Материал: Механика деформируемого твердого тела
Плоская
задача
теории
пластичности
р
При
плоской
деформации
перемещения
частиц
тела
параллельны
плоскости
и
не
зависят
от
переменной
:
Будем использовать модель жестко
-
пластического тела которая позволяет одновременно
x y
,
z
(
)
(
)
0
x
x
y
y
z
u
u x y u
u x y u
=
, ,
=
, , = .
Будем
использовать
модель
жестко
-
пластического
тела
,
которая
позволяет
одновременно
рассматривать
поле
напряжений
и
поле
смещений
,
связывая
его
со
смещением
жестких
областей
.
Из
первого
уравнения
следует
,
что
.
Отсюда
,
как
по
уравнениям
деформационной
теории
,
так
и
по
уравнениям
теории
течения
получаем
0
z
ε
=
1
Напряжение
является
одним
из
главных
напряжений
.
Для
остальных
верно
1
(
)
2
x
y
σ
σ
σ
=
+
.
z
σ
1
2
z
σ
σ τ σ
σ σ
σ τ
= + ,
= ,
= − ,
т
.
е
.
напряженное
состояние
в
каждой
точке
области
–
это
наложение
гидростатического
давления
на
напряженное
состояние
чистого
сдвига
.
Значения
косинусов
,
определяющих
первое
главное
направление
,
находятся
из
системы
1
2
z
,
,
,
σ
τ
(
)
(1 )
(1 )
0
Исключая
отсюда
,
получаем
1
(
) cos(1 )
cos(1 )
0
x
xy
x
y
σ
σ
τ
−
, +
,
= ,
1
cos(1 )
(
) cos(1 )
0
xy
y
x
y
τ
σ
σ
, +
−
,
= .
1
σ
2
t 2(1 )
xy
τ
Направления
площадок
,
на
которых
действуют
максимальные
касательные
напряжения
,
составляют
угол
с
главным
направлением
.
tg2(1 )
xy
x
y
x
σ
σ
, =
.
−
4
π
± /
Линии
скольжения
Линией
скольжения
называют
линию
,
в
каждой
точке
своей
касающуюся
площадки
максимального
касательного
напряжения
.
Имеются
два
ортогональных
семейства
линий
скольжения
,
уравнения
которых
параметрически
можно
записать
в
виде
(
)
(
)
x x
y
y
α β
α β
=
, , =
, ,
где
и
–
некоторые
параметры
.
Дифференциальные
уравнения
двух
семейств
линий
Линии
скольжения
(
)
(
)
y
y
β
β
, ,
, ,
α
β
tg
ctg
dy
dy
θ
θ
=
=
tg
ctg
dx
dx
θ
θ
=
,
= −
.
Вдоль
линии
скольжения
давление
изменяется
пропорционально
углу
линии
скольжения
с
осью
.
Е
й
й
й
б й
x
Если
переходить
от
одной
линии
скольжения
семейства
к
другой
вдоль
любой
линии
семейства
,
то
угол
и
давление
будут
изменяться
на
одну
и
ту
же
величину
.
Если
известно
значение
в
какой
-
либо
точке
заданной
сетки
линий
скольжения
,
то
оно
может
быть
вычислено
всюду
в
поле
.
β
α
θ
σ
ду
Если
некоторый
отрезок
линии
скольжения
–
прямой
,
то
вдоль
него
постоянны
,
параметры
и
компоненты
напряжения
.
Если
в
некоторой
области
прямолинейны
оба
семейства
линий
скольжения
,
то
в
этой
области
напряжения
распределены
равномерно
σ θ
,
ξ η
,
равномерно
.
Элементы
группового
анализа
Рассмотрим
группу
точечных
преобразований
,
которую
сам
Ли
называл
группой
непрерывных
преобразований
.
Это
позволит
подробно
изучить
дифференциальные
уравнения
теории
пластичности
.
Пусть
и
-
евклидовы пространства В
-
открытый шар содержащий ноль
R
n
R
r
B
R
r
⊂
Пусть
и
-
евклидовы
пространства
,
В
-
открытый
шар
,
содержащий
ноль
,
Рассмотрим
функции
,
которые порождают
преобразование
в
себя
:
Здесь
а
называются
параметрами
преобразования
.
Различным
преобразованиям
соответствуют различные значения параметров В дальнейшем считаем что все
R
R
B
R
⊂
n
n
R
B
R
f
→
×
:
R
n
′ =
=
x
f x a
T x
a
( , )
x x
R a B
n
,
,
′ ∈
∈
соответствуют
различные
значения
параметров
.
В
дальнейшем
считаем
,
что
все
параметры
а
существенны
.
Это
означает
,
что
они
не
могут
быть
заменены
функциями
от
меньшего
числа
параметров
.
Потребуем
,
чтобы
преобразования
такого
вида
составляли
группу
Ли
.
Для
этого
определим
композицию
двух
преобразований
:
х
T
b
a
x
f
b
a
x
f
f
х
T
T
c
b
a
=
=
=
))
,
(
,
(
)
),
,
(
(
)
(
ϕ
где
Естественно
потребовать
выполнение
следующих
условий
:
f
f
f
c
b
a
))
,
(
,
(
)
),
,
(
(
)
(
ϕ
c
a b
i
i
=
ϕ
( , )
i
r
=
1,
,
K
f x
x
( , )
0
=
ϕ
ϕ
( ,
)
(
, )
a a
a
a
−
−
=
=
1
1
0
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
( , ( , ))
( ( , ), )
a
b c
a b c
=
которые
выполняются
для
всех
,
Предположим
,
что
есть
аналитическая
функция
.
