Материал: Механика деформируемого твердого тела
Продолжение
точечных
преобразований
р
р
р
Рассмотрим
пространство
,
где
N = n + m
, -
независимые
переменные
;
-
зависимые
переменные
.
В
дифференциальные
уравнения
необходимым
образом
входят
производные
:
R
N
(
,
,
)
x
x
n
1
K
(
,
,
)
u
u
m
1
K
∂
∂
u
x
p
k
i
i
k
=
k
m
=
1,
,
K
i
n
=
1,
,
K
Рассмотрим
однопараметрическую
группу
точечных
преобразований
в
пространстве
∂
x
R
N
′ =
x
f x u a
i
i
( , , )
f
x
i
a
i
=
=
0
′ =
u
g x u a
k
k
( , , )
g
u
k
a
k
=
=
0
Этой
группе
преобразований
соответствует
инфинитезимальный
оператор
a
0
X
x u
x
x u
u
i
i
k
k
=
+
ξ
∂
∂
η
∂
∂
(
,
)
(
,
)
Рассмотрим
пространство
переменных
.
В
этом
пространстве
полученные
преобразования
индуцируют
преобразование
переменных
р
которые
согласованы
с
равенствами
R
N nm
+
( , , )
x u p
′ =
p
h x u p a
i
k
i
k
( , , , )
h
p
i
k
a
i
k
=
=
0
u
k
k
∂
для
любой
функции
.
Эти
условия
однозначно
определяют
для
каждой
группы
G
преобразования
переменных
p
.
В
результате
получается
однопараметрическая
группа
,
p
u
x
i
k
i
=
∂
∂
u
u x
k
k
=
( )
G
1
N
р
p
р у
у
р
р
ру
действующая
в
пространстве
,
которая
называется
первым
продолжением
группы
точечных
преобразований
.
Оператор
продолженной
группы
равен
где
,
Х
-
оператор
.
1
R
N nm
+
G
1
X
X
p
i
k
i
k
a
1
0
=
+
=
ξ
∂
∂
ξ
i
k
i
k
d h
d
=
ξ
i
a
d a
=
0
Продолжение
более
высоких
порядков
р д
р д
Более
сложные
формулы
возникают
при
вычислении
законов
преобразования
высших
производных
,
объем
вычислений
существенно
возрастает
и
с
ростом
числа
переменных
.
Поэтому
удобен
путь
,
предложенный
Ли
-
искать
коэффициенты
р
у у
у
р
фф
продолженного
инфинитезимального
оператора
.
Для
удобства
вычислений
введем
дифференциальные
формы
(1-
формы
):
Тогда
.
После
преобразований
,
получим
ω
k
k
i
k
i
du
p dx
=
−
ω
k
=
0
′ =
′ − ′
′ =
ω
k
k
k
i
du
p dx
0
Эти
уравнения
эквивалентны
системе
уравнений
=
−
=
ω
i
du
p dx
0
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
β
β
β
g
x
g
u
p
h
f
x
f
u
p
k
i
k
j
i
j
k
i
j
i
j
+
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
0
Продифференцируем
эти
уравнения
по
параметру
а
и
положим
а
= 0.
В
результате
получаем
формулу
для
определения
искомых
коэффициентов
инфинитезимальных
операторов
ξ
∂η
∂
∂η
∂
∂ξ
∂
∂ξ
∂
β
β
β
i
k
k
i
k
j
i
j
k
i
j
i
j
x
u
p
p
x
u
p
=
+
−
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
i
i
f
δ
∂
При
выводе
этой
формулы
использованы
очевидные
равенства
где
-
символ
Кронекера
.
Введем
оператор
полного
дифференцирования
по
переменной
х
i
∂
∂
∂
∂
x
u
x
u
⎝
⎠
i
j
a
j
x
f
δ
=
∂
=
0
δ
j
i
∂
∂
∂
тогда
формула
для
операторов
перепишется
так
:
D
x
p
u
p
p
i
i
i
ij
j
=
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
α
α
α
α
K
ξ
η
ξ
β
β
i
k
i
k
k
i
D
p D
=
−
(
)
(
)
Дифференциальные
инварианты
Продолжение
более
высокого
порядка
осуществляется
путем
определения
действия
этой
группы
на
переменные
, ,
исходя
из
условий
инвариантности
, , ...
,
где
p
ij
α
p
ijk
α
ω
=
0
ω
1
0
=
2
u
∂
α
α
3
u
∂
α
α
j
d
d
α
α
k
d
d
α
α
,
д
В
частности
,
в
случае
второго
продолжения
,
наиболее
часто
встречающегося
в
механике
,
инфинитезимальный
оператор
имеет
вид
,
j
i
ij
x
x
u
p
∂
∂
∂
α
=
,...,
k
j
i
ijk
x
x
x
u
p
∂
∂
∂
∂
α
=
,
1
j
ij
i
dx
p
dp
α
α
ω
−
=
,...
2
k
ijk
ij
dx
p
dp
α
α
ω
−
=
X
X
+
+
ξ
∂
ξ
∂
α
α
Коэффициенты
определяются
по
формуле
Продолжение произвольной
r
-
параметрической группы
Gr
и ее алгебры Ли
Lr
X
X
p
p
i
i
i j
i j
2
=
+
+
ξ
∂
ξ
∂
α
α
α
α
ξ
α
i j
ξ
ξ
ξ
α
α
β
α
β
i j
j
i
i
j
D
p
D
=
−
(
)
(
)
Продолжение
произвольной
r
-
параметрической
группы
Gr
и
ее
алгебры
Ли
Lr
осуществляется
тем
же
путем
.
При
этом
продолженная
группа
и
алгебра
обладают
теми
же
структурными
свойствами
,
что
и
исходные
.
