Материал: Механика деформируемого твердого тела
Поиск
инвариантных
решений
Ограничимся
изучением
подалгебры
,
порождаемой
операторами
.
Для
большего
удобства
,
перепишем
эти
операторы
в
терминах
системы
(3.1).
Имеем
5
1
,...
X
X
,
,
,
3
2
1
y
x
X
X
X
∂
+
∂
=
∂
=
∂
=
.
,
2
)
(
2
,
,
,
5
4
3
2
1
y
x
y
x
X
y
x
X
y
x
X
X
X
x
y
x
y
y
x
y
x
σ
σ
σ
τ
σ
τ
σ
σ
τ
∂
+
∂
=
∂
−
∂
−
+
∂
+
∂
+
∂
−
=
∂
+
∂
∂
∂
L
Для
построения
всех
существенно
различных
инвариантных
решений
системы
(3.1)
необходимо
построить
оптимальную
систему
подалгебр
для
этой
алгебры
Ли
.
Поскольку
система
(3.1)
зависит
от
двух
переменных
,
то
достаточно
перечислить
одномерные
и
двумерные
подалгебры
.
Оптимальная
система
имеет
вид
:
5
L
,
,
,
,
:
,
,
,
:
5
3
5
1
5
2
5
1
2
5
3
5
3
4
5
1
1
〉
+
+
〈
〉
+
+
〈
〉
+
+
〈
+
+
+
+
X
X
aX
X
X
X
aX
X
X
X
aX
X
aX
X
X
aX
X
aX
X
β
β
β
θ
β
θ
В
данном
случае
интересные
инвариантные
решения
удается
построить
только
на
подалгебрах
из
оптимальной
системы
.
Будем
искать
решение
системы
(3.1)
инвариантное
относительно
подгруппы
.
.
,
5
4
5
3
〉
+
+
〈
X
X
aX
X
β
1
θ
5
1
aX
X
+
у
р
(
)
р
ру
Его
следует
искать
в
виде
где
F,G, H
некоторые
функции
переменной
y.
5
1
),
(
),
(
),
(
y
H
y
G
x
y
F
x
y
x
=
+
=
+
=
τ
γ
σ
γ
σ
д
, ,
р
фу ц
р
y
Поля
скоростей
для
решения
Прандтля
р
р
р
Преобразуя
последние
соотношения
,
получим
известное
решение
Прандтля
:
/
)
/
(
),
)
/
1
(
2
/
(
2
/
1
2
2
h
k
h
k
h
y
h
x
k
p
s
x
−
−
−
−
=
σ
где
-
произвольные
постоянные
.
Это
решение
описывает
сжатие
пластического
слоя
между
параллельными
жесткими
и
шероховатыми
плитами
.
При
этом
толщина
слоя
2h
считается
значительно
меньше
протяженности
слоя
2l.
,
/
),
/
(
h
y
k
h
x
k
p
s
s
y
=
−
−
=
τ
σ
p
h
h
k
s
,
,
/
−
=
γ
Для
решения
Прандтля
построим
линии
скольжения
.
Получим
параметрические
уравнения
двух
семейств
линий
скольжения
:
.
2
cos
,
)
2
sin
2
(
θ
θ
θ
h
y
С
k
x
s
=
+
−
−
=
2
cos
)
2
sin
2
(
θ
θ
θ
h
y
С
k
x
+
+
В
случае
решения
Прандтля
для
определения
компонент
вектора
скорости
имеем
два
уравнения
:
.
2
cos
,
)
2
sin
2
(
θ
θ
θ
h
y
С
k
x
s
=
+
+
=
,
)
)(
(
)
(
2
/
1
2
2
−
+
=
−
x
y
y
x
y
h
v
u
y
v
u
Найдем
группу
,
допускаемую
этой
системой
.
Эта
группа
порождается
следующими
операторами
:
.
0
=
+
y
x
v
u
,
,
,
3
2
1
u
u
u
x
X
y
x
X
X
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
−
∂
=
∂
=
∗
∗
где
u*,v*
произвольное
решение
этой
системы
.