В
результате
мы
выделим
множество
преобразований
пространства
в
себя
,
которые
образуют
локальную
f
( , )
ϕ
ϕ
( ,
)
(
, )
a b c
B
, ,
∈
x R
n
∈
ϕ
( , )
a b
R
n
G
р
р
р
р
р
р у
у
группу
Ли
.
Поскольку
преобразования
из
каждой
точке
пространства
ставят
в
соответствие
снова
точку
этого
же
пространства
,
то
группу
часто
называют
группой
точечных
преобразований
пространства
.
G
r
G
r
R
n
G
r
Алгебра
Ли
.
Мера
некоммутативности
Группа
преобразований
плоскости
: ,
где
G
3
R
2
T T T
a
b
,
,
λ
T x
x
e x
x
e x
λ
λ
λ
=
′ =
′ =
⎧
⎨
⎩
1
1
2
2
называется
растяжением
или
гомотетией
.
C
группой
Ли
ассоциируется
алгебра
Ли
.
Построим
алгебру
Ли
для
группы
точечных
преобразований
.
Поставим
в
соответствие
каждой
однопараметрической
й
G
r
r
L
r
L
x
e x
=
⎩
подгруппе
касательный
вектор
по
следующему
правилу
:
Касательный вектор
удобно заменить на инфинитезимальный оператор
G
r
df
da
f
i
a
i
=
=
0
ξ
(
)
i
n
=
1,
,
K
(
)
ξ
ξ
1
n
Касательный
вектор
удобно
заменить
на
инфинитезимальный
оператор
Для
операторов
,
операцию
коммутации
следует
определить
так
:
(
,
,
)
ξ
ξ
1
K
n
X
x
a
a
i
i
=
ξ
∂
∂
(
,
, ;
,
, )
α
=
=
1
1
K
K
r i
n
X
a
X
b
Для
группы
верно
,
а
преобразования
.
Подействуем
на
точку
А
(
х
0
у
0)
преобразованием
Точка
Теперь подействуем на точку
[
]
X
X
X
x
X
x
X
X
x
a
b
a
b
i
i
b
a
i
i
a
b
i
b
a
i
i
,
(
)
(
)
(
(
)
(
))
=
−
=
−
ξ
∂
∂
ξ
∂
∂
ξ
ξ
∂
∂
G
3
T T
T T
a b
b a
=
T T
T T
a
a
λ
λ
≠
T T
′ =
A
T A
′′ =
′
A
T A
А
(
х
0,
у
0)
преобразованием
.
Точка
, .
Теперь
подействуем
на
точку
А
преобразованием
,
а
затем
.
Имеем
, .
Разность
В
"
-
А
"
-
мера
некоммутативности
T T
a
λ
=
A
T A
λ
=
A
T A
a
T
λ
a
T
′ =
B
T A
a
′′ =
′
B
T B
λ
Восстановление
группы
Ли
Задача
:
Необходимо
по
алгебре
Ли
Lr
восстановить
группу
Gr
.
Это
удобно
производить
в
канонических
координатах
второго
рода
.
Для
этого
выбирается
некоторый
базис
алгебры
Ли
Lr
и
для
каждого
базисного
вектора
б
й
X
X
r
1
,
,
K
ξ
ξ
1
,
,
K
r
строится
соответствующая
однопараметрическая
группа
преобразований
с
помощью
уравнения
Ли
Преобразования
группы
Gr
получаются
перемножением
преобразований
полученных
d f
d a
f
υ
υ
ξ
=
(
)
f
x
a
υ
=
=
0
однопараметрических
подгрупп
.
При
этом
параметры
а
1,...,
а
r
выполняют
роль
координат
параметрической
точки
а
группы
Gr
и
задают
в
группе
Gr
систему
координат
,
называемую
канонической
системой
координат
второго
рода
.
Пример
.
По
алгебре
Ли
L
4
р
р
р
Восстановим
группу
Ли
Gr
.
Уравнения
Ли
имеют
вид
X
x
a
=
∂
∂
1
X
x
b
=
∂
∂
2
X
x
x
x
x
λ
∂
∂
∂
∂
=
+
1
1
2
2
d f
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
1
d f
d a
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
0
f
x
x
a
=
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
1
2
d f
d b
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
1
f
x
x
b
=
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
1
2
d f
f
⎛
⎞
1
x
⎛ ⎞
1
Решая
эти
уравнения
,
получаем
d f
d
f
f
λ
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
f
x
x
λ=
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
2
⎨
⎧
+
=
′
=
2
2
1
1
a
x
x
х
T
a
⎨
⎧
=
′
=
x
x
х
T
b
2
2
1
1
⎩
⎨
⎧
′
=
′
=
λ
λ
λ
e
x
x
х
T
2
2
1
1
⎩
⎨
=
′
2
2
x
x
a
⎩
⎨
+
=
′
b
x
x
b
2
2
⎩
⎨
=
′
λ
λ
e
x
x
2
2