Материал: Механика деформируемого твердого тела
Одномерные
линейные
задачи
динамической
теории
упругости
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений которая описывает
Рассмотрим
систему
дифференциальных
уравнений
,
которая
описывает
распространение
волны
сжатия
в
тонком
упругом
стержне
:
Здесь
скорость частиц в направлении оси стержня
;
напряжение на
u
t
x
σ
ρ
∂
∂
=
,
∂
∂
σ
x
u
a
t
x
σ
∂
∂
=
.
∂
∂
Здесь
–
скорость
частиц
в
направлении
оси
стержня
; –
напряжение
на
площадке
,
нормальной
к
оси
стержня
;
известные
функции
переменной
(
постоянные
в
случае
однородного
стержня
)
и
имеют
смысл
плотности
среды
и
модуля
Юнга
соответственно
.
Первое
уравнение
представляет
собой
уравнение
движения
частиц
среды
,
второе
–
почленно
продифференцированный
по
u
σ
x
0
( )
0
x
ρ
ρ
≥
>
0
( )
0
a x
a
≥
>
переменной
закон
Гука
.
К
этой
же
системе
уравнений
можно
прийти
,
рассматривая
одномерную
задачу
о
распространении
упругих
волн
в
изотропной
полубесконечной
среде
,
, ,
когда
краевые
условия
при
и
не
зависят
от
переменных
и
.
Мы имеем три независимые системы Одна из них будет описывать распространение
0
x
≥
y
−∞ < < ∞
z
−∞ < < ∞
0
t
=
0
x
=
y
z
Мы
имеем
три
независимые
системы
.
Одна
из
них
будет
описывать
распространение
плоской
продольной
волны
сжатия
,
две
другие
–
волны
сдвига
.
Эту
систему
уравнений
часто
записывают
в
виде
0
u
p
ρ
∂
∂
+
= ,
∂
∂
2
0
p
u
c
t
ρ
∂
∂
+
= .
∂
∂
В
этом
случае
ее
называют
системой
уравнений
акустики
,
она
описывает
распространение
плоских
звуковых
волн
.
Величину
называют
давлением
в
среде
, –
скоростью
звуковых
волн
.
t
x
ρ
∂
∂
t
x
∂
∂
p
σ
= −
c
a
ρ
=
/
Решение
задачи
Если
и
постоянны
,
то
система
уравнений
имеет
вид
:
ρ
c
0
X
X
c
t
x
∂
∂
+
= ,
∂
∂
0
Y
Y
c
t
x
∂
∂
−
= ,
∂
∂
где
введены
обозначения
В
случае
переменных
коэффициентов
система
полностью
разделяется
на
два
независимых
уравнения
,
только
когда
упругая
среда
имеет
постоянную
жесткость
.
t
x
∂
∂
t
x
∂
∂
X
u
Y u
c
c
σ
σ
ρ
ρ
= −
, = +
.
c
ρ
Y
Величины
и
называются
инвариантами
Римана
.
Очевидно
,
что
общее
решение
полученных
уравнений
имеет
вид
где
и
–
произвольные
гладкие
функции
.
Величины
и
не
изменяются
й
t
t
X
Y
(
)
(
)
X
f x ct Y
x ct
ϕ
=
−
, =
+
,
f
ϕ
X
Y
t
t
соответственно
вдоль
линий
const
и
const,
которые
называют
характеристиками
системы
.
Для
однозначного
определения
решения
необходимо
задать
краевые
условия
.
К
примеру
,
для
решения
задачи
на
отрезке
нужно
знать
значения
и
при
:
x ct
− =
x ct
+ =
1
2
l
x l
≤ ≤
u
σ
0
t
( 0)
( )
( 0)
( )
u x
u x
x
x
σ
σ
=
=
:
и
некоторую
линейную
комбинацию
и
при
:
0
t
=
0
0
( 0)
( )
( 0)
( )
u x
u x
x
x
σ
σ
, =
,
, =
u
σ
1
2
x l x l
= , =
1
1
1
1
(
)
( ),
x l
u
f t
α
β σ
=
+
=
2
2
2
2
(
)
( ),
x l
u
f t
α
β σ
=
+
=
2
2
2
2
(
0
0
0
0)
c
c
α ρ
β
α ρ
β
α
β
α
β
/
−
≠
/
+
≠
+
≠
+
≠
При
этом
,
для
определения
и
в
так
называемом
характеристическом
треугольнике
,
ограниченном
на
плоскости
отрезками
прямой
и
характеристик
const,
проходящими
соответственно
через
точки
и
достаточно знания только начальных условий
1
1
2
2
1
1
2
2
(
0
0
0
0)
c
c
α ρ
β
α ρ
β
α
β
α
β
/
≠ , /
+
≠ ,
+
≠ ,
+
≠ .
u
σ
x t
,
0
t
=
x ct
± =
2
(
0)
l
,
1
( 0)
l
,
достаточно
знания
только
начальных
условий
.
Двумерные
линейные
задачи
динамической
теории
упругости
Пусть
плоская
область
представляет
собой
объединение
прямоугольников
со
й
Д
Ω
сторонами
,
параллельными
осям
декартовой
системы
координат
.
Динамическая
задача
теории
упругости
в
декартовой
системе
координат
формулируется
следующим
образом
.