Ограничимся
рассмотрением
алгебры
Ли
,
которая
порождается
.
Оптимальная
система
одномерных
подалгебр
в
этом
случае
имеет
вид
,
,
,
6
5
4
u
v
u
v
v
u
v
X
u
v
X
X
∂
+
∂
=
∂
+
∂
=
∂
=
∗
∗
.
5
1
,...,
X
X
3
2
1
4
3
3
2
5
1
4
,
,
,
,
X
aX
X
aX
X
aX
X
aX
X
X
β
+
+
+
+
+
у
3
2
1
4
3
3
2
5
1
4
,
,
,
,
β
Пластические
течения
в
сходящихся
каналах
Инвариантные
решения
на
подалгебре
удобно
искать
в
полярной
системе
С
(3 1)
б
5
3
X
X
γ
+
θ
координат
r, .
Система
(3.1)
при
этом
запишется
следующим
образом
.
θ
.
4
4
)
(
,
0
/
2
0
/
)
(
2
2
2
1
s
r
i
r
k
r
r
r
r
=
+
−
=
+
∂
+
∂
=
−
+
∂
+
∂
−
−
τ
σ
σ
τ
σ
τ
σ
σ
τ
σ
θ
θ
θ
τ
θ
θ
τ
τ
Оператор
в
полярной
системе
координат
имеет
вид
:
Инвариантное
решение
относительно
этой
подгруппы
ищем
в
виде
:
Дифференциальное
уравнение
для
определения
имеет
вид
:
5
3
X
X
γ
+
)
(
θ
σ
σ
γ
∂
+
∂
+
∂
к
r
r
),
(
),
(
ln
),
(
ln
θ
τ
θ
γ
σ
θ
γ
σ
θ
c
b
r
a
r
r
=
+
=
+
=
)
(
θ
c
2
/
1
2
2
)
(
2
c
k
c
−
=
+
′
γ
Д фф р ц
ур
д
р д
д
Пусть
,
тогда
находим
решение
Надаи
с
произвольными
постоянными
А
j
.
Пусть
.
Обозначим
,
тогда
Считая что
имеем
)
(
)
(
2
c
k
c
s
+
γ
0
=
γ
,
)
2
cos(
)
(
,
)
2
cos(
)
(
),
2
sin(
)
(
2
1
2
1
1
A
A
k
a
A
A
k
b
A
k
c
s
s
s
+
+
−
=
+
+
=
+
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
0
≠
γ
B
k
с
s
2
sin
=
0
1
)
2
cos
2
(
2
cos
2
θ
θ
γ
−
=
+
−
∫
−
dB
B
k
B
k
s
s
2
2
4
k
〉
γ
⎡
⎤
0
2
/
1
2
/
1
2
2
)
2
(
)
2
(
)
4
(
θ
θ
γ
γ
γ
γ
−
=
+
⋅
−
+
+
−
−
tgB
k
k
arctg
k
B
Считая
,
что
,
имеем
где
-
постоянная
Если
считать
γ
большим
параметром
,
то
2
2
4
s
k
〉
γ
⎡
⎤
0
)
2
(
)
2
(
)
4
(
θ
θ
γ
γ
γ
γ
+
+
+
tgB
k
k
arctg
k
B
s
s
s
0
θ
a
k
a
k
a
k
r
a
a
k
s
s
s
r
/
ln
,
)
/
1
(
2
ln
2
/
1
2
2
θ
τ
σ
θ
σ
=
=
−
+
=
где
а
-
произвольная
постоянная
,
Это
решение
описывает
напряженное
состояние
,
возникающее
при
плоском
течении
пластической
массы
в
сходящемся
канале
в
форме
плоского
клина
,
если
клин
имеет
раствор
2
а
и
а
мало
a
k
r
a
s
/
,
ln
θ
τ
σ
θ
=
=
a
k
g
/
=
′
γ
раствор
2
а
и
а
мало
.
Размножение
решений
Симметрии
системы
уравнений
обладают
замечательным
фактом
:
решение
системы
уравнений
они
переводят
снова
в
решение
этой
же
системы
.
