Материал: Механика деформируемого твердого тела
Главные
напряжения
Для
нахождения
главных
напряжений
выписывается
характеристический
многочлен
р
р
Его
корни
являются
главными
значениями
напряжений
и
обозначаются
Коэффициенты соответствуют первому
0
I
I
I
3
2
2
1
3
=
−
+
−
λ
λ
λ
σ
σ
σ
обозначаются
.
Коэффициенты
соответствуют
первому
,
второму
и
третьему
инвариантам
напряжений
и
равны
соответственно
3
2
1
,
,
σ
σ
σ
I
J
ii
1
1
I
J
σ
=
=
(
)
2
1
ij
ij
2
2
J
I
J
2
1
−
=
−
=
σ
σ
ij
3
3
det
I
J
σ
=
=
Нормальные
и
касательные
напряжения
Разложим
вектор
напряжения
в
ортогональные
компоненты
–
нормальную и касательную к
n
i
t
нормальную
и
касательную
к
элементу
поверхности
.
Нормальная
компонента
вектора
напряжения
равна
ds
n
t
Касательная
компонента
получается
как
разность
j
i
ij
i
n
i
n
n
n
n
t
σ
σ
=
=
2
n
n
2
t
t
σ
σ
Предполагаем
