Материал: Механика деформируемого твердого тела
Плоское
напряженное
состояние
Напряженное
состояние
пластинки
называется
плоским
,
если
вектор
напряжения
на
площадках
,
параллельных
основаниям
,
равен
нулю
по
всему
объему
.
Пусть
плоскость
–
средняя
плоскость
пластинки
толщиной
.
Тогда
1 2
Ox x
2
h
13
23
33
0
σ
σ
σ
=
=
= .
3
3
1
2
33
1
2
3
3
(
)
2
0
u
u
u
u
x
x
x
x
σ
λ
μ
∂
∂
∂
∂
=
+
+
+
= .
∂
∂
∂
∂
∂ /∂
Выражая
отсюда
производную
и
подставляя
ее
в
формулы
закона
Гука
,
получаем
3
3
u x
∂ /∂
1
2
1
11
1
2
1
(
)
2
u
u
u
x
x
x
σ
λ
μ
∗
∂
∂
∂
=
+
+
,
∂
∂
∂
3
1
2
3
1
2
(
)
2
u
u
u
x
x
x
λ
λ
μ
∂
∂
∂
= −
+
,
∂
+
∂
∂
1
2
2
22
1
2
2
(
)
2
u
u
u
x
x
x
σ
λ
μ
∗
∂
∂
∂
=
+
+
,
∂
∂
∂
1
2
12
(
)
u
u
x
x
σ
μ
∂
∂
=
+
.
∂
∂
3
1
2
μ
3
3
2
1
3
2
3
1
0
0
u
u
u
u
x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
+
= ,
+
= .
∂
∂
∂
∂
2
λμ
Здесь
Полученные
уравнения
отличаются
от
уравнений
модели
плоской
деформации
только
заменой
параметра
Ламе
на
.
2
1
x
x
∂
∂
2
2
λμ
λ
λ
μ
∗
=
.
+
λ
λ
∗
Задача
о
плоском
напряженном
состоянии
трехмерная
,
поскольку
переменная
не
исключена
из
системы
уравнений
.
3
x
Обобщенное
плоское
напряженное
состояние
Для
случая
,
когда
толщина
пластинки
достаточно
мала
,
Файлоном
предложена
идея
,
позволяющая свести рассмотренную задачу к двумерной
позволяющая
свести
рассмотренную
задачу
к
двумерной
.
Допустим
,
что
пластинка
высотой
нагружена
по
боковой
поверхности
внешними
силами
,
параллельными
основаниям
и
симметрично
распределенными
относительно
средней
плоскости
.
Основания
пластинки
свободны
от
внешних
сил
и
,
кроме
того
,
составляющая
объемной
силы
,
перпендикулярной
средней
плоскости
,
равна
нулю
,
а
й
2
h
остальные
две
составляющие
распределены
симметрично
относительно
средней
плоскости
.
Возникающее
в
такой
пластинке
напряженное
состояние
называется
обобщенным
плоским
напряженным
состоянием
.
Уравнения
равновесия
для
этой
задачи
имеют
вид
1
2
1
11
1
2
1
(
)
2
u
u
u
x
x
x
σ
λ
μ
∗
∗
∗
∗
∗
∂
∂
∂
=
+
+
,
∂
∂
∂
1
2
2
22
1
2
2
(
)
2
u
u
u
x
x
x
σ
λ
μ
∗
∗
∗
∗
∗
∂
∂
∂
=
+
+
,
∂
∂
∂
1
2
12
2
1
(
)
u
u
x
x
σ
μ
∗
∗
∗
∂
∂
=
+
.
∂
∂
Здесь
все
величины
,
помеченные
"
звездочкой
",
представляют
собой
средние
значения
соответствующих
величин
по
толщине
пластинки
.
Осредняя
граничные
условия
по
толщине
,
будем
иметь
n
n
T
σ
σ
∗
∗
∗
+
=
12 1
22
2
2
n
n
T
σ
σ
∗
∗
∗
+
=
.
где
и
–
средние
значения
внешних
сил
на
боковой
поверхности
Аналогично
случаю
плоской
деформации
,
для
обобщенного
напряженного
состояния
выписывается
уравнение
Леви
.
11 1
12
2
1
n
n
T
σ
σ
+
=
,
12 1
22
2
2
n
n
T
σ
σ
+
.
1
T
∗
2
T
∗
Функция
напряжений
Эри
у ц
р
р
Будем
предполагать
,
что
объемные
силы
отсутствуют
.
В
этом
случае
уравнения
равновесия
примут
вид
11
12
12
22
0
0
x
x
x
x
σ
σ
σ
σ
∂
∂
∂
∂
+
= ,
+
= .
