Φ ,
=
,
−
+
.
В
этом
случае
имеем
Первая
формула
преобразуется
к
виду
и
называется
формулой
13
23
2
1
x
x
σ
μτ
σ
μτ
∂Φ
∂Φ
=
,
= −
.
∂
∂
2
M
d
μτ
ω
=
Φ
∫
р
ф р у
р
р у
ду
ф р у
Прандтля
.
2
M
d
ω
μτ
ω
Φ
∫
Аналогии
при
кручении
Прандтля
р
ру
р д
Задача
определения
функции
напряжений
при
кручении
и
задача
нахождения
прогиба
однородной
мембраны
,
равномерно
натянутой
на
жесткий
контур
и
нагруженной
равномерным
давлением
,
являются
одной
и
той
же
математической
задачей
,
если контур
,
на который натянута мембрана
,
совпадает с контуром
задачей
,
если
контур
,
на
который
натянута
мембрана
,
совпадает
с
контуром
поперечного
сечения
бруса
.
Мембраной
называется
тонкая
пленка
,
сопротивляющаяся
только
растяжению
и
не
оказывающая
сопротивления
изгибу
.
Рассмотрим
мембрану
,
равномерно
натянутую
на
плоский
жесткий
контур
,
совпадающий
с
контуром
односвязного
поперечного
б
П
L
сечения
скручиваемого
бруса
.
Пусть
–
растягивающее
усилие
,
приходящееся
в
каждом
сечении
мембраны
на
единицу
его
длины
, –
давление
на
единицу
площади
мембраны
, –
перемещение
точки
срединной
поверхности
мембраны
в
направлении
оси
,
перпендикулярной
плоскости
контура
.
Условие равновесия первоначально прямоугольного элемента мембраны в
q
p
1
2
(
)
w x x
,
3
x
Условие
равновесия
первоначально
прямоугольного
элемента
мембраны
в
деформированном
состоянии
приводит
к
уравнению
равновесия
элемента
:
Перемещения
(
прогибы
)
мембраны на жестком контуре
равны нулю поэтому
2
2
2
2
1
2
w
w
p
x
x
q
∂
∂
+
= − .
∂
∂
L
Перемещения
(
прогибы
)
мембраны
на
жестком
контуре
равны
нулю
,
поэтому
граничное
условие
будет
Если
положить
,
то
получим
Следовательно
,
задача
кручения
может
быть
решена
путем
измерения
прогибов
равномерно нагруженной мембраны
.
Мембранная аналогия
,
предложенная
L
1
2
(
)
0
L
w x x
,
| = .
w k
= Φ
2
p
w
q
=
Φ.
равномерно
нагруженной
мембраны
.
Мембранная
аналогия
,
предложенная
Прандтлем
,
позволяет
наглядно
представить
характер
функции
напряжений
,
а
также
сделать
заключение
о
распределении
напряжений
на
поперечном
сечении
бруса
.
Помимо
мембранной
аналогии
Прандтля
известны
гидродинамические
аналогии
:
аналогия
Буссинеска
с
ламинарным
течением
вязкой
жидкости
,
аналогия
Гринхилла
й
й
с
вихревым
течением
идеальной
несжимаемой
жидкости
и
другие
.
Задача
:
Призматический
брус
эллиптического
профиля
Функция напряжения Прандтля
должна быть постоянной на эллипсе
1
2
(
)
x x
Φ ,
Функция
напряжения
Прандтля
должна
быть
постоянной
на
эллипсе
Функция
,
заведомо
удовлетворяющая
этому
граничному
условию
,
б
1
2
(
)
2
2
1
2
2
2
1
x
x
a
b
+
= .
1
2
(
)
x x
Φ ,
может
быть
представлена
в
виде
где
–
неизвестная постоянная Кроме того эта функция должна внутри
2
2
1
2
1
2
2
2
(
)
(
)
x
x
x x
A
a
b
Φ ,
=
+
,
A
где
–
неизвестная
постоянная
.
Кроме
того
,
эта
функция
должна
внутри
эллипса
удовлетворять
уравнению
Пуассона
.
Отсюда
получаем
A
2
2
2
2
a b
A
a
b
= −
.
+
Тогда
Окончательно имеем
:
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
(
)
b x
a x
x x
a
b
+
Φ ,
= −
.
+
Окончательно
имеем
:
2
2
13
2
23
1
2
2
2
2
2
2
a
b
x
x
a
b
a
b
μτ
μτ
σ
σ
= −
,
= −
.
+
+
Задача
:
Призматический
брус
с
равносторонним
треугольником
в
сечении
сечении
Рассмотрим
призматический
брус
,
сечение
которого
представляет
равносторонний
треугольник
с
высотой
.
Уравнения
сторон
треугольника
будут
h
0
3
3
h
h
Представим
функцию
напряжений
Прандтля
в
виде
2
2
1
2
1
0
3
3
x
x
x
h x
x
h
= , = −
+ , =
+ .
1
2
2
2
1
2
1
(
)
[(
)
3 ][(
)
3 ]
x x
Ax x
h
x
x
h
x
Φ ,
=
− +
− −
.
Эта
функция
на
сторонах
треугольника
равна
нулю
.
Кроме
того
,
внутри
треугольника
она
должна
удовлетворять
уравнению
Пуассона
.
Отсюда
находим
,
что
1
2
2
2
1
2
1
(
)
[(
)
][(
)
]
,
1 2
A
h
/
Тогда
О
1 2
A
h
= /
2
2
1
2
2
2
1
1
(
)
[(
)
3
]
2
x x
x x
h
x
h
Φ ,
=
−
−
.
Окончательно
имеем
:
2
2
13
2
1
2
23
3
[3(
)
(
4
)]
1 2
2
x
x
h h
x
x x
h
h
μτ
μτ
σ
σ
=
−
+
−
,
=
.