Проиллюстрируем
процесс
размножения
решений
на
уравнениях
идеальной
пластичности
:
σ
θ
θ θ
θ
x
x
y
k
−
+
=
2
2
2
0
(
cos
sin
)
Эта
система
допускает
операторы
вида
Точечные
преобразования
,
соответствующие
этому
оператору
имеют
вид
y
σ
θ
θ θ
θ
y
x
y
k
−
−
=
2
2
2
0
(
sin
cos
)
y
x
X
∂
θ
σ
η
∂
θ
σ
ξ
)
,
(
)
,
(
+
=
у
у
у
В
качестве
затравочного
решения
для
системы
возьмем
известное
решение
Прандтля
)
,
(
η
σ
ξ
a
x
x
+
=
′
′ = +
y
y a
η σ θ
( , )
2
1
y
k
kx
−
+
−
=
σ
θ
=
1
2
arccos
y
Подействуем
преобразованием
на
решение
Прандтля
.
Имеем
Выберем в качестве
ξ
η
решение
2
[
]
θ
θ
σ
ε
σ
2
sin
)
,
(
+
+
−
=
a
x
k
θ
η σ θ
=
+
1
2
arccos(
( , )
y a
f
exp
)
(
σ
θ
ξ
=
η
θ
σ
=
g
( ) exp
Выберем
в
качестве
ξ
,
η
решение
,
где
После
подстановки
этих
соотношений
получим
k
f
2
exp
)
(
θ
ξ
η
θ
=
g
k
( ) exp
2
f
( )
cos
sin
θ
θ
θ
=
+
g
( )
sin
cos
θ
θ
θ
=
−
σ
θ
θ
θ
θ
= −
+
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
k x
y
g
f
k
cos
( )
( )
sin
2
2
cos
( ) exp
2
2
θ
θ
σ
= +
y ag
k
-
новые
решения
исходной
системы
для
каждого
значения
параметра
a
.
θ
⎣
⎢
⎦
⎥
g
( )
2
k
Уравнения
Треска
–
Сен
–
Венана
в
осесимметричном
случае
При
переходе
к
условию
пластичности
Треска
–
Сен
–
Венана
и
ассоциированному
ф
закону
течения
математическая
формулировка
задачи
упрощается
,
закон
текучести
в
этом
случае
имеет
вид
причем
В
й
k
const
=
=
max
τ
)
,
,
(
2
1
3
3
2
2
1
max
σ
σ
σ
σ
σ
σ
τ
−
−
−
=
ma
х
В
пространстве
главных
напряжений
это
условие
определяет
поверхность
правильной
шестигранной
призмы
.
По
ассоциированному
закону
вектор
скорости
деформации
направлен
по
нормали
к
поверхности
текучести
,
а
вдоль
ребер
призмы
течение
остается
неопределенным
.
Анализ
пластического
течения
в
различных
режимах
показывает
,
что
наибольшие
математические
трудности
при
исследовании
р
,
руд
р
д
возникают
для
двух
режимов
АВ
и
В
,
остальные
либо
сводятся
к
ним
,
либо
все
необходимые
величины
находятся
без
затруднений
.
Режим
АВ
.
Этому
режиму
соответствует
случай
,
когда
уравнения
,
описывающие
напряженно
деформированное
состояние
являются
локально
кинематически
определимыми Компоненты вектора скорости находятся из уравнений
определимыми
.
Компоненты
вектора
скорости
находятся
из
уравнений
Режим
В
.
Этот
режим
отвечает
состоянию
“
полной
пластичности
”,
когда
для
определения
четырех
компонент
тензора
напряжений
имеются
четыре
уравнения
,
в
этом случае задача локально статически определима Компоненты вектора скорости
2
)
(
4
r
z
z
r
u
u
ω
ω
+
=
.
0
1
=
+
+
−
z
r
u
r
u
ω
этом
случае
задача
локально
статически
определима
.
Компоненты
вектора
скорости
находятся
из
уравнений
:
.
0
),
(
2
sin
)
(
2
cos
1
=
+
+
+
+
−
−
z
r
r
z
z
r
u
r
u
u
u
ω
ω
θ
ω
θ