Материал: Механика деформируемого твердого тела
Постановка
задач
теории
упругости
Первой
основной
задачей
теории
упругости
называют
задачу
,
когда
на
всей
поверхности
задан
вектор
перемещений
.
В
этом
случае
граничные
условия
выражаются
равенством
S
( )
s
р
р
(2.6)
где
–
заданные
на
поверхности
функции
.
В
случае
второй
основной
задачи
на
всей
поверхности
тела
заданы
внешние
силы
:
( )
s
i
i
u
u
=
,
( )
( )
( )
s
s
i
i
s
u
u
x
=
( )
i
i
s
F
F x
=
n
F
σ
(2.7)
Граничные
условия
могут
иметь
также
смешанный
характер
,
когда
на
одной
части
поверхности
заданы
внешние
поверхностные
силы
,
а
на
другой
части
–
перемещения
:
( )
i
i
s
ij
j
i
n
F
σ
= .
F
S
u
S
ij
j S
i
n
F
σ
| = ,
(2.8)
Возможны
и
иного
рода
граничные
условия
.
Например
,
на
некотором
участке
поверхности
тела
могут
быть
заданы
только
некоторые
компоненты
вектора
F
ij
j S
i
n
σ
|
,
( )
u
s
i S
i
u
u
| =
.
р
у
р
р
перемещений
и
,
кроме
того
,
некоторые
компоненты
вектора
поверхностных
сил
.
Различают
две
постановки
задач
теории
упругости
:
прямую
и
обратную
.
Прямая
задача
состоит
в
нахождении
функций
,
определяющих
напряженно
-
деформированное
состояние
тела
в
зависимости
от
внешнего
воздействия
на
него
.
Решение этой задачи сопряжено с большими математическими трудностями
Решение
этой
задачи
сопряжено
с
большими
математическими
трудностями
.
Обратная
задача
состоит
в
том
,
что
,
задавшись
либо
перемещениями
,
либо
компонентами
тензора
напряжений
,
определяют
из
основных
уравнений
и
соответствующих
граничных
условий
все
остальные
функции
,
а
также
внешние
силы
.
Уравнения
Ламе
Некоторые
задачи
,
в
частности
задачи
первого
типа
,
удобнее
решать
в
перемещениях
.
Для
этого
основные
уравнения
необходимо
выразить
через
перемещения
.
Учитывая
,
что
,
и
,
получаем
j ij
i
θ δ
θ
,
,
=
j j
u
θ
,
=
i jj
i
u
u
,
= Δ
(
)
0
i
i
i
u
F
λ μ θ
μ
,
+
+ Δ +
= .
С
использованием
равенства
дифференциальные
уравнения
равновесия
при
отсутствии
объемных
сил
приводятся
к
виду
i
i
i
,
1
1 2
λ μ
μ
ν
+ =
,
−
1
θ
∂
р
д
ду
1
1
1
0
1 2
u
x
θ
ν
∂
Δ +
= ,
−
∂
2
2
1
0
1 2
u
x
θ
ν
∂
Δ +
= ,
−
∂
1
θ
∂
Эти
уравнения
равновесия
в
перемещениях
называются
уравнениями
Ламе
.
Они
могут
быть
записаны
и
в
виде
одного
векторного
уравнения
:
3
3
1
0
1 2
u
x
θ
ν
∂
Δ +
=
−
∂
1
Продифференцировав
первое
соотношение
по
координате
,
получим
т
.
е
.
объемная
деформация
удовлетворяет
уравнению
Лапласа
и
,
следовательно
,
является гармонической функцией
1
grad div u
0
1 2
u
ν
Δ +
= .
−
i
x
0
θ
Δ = ,
θ
является
гармонической
функцией
.
Применяя
к
первому
соотношению
оператор
Лапласа
,
получим
т
.
е
.
компоненты
вектора
перемещений
являются
бигармоническими
функциями
.
Уравнения
Ламе
вместе
с
граничными
условиями
(2.4)-(2.6)
определяют
все
три
компоненты вектора перемещений
0
u
ΔΔ = ,
компоненты
вектора
перемещений
.
Уравнения
Бельтрами
-
Мичелла
При
решении
второй
основной
задачи
теории
упругости
обычно
выгодно
за
основные
неизвестные
функции
принять
компоненты
тензора
напряжений
,
т
.
е
.
решать
задачу
в
напряжениях
.
При
этом
основные
уравнения
следует
представить
через
искомые
функции
.
Применяя
оператор
Лапласа
к
соотношениям
(2.5),
выражающим
кинематическую
связь
между
компонентами
тензора
деформации
и
вектора
напряжений
,
учитывая
уравнения
Ламе
,
при
отсутствии
объемных
сил
,
получим
:
2
ij
λ μ
θ
ε
+
∂
Δ = −
.
