Материал: Механика деформируемого твердого тела

Ядро

ползучести

„

Больцман

предложил

общий

подход

, 

в

котором

не

нужно

строить

реологических

схем

в

явной

форме

. 

Определяющее

уравнение

вязкоупругой

среды

сразу

задается в следующей интегральной форме

задается

в

следующей

интегральной

форме

(4.3)

в

которой

функция

          , 

называемая

ядром

ползучести

, 

может

быть

произвольной

гладкой

или

обобщенной

функцией

, 

зависящей

от

двух

С

,

d

)

(

)

,

t

(

K

)

t

(

t

∫

∞

−

=

ϑ

ϑ

σ

ϑ

ε

)

,

(

ϑ

t

K

независимых

переменных

. 

С

помощью

интеграла

описывается

произвольная

линейная

зависимость

деформации

от

напряжения

с

памятью

на

интервале

времени

         .   

„

Ядра

ползучести

                          

называются

разностными

.    

)

,

(

t

−∞

)

(

)

,

(

ϑ

ϑ

−

=

t

K

t

K

др

у

р

„

В

модели

Кельвина

–

Фойхта

ядро

ползучести

разностное

и

является

гладкой

функцией

, 

так

как

                    .

„

В

модели

Максвелла

ядро

тоже

разностное

, 

но

определяется

через

обобщенную функцию Дирака по формуле

)

(

)

,

(

ϑ

ϑ

t

K

t

K

η

τ

t

e

t

K

−

=

)

(

обобщенную

 –

функцию

Дирака

по

формуле

                          . 

„

Можно

показать

, 

что

любая

вязкоупругая

модель

, 

построенная

на

основе

реологической

схемы

, 

приводит

к

уравнению

 (4.3) 

вязкоупругой

среды

с

разностным

ядром

ползучести

. 

η

δ

1

)

(

)

(

+

=

E

t

t

K

Преобразование

Лапласа

„

Преобразованием

Лапласа

функции

        , 

равной

нулю

при

         , 

называется

комплекснозначная

функция

комплексной

переменной

     , 

которая

определяется

как

интеграл

:

)

(

t

f

0

<

t

p

∫

∞

−

=

.

)

(

)

(

ˆ

dt

e

t

f

p

f

pt

„

Одно

из

основных

свойств

такого

преобразования

состоит

в

том

, 

что

для

свертки

двух

функций

        

и

         :        

0

)

(

t

f

)

(

t

g

∫

∫

−

=

−

≡

∗

=

t

t

d

t

g

f

d

g

t

f

t

g

f

t

h

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)(

(

)

(

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

преобразование

Лапласа

     

равно

произведению

преобразований

       .

„

Полагая

, 

что

началом

процесса

деформирования

среды

служит

начало

отсчета

        , 

и

что

при

         

среда

находилась

в

естественном

состоянии

с

                        , 

запишем

определяющее уравнение в виде свертки

0

0

h

ˆ

g

f

ˆ

ˆ

0

=

t

0

<

t

0

)

(

)

(

=

=

t

t

σ

ε

определяющее

уравнение

в

виде

свертки

  

(4.4)

„

Отсюда

после

применения

преобразования

Лапласа

получим

уравнение

            , 

позволяющее

сформулировать

принцип

соответствия

Вольтера

: 

всякой

модели

вязкоупругой

среды

в

пространстве

образов

Лапласа

соответствует

модель

теории

.

σ

ε

∗

=

K

σ

ε

ˆ

ˆ

ˆ

K

=

ˆ

ˆ

у ру

р д

р

р

р

у

д

р

упругости

с

комплексным

модулем

Юнга

             . 

„

В

случае

одноосного

напряженного

состояния

этот

принцип

показывает

, 

что

зависимость

напряжения

от

деформации

, 

обратная

к

 (4.4) 

также

выражается

в

виде

свертки

ф

б

б

K

R

ˆ

1

ˆ

=

,

ε

σ

∗

=

R

)

(

R

где

функция

         , 

называемая

ядром

ползучести

, 

может

быть

вычислена

как

обратное

преобразование

Лапласа

от

        , 

например

, 

по

формуле

Меллина

:

при достаточно большом значении параметра

)

(

t

R

K

ˆ

1

∫

∞

+

∞

−

=

i

a

i

a

pt

dp

e

p

R

i

t

R

)

(

ˆ

2

1

)

(

π

a

при

достаточно

большом

значении

параметра

     .

a

Нелинейные

наследственные

модели

„

Реологические

схемы

нелинейных

моделей

теории

наследственности

строятся

с

помощью

трех

элементов

 –

упругой

пружины

, 

вязкого

демпфера

и

пластического

шарнира

.

Пластический шарнир моделирует поведение идеально пластической среды в

„

Пластический

шарнир

моделирует

поведение

идеально

пластической

среды

, 

в

которой

напряжение

не

может

превосходить

некоторого

порогового

значения

 –

предела

текучести

      , 

служащего

одним

из

феноменологических

параметров

материала

. 

Если

напряжение

в

шарнире

ниже

предела

текучести

, 

то

скорость

деформации

равна

нулю

. 