Инварианты
продолженной
группы
для
называются
дифференциальными
инвариантами
(
порядка
s
)
исходной
груп
-
пы
G
.
G
S
0
〉
s
р
(
р
)
ру
Количество
функционально
независимых
инвариантов
дается
формулой
,
где
N = n + m
-
это
число
переменных
, .
Начиная
с
некоторого
k
-
го
продолжения
не
меняется
,
зато
возрастает
количество
переменных
,
их
количество
неограниченно
растет
,
поэтому
группа
G
обладает
бесконечным
множеством функционально независимых дифференци альных инвариантов
ρ
=
−
N
r
*
r
rank
x
i
*
[
( )]
=
ξ
α
*
r
множеством
функционально
независимых
дифференци
-
альных
инвариантов
.
Однако
для
любой
группы
можно
построить
конечный
базис
дифференциальных
инвариантов
,
из
которых
по
определенным
правилам
получаются
все
остальные
дифференциальные
инварианты
.
Инвариантные
решения
Система
уравнений
плоской
задачи
идеальной
пластичности
с
условием
текучести
Мизеса
имеет
вид
:
,
0
,
0
y
x
y
x
x
=
∂
+
∂
=
∂
+
∂
σ
τ
τ
σ
k
4
4
)
(
2
2
2
=
+
τ
σ
σ
(3 1)
где
компоненты тензора напряжений
координаты вектора скорости
,
k
4
4
)
(
s
y
x
=
+
−
τ
σ
σ
),
)(
u
v
(
)
v
u
(
2
y
x
x
y
y
x
σ
σ
τ
+
+
=
−
.
0
v
u
y
x
=
+
σ
τ
σ
v
u
k
(3.1)
где
-
компоненты
тензора
напряжений
, -
координаты
вектора
скорости
, -
предел
текучести
при
чистом
сдвиге
.
Из
этих
уравнений
видно
,
что
для
плоской
задачи
теории
идеальной
пластичности
можно
строить
сначала
поля
напряжений
,
а
потом
по
ним
восстанавливать
поля
скоростей
,
причем последние восстанавливаются
,
как правило
,
неоднозначно
.
y
x
σ
τ
σ
,
,
v
u
,
s
k
скоростей
,
причем
последние
восстанавливаются
,
как
правило
,
неоднозначно
.
Эта
система
уравнений
является
гиперболической
.
У
нее
две
характеристики
и соотношения на них
:
.
θ
tg
x
y
=
∂
∂
.
θ
ctg
x
y
−
=
∂
∂
σ
и
соотношения
на
них
:
И
й б
б
,
2
const
k
=
−
θ
σ
,
0
=
−
θ
vd
du
,
2
const
k
=
+
θ
σ
.
0
=
+
θ
ud
dv
Исследовать
эту
систему
уравнений
будем
следующим
образом
:
Сначала
найдем
группу
точечных
преобразований
,
допускаемую
системой
уравнений
Затем
построим
все
инвариантные
решения
этой
системы
,
Далее
для
каждого
точного
решения
задачи
в
напряжениях
найдем
возможные
поля
й
скоростей
.
Построение
группы
преобразований
Найдем
группу
непрерывных
преобразований
,
допускаемую
системой
(3.1),
которую
удобно
записать
так
:
,
0
)
2
sin
2
cos
(
2
=
∂
+
∂
−
∂
θ
θ
θ
θ
σ
y
x
s
x
k
0
)
2
cos
2
sin
(
k
2
=
∂
−
∂
−
∂
θ
θ
θ
θ
σ
где
-
гидростатическое
давление
, -
угол
между
осью
Ох
и
первым
главным
направлением
тензора
напряжений
.
У
б
й
.
0
)
2
cos
2
sin
(
k
2
y
x
s
x
=
∂
∂
∂
θ
θ
θ
θ
σ
,
2
cos
,
2
sin
2
,
2
sin
2
θ
τ
θ
σ
σ
θ
σ
σ
s
s
y
s
x
k
k
k
=
+
=
−
=
σ
θ
Уравнения
допускают
следующую
группу
непрерывных
преобразований
,
которые
порождаются
операторами
:
/
2
,
,
,
,
,
,
5
4
3
2
1
σ
θ
σ
θ
η
ξ
η
ξ
∂
−
−
∂
+
∂
=
∂
+
∂
=
∂
=
∂
+
∂
+
∂
−
=
∂
+
∂
=
∂
=
∂
=
k
k
X
X
X
y
x
X
y
x
X
X
X
y
x
x
y
y
x
y
x
где
а
функции
есть
произвольное
решение
следующей
линейной
системы
дифференциальных
уравнений
:
,
/
2
2
1
θ
σ
θ
η
ξ
∂
∂
+
∂
=
+
k
k
X
y
x
,
/
2
sin
2
cos
1
k
y
y
x
σ
θ
θ
ξ
−
−
−
=
,
/
2
sin
2
cos
2
k
x
x
y
σ
θ
θ
ξ
+
−
=
)
,
(
η
ξ
0
)
2
sin
2
cos
(
2
=
+
−
θ
η
θ
ξ
ξ
k
где
индекс
внизу
означает
дифференцирование
по
соответствующей
переменной
.
Найденная
алгебра
Ли
бесконечномерная
и
операторы
образуют
идеал
J
,
0
)
2
cos
2
sin
(
2
,
0
)
2
sin
2
cos
(
2
=
−
−
=
+
θ
η
θ
ξ
η
θ
η
θ
ξ
ξ
σ
σ
θ
σ
σ
θ
s
s
k
k
+
X
X
,
р
р
р
р
р у
алгебры
Ли
L
∞
,
а
операторы
есть
фактор
–
алгебра
L
∞
/J.
+
5
1
,...
X
X