∂
∂
∂
∂
Первое
уравнение
показывает
,
что
дифференциальная
форма
является
полным
дифференциалом
некоторой
функции
и
1
2
1
2
x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
11
2
12
1
dx
dx
σ
σ
−
1
2
(
)
Q x x
,
Q
Q
∂
∂
Аналогично
из
второго
уравнения
12
11
1
2
Q
Q
x
x
σ
σ
∂
∂
= −
,
=
.
∂
∂
12
11
P
P
σ
σ
∂
∂
= −
,
=
.
∂
∂
Выражение
представляет
собой
полный
дифференциал
некоторой
функции
и
2
1
x
x
∂
∂
1
2
Pdx
Qdx
+
1
2
(
)
x x
Φ ,
P
Q
∂Φ
∂Φ
=
, =
.
∂
∂
Справедливы
соотношения
1
2
Q
x
x
,
∂
∂
2
2
2
11
12
22
2
2
σ
σ
σ
∂ Φ
∂ Φ
∂ Φ
=
,
= −
,
=
.
∂
∂ ∂
∂
Эти
формулы
были
получены
Эри
,
а
функция
называется
функцией
напряжения
Эри
.
2
2
2
1
2
1
x
x x
x
∂
∂ ∂
∂
Комплексное
представление
решения
Для
эффективного
решения
основных
задач
плоской
теории
упругости
очень
плодотворным
оказалось
комплексное
представление
решения
,
применение
которого
впервые
было
дано
в
работах
Г
.
В
.
Колосова
и
Н
.
И
.
Мусхелишвили
.
Объемная деформация является гармонической функцией
:
Объемная
деформация
является
гармонической
функцией
:
Если
вместо
переменных
,
ввести
новые
независимые
комплексные
переменные
й ф
2
2
1
2
2
2
0
x
x
θ
θ
θ
∂
∂
Δ =
+
= .
∂
∂
1
x
2
x
,
то
последнее
уравнение
можно
записать
в
комплексной
форме
Гармоническая
функция
в
некоторой
области
может
быть
представлена
в
виде
1
2
1
2
z x
ix z x ix
= + , = − ,
2
0
z z
θ
∂
= .
∂ ∂
θ
1
где
–
аналитическая
функция
переменной
.
Соотношения
,
дающие
комплексное
представление
компонентов
тензора
1
[
( )
( )]
z
z
θ
φ
φ
λ μ
′
′
=
+
,
+
( )
z
φ
z
Соо о е
,
дающ е о
е с ое редс а е е о
о е о
е зора
напряжений
при
плоской
деформации
,
которые
называют
формулами Колосова
-
Мусхелишвили
,
имеют
вид
:
11
22
2[
( )
( )]
4
[
( )]
z
z
Re
z
σ
σ
φ
φ
φ
′
′
′
+
=
+
=
,
′′
′
Решение
плоской
задачи
теории
упругости
сводится
к
отысканию
пары
функций
комплексного
переменного
,
аналитических
в
данной
области
.
При
этом
на
границе
области
функции
должны
удовлетворять
определенным
условиям
,
отвечающим
й
б
ф
22
11
12
2
2[
( )
( )]
i
z
z
z
σ
σ
σ
φ
ψ
′′
′
−
+
=
+
.
какой
-
либо
из
основных
сформулированных
задач
.
Балка
на
двух
опорах
Рассмотрим
изгиб
балки
на
двух
опорах
под
сплошной
равномерной
нагрузкой
.
Опорные
реакции
предположим
в
форме
касательных
сил
,
распределённых по концевым сечениям
.
q
распределённых
по
концевым
сечениям
.
При
расположении
осей
координат
по
рисунку
элементарное
решение
задачи
приводит
к
таким
напряжениям
:
2
2
(
)
2 4
q l
x
−
Схема
нагружения
балки
2
2
2 4
,
(
)
4
.
2
x
xy
y
J
h
qx
y
J
σ
τ
=
−
= −
2
,
x
Ay Bx y
σ
=
+
⎫⎪
⎬
2
y
J
Эти
формулы
записываются
в
более
общем
виде
:
Учитываем
условия
на
верхней
грани
при
:
и
на
нижней
грани
при
:
2
,
,
x
xy
y
y
Cx Dxy
τ
⎪
⎬
=
+
⎪⎭
2
h
y
= −
;
0.
y
xy
q
σ
τ
=
=
2
h
y
= +
0;
0.
y
xy
σ
τ
=
=
Решение
задачи
имеет
вид
:
2
3
3
3
3
2
3
6
4
,
6
x
q
q
Ay
x y
y
h
h
q y
h
h
σ
⎫
=
−
+
⎪
⎪
⎪
2
3
2
2
3
6
(
),
3
4
12
6
(
) .
4
y
xy
q y
h
h
y
h
q h
y x
h
σ
τ
⎪
= −
−
+
⎬
⎪
⎪
= −
−
⎪⎭