По

мере

достижения

предела

текучести

начинается

течение при котором скорость деформации может быть произвольной

s

σ

течение

, 

при

котором

скорость

деформации

может

быть

произвольной

величиной

, 

положительной

при

растяжении

и

отрицательной

при

сжатии

:

Пластический

шарнир

0

,

,

0

,

,

0

s

s

если

если

если

σ

σ

ε

σ

σ

ε

σ

σ

ε

≤

<

=

=

≥

&

&

&

„

Нелинейные

модели

наследственности

описывают

пороговый

характер

деформирования

 –

при

относительно

невысоких

напряжениях

материал

ведет

себя

как

обычная

вязкоупругая

среда

, 

а

по

мере

достижения

напряжением

порогового

значения

свойства

среды

резко

меняются

.

П

й

й

.

,

0

s

если

σ

σ

ε

−

=

≤

„

Простейшая

модель

, 

описывающая

ползуче

-

пластическую

среду

, 

в

которой

напряжение

ограничено

представлена

на

рисунке

внизу

. 

При

напряжении

ниже

предельного

среда

ведет

себя

как

вязкая

жидкость

, 

в

предельном

состоянии

она

течет

подобно

идеальной

жидкости

.

„

При

последовательном

соединении

реологических

элементов

скорости

С

р

д

д

р

р

деформации

суммируются

, 

поэтому

определяющие

соотношения

ползуче

-

пластической

среды

принимают

вид

:

Схема

ползуче

-

пластической

среды

,

,

,

,

s

s

s

если

если

если

σ

σ

η

σ

ε

σ

σ

η

σ

ε

σ

σ

η

σ

ε

−

=

≤

<

=

=

≥

&

&

&

.

,

s

s

если

σ

σ

η

σ

ε

≤

Нелинейные

наследственные

модели

„

Схема

на

рисунке

вверху

соответствует

неньютоновской

жидкости

Шведова

–

Бингама

. 

Такая

среда

не

деформируется

, 

если

напряжение

ниже

предельного

, 

и

обладает

свойствами

вязкой

жидкости

,

если реализуется предельное состояние

.

жидкости

, 

если

реализуется

предельное

состояние

.

„

При

параллельном

соединении

суммируются

напряжения

, 

поэтому

определяющие

соотношения

среды

Шведова

–

Бингама

записываются

в

виде

,

s

s

если

σ

σ

η

σ

σ

ε

≥

−

=

&

„

На рисунке внизу представлена реологическая схема модели

.

,

,

,

0

s

s

s

если

если

σ

σ

η

σ

σ

ε

σ

σ

ε

η

−

≤

+

=

<

=

&

&

Схема

Шведова

–

Бингама

„

На

рисунке

внизу

представлена

реологическая

схема

модели

упруго

-

вязко

-

пластической

среды

, 

которая

широко

применяется

при

описании

высокоскоростного

деформирования

металлических

и

металлокерамических

материалов

в

задачах

пробивания

элементов

защитных

конструкций

. 

Определяющие

соотношения

модели

имеют

вид

:

вид

:

,

,

,

,

s

s

s

если

E

если

E

σ

σ

σ

ε

σ

σ

η

σ

σ

σ

ε

<

=

≥

−

+

=

&

&

&

&

„

Нелинейные

модели

материалов

, 

по

-

разному

сопротивляющихся

растяжению

и

сжатию

, 

в

настоящее

время

еще

недостаточно

.

s

s

если

E

σ

σ

η

σ

σ

σ

ε

−

≤

+

+

=

&

&

Схема

упруго

-

вязко

-

пластической

среды

развиты

. 

р д

Теория

старения

. 

Метод

изохронных

кривых

„

Теория

старения

дает

альтернативный

способ

описания

ползучести

материалов

. 

В

рамках

этой

теории

деформация

считается

функцией

от

напряжения

, 

температуры

и

времени

. 

Полагая

, 

что

температура

является

заданной

постоянной

величиной

, 

запишем

определяющее уравнение в общем виде

)

(

t

f

c

σ

ε

=

определяющее

уравнение

в

общем

виде

„

Здесь

индекс

 “c” 

употребляется

для

обозначения

деформации

ползучести

. 

Теория

старения

описывает

деформацию

материала

, 

несущая

способность

которого

меняется

со

временем

. 

Уравнение

теории

старения

не

инвариантно

относительно

сдвига

по

времени

. 

).

,

(

t

f

σ

ε

=

„

Функция

    

строится

на

основе

серии

диаграмм

ползучести

материала

. 

Для

этого

служит

метод

изохронных

кривых

.

„

Фиксируя

момент

времени

     , 

можно

f

1

t

ру

р

,

определить

систему

точек

пересечения

с

кривыми

ползучести

. 

Каждой

из

этих

точек

соответствует

точка

с

  

координатами

            ,            , … 

на

Метод изохронных кривых

)

,

(

0

0

σ

ε

)

,

(

1

1

σ

ε

рд

,

,

плоскости

          . 

Метод

изохронных

кривых

„

Геометрическим

местом

точек

является

диаграмма

одноосного

деформирования

материала

 –

изохронная

кривая

в

данный

момент

     . 

Аналогично

можно

построить

)

,

(

0

0

)

,

(

1

1

)

,

(

σ

ε

1

t

серию

изохронных

кривых

для

моментов

времени

    ,      

и

так

далее

. 

На

практике

оказывается

, 

что

изохронные

кривые

подобны

между

собой

. 

2

t

3

t