Определить
функции
, , , , ,
удовлетворяющие
в
области
системе дифференциальных у
p
авнений
:
x y
,
(
)
u x y t
, ,
(
)
v x y t
, ,
(
)
x
x y t
σ
, ,
(
)
y
x y t
σ
, ,
(
)
xy
x y t
τ
, ,
Ω
области
системе
дифференциальных
у
p
авнений
:
Ω
xy
x
u
t
x
y
τ
σ
ρ
∂
∂
∂
=
+
,
∂
∂
∂
xy
y
v
t
τ
σ
ρ
∂
∂
∂
=
+
,
∂
∂
∂
2
(
)
x
p
u
v
c
t
x
y
σ
ρ
θ
∂
∂
∂
=
+
,
∂
∂
∂
2
(
)
y
p
u
v
c
t
x
y
σ
ρ θ
∂
∂
∂
=
+
,
∂
∂
∂
2
(
)
xy
s
u
v
c
t
y
x
τ
ρ
∂
∂
∂
=
+
,
∂
∂
∂
где
в
случае
однородной
среды
–
константы
–
соответственно
плотность
среды
,
продольная
и
поперечная
скорости
упругих
волн
; .
Неизвестные
функции
и
–
компоненты
вектора
скорости
частиц
упругой
среды
; –
нормальные
и
касательная
компоненты
тензора
напряжений
.
t
x
y
∂
∂
∂
t
x
y
∂
∂
∂
p
s
c c
ρ
, ,
2
2
1 2
s
p
c c
θ
= −
/
u
v
x
y
xy
σ σ τ
, ,
ор а
е
аса е
а
о
о е
е зора а р
е
Иногда
рассматривается
наиболее
простая
модель
упругой
среды
с
нулевой
сдвиговой
жесткостью
( ).
В
этом
случае
и
система
уравнений
вырождается
в
три
уравнения
μ
0
s
c
= ,
1
θ
=
σ
σ
σ
=
=
y
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
которые
называют
системой
уравнений
двумерной
акустики
.
u
t
x
σ
ρ
∂
∂
=
,
∂
∂
v
t
y
σ
ρ
∂
∂
=
,
∂
∂
2
(
)
p
u
v
c
t
x
y
σ ρ
∂
∂
∂
=
+
,
∂
∂
∂
Начальные
и
граничные
условия
Неизвестные
функции
должны
удовлетворять
начальным
условиям
:
(
0)
(
) (
0)
(
)
(
0)
(
)
x
x
u x y
u x y v x y
v x y
x y
x y
σ
σ
∗
∗
∗
, , =
, ,
, , =
, ,
, , =
, ,
и
граничным
условиям
,
одним
из
вариантов
которых
может
быть
следующий
:
(
0)
(
)
(
0)
(
)
y
y
xy
xy
x y
x y
x y
x y
σ
σ
τ
τ
∗
∗
, , =
, ,
, , =
,
1
1
1
2
2
2
(
) |
,
1,...,
,
(
) |
,
i
i
i
x
x l
i
i
i
l
i
a u b
f
i
N
a v b
f
σ
τ
=
+
=
=
+
=
1
1
1
2
2
2
(
) |
,
1,...,
,
(
) |
j
j
j xy
y l
j
c u d
g
j
M
c v d
g
τ
σ
=
+
=
=
+
=
(
) |
,
0,
1, 2
i
i
i
xy
x l
i
s
s
i
i
a v b
f
a
b
s
τ
=
+
+
≠
=
(
) |
,
0,
1, 2
j
j
j
y
y l
j
s
s
i
i
c v d
g
c
d
s
σ
=
+
=
+
≠
=
если
участок
границы
параллелен
оси
y
;
участок
границы
параллелен
оси
х
.
Если
область
,
в
которой
необходимо
решать
задачу
,
можно
представить
в
виде
объединения
круговых
цилиндров
(
сплошных
либо
полых
)
с
единой
осью
,
а
свойства
среды начальное состояние и внешнее воздействие одинаковы в каждом
Ω
среды
,
начальное
состояние
и
внешнее
воздействие
одинаковы
в
каждом
проходящем
через
ось
меридиональном
сечении
,
мы
можем
сфо
p
мули
p
овать
так
называемую
осесиммет
p
ичную
задачу
в
цилиндрической
системе
координат
,
где
ось
совпадает
с
осью
цилиндров
.
r
z
ϕ
, ,
z
Законы
сохранения
механической
энергии
Э
й
Энергетическое
тождество
–
закон
сохранения
механической
энергии
записывается
в
виде
[
(
)]
x
y
xy
u
v
u
v
u
v
u
v
d
t
t
x
y
y
x
ρ
ρ
σ
σ
τ
ω
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
+
+
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∫
А
й
t
t
x
y
y
x
ω
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(
)
(
)
[
]
x
xy
y
xy
u
v
v
u
d
x
y
ω
σ
τ
σ
τ
ω
∂
+
∂
+
=
+
.
∂
∂
∫
Аналогичное
тождество
получается
и
для
случая
осесимметричной
задачи
:
[
(
)]
r
z
r
z
r
r
z
r
z
r
z
rz
u
u
u
u
u
u
u
u
u
rd
t
t
r
z
r
z
r
ϕ
ω
ρ
ρ
σ
σ
σ
τ
ω
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
+
+
+
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∫
(
)
(
)
[
]
r r
rz z
rz r
z z
r u
r u
r u
r u
d
σ
τ
τ
σ
ω
∂
+
∂
+
=
+
.
∫
При
построении
численного
решения
часто
используются
разностные
аналоги
этих
тождеств
.
[
]
r
z
ω
∂
∂
∫