∂ ∂
Применяя
оператор
Лапласа
к
закону
Гука
в
прямой
форме
и
учитывая
то
,
что
удельное
изменение
объема
есть
гармоническая
функция
,
получаем
:
ij
i
j
x x
μ
∂ ∂
2
ij
ij
σ
μ ε
Δ
=
Δ .
Окончательно
имеем
шесть
дифференциальных
уравнений
которые
называют
уравнениями
Бельтрами
-
Мичелла
.
2
1
0
1 2 3
1
ij
i
j
i j
x x
σ
σ
ν
∂
Δ
+
= , , = , , ,
+ ∂ ∂
р
ур
р
При
решении
прямой
задачи
в
напряжениях
находятся
шесть
функций
,
которые
должны
удовлетворять
уравнениям
равновесия
(2.3),
уравнениям
Бельтрами
-
Мичелла
и
граничным
условиям
(2.7).
Применяя
к
уравнениям
Бельтрами
-
Мичелла
оператор
Лапласа
и
учитывая
,
что
0
σ
Δ =
получим
т
.
е
.
компоненты
тензора
напряжений
являются
бигармоническими
функциями
,
когда
объемные
силы
равны
нулю
.
0
ij
σ
ΔΔ
= ,
Плоская
задача
теории
упругости
Плоская
задача
теории
упругости
включает
в
себя
задачи
плоской
деформации
,
плоского
напряженного
и
обобщенного
плоского
напряженного
состояния
.
Эти
задачи
,
принципиально
отличающиеся
по
своей
механической
сути
,
объединяются одинаковой математической формулировкой что позволяет
объединяются
одинаковой
математической
формулировкой
,
что
позволяет
применять
одинаковые
методы
для
их
решения
.
Деформация
тел
называется
плоской
,
если
вектор
перемещения
любой
точки
параллелен
некоторой
плоскости
и
не
зависит
от
расстояния
до
этой
плоскости
.
Допустим что эта плоскость плоскость
тогда
O
Допустим
,
что
эта
плоскость
–
плоскость
,
тогда
1 2
Ox x
1
1
1
2
2
2
1
2
3
(
)
(
)
0
u
u x x u
u x x u
=
,
,
=
,
, = .
1
2
2
1
11
22
12
1
(
)
2
u
u
u
u
x
x
x
x
ε
ε
ε
∂
∂
∂
∂
=
,
=
,
=
+
.
∂
∂
∂
∂
13
23
33
0
ε
ε
ε
=
=
= .
Объемная
деформация
равна
1
2
1
2
2
x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
1
2
11
22
u
u
x
x
θ ε
ε
∂
∂
=
+
=
+
.
∂
∂
Компоненты
тензора
напряжений
1
2
x
x
∂
∂
11
11
22
22
12
12
2
2
2
σ
λθ
με σ
λθ
με σ
με
=
+
,
=
+
,
=
.
(
)
(
)
λ
λθ
Все
рассматриваемые
функции
зависят
только
от
и
.
33
11
22
11
22
(
)
(
)
2(
)
σ
λθ
σ
σ
ν σ
σ
λ μ
=
=
+
=
+
.
+
13
23
0
σ
σ
=
= ,
1
x
2
x
Плоская
деформация
Уравнения
равновесия
в
случае
плоской
деформации
примут
вид
11
12
12
22
1
2
3
1
2
1
2
0
0
0
F
F
F
x
x
x
x
σ
σ
σ
σ
∂
∂
∂
∂
+
+
= ,
+
+
= ,
= .
∂
∂
∂
∂
Из
них
следует
,
что
объемная
сила
не
должна
зависеть
от
координаты
и
должна
быть
параллельна
плоскости
деформации
.
Уравнения
равновесия
преобразуются
к
уравнению
11
22
(
)
0
σ
σ
Δ
+
= ,
которое
называют
уравнением
Леви
.
Так
как
условия
на
боковой
поверхности
не
зависят
от
координаты
,
граничные
условия
задаются
на
контуре
одного
из
поперечных
сечений
.
Различают
три
Д
й
й
й
11
22
(
)
0
σ
σ
Δ
+
,
3
x
основные
задачи
.
Для
второй
основной
граничной
задачи
контурные
условия
записываются
в
виде
Д
Л
11 1
12
2
1
n
n
T
σ
σ
+
= ,
12 1
22
2
2
n
n
T
σ
σ
+
= .
Два
уравнения
равновесия
и
уравнение
Леви
составляют
замкнутую
систему
уравнений
относительно
трех
компонентов
тензора
напряжений
,
не
содержащую
упругих
констант
материала
.
В
случае
плоской
деформации
при
отсутствии
объемных
сил
,
напряженное
состояние в любом его односвязном сечении параллельном плоскости деформации
состояние
в
любом
его
односвязном
сечении
,
параллельном
плоскости
деформации
,
определяется
заданными
на
контуре
этого
сечения
силами
и
не
зависит
от
свойств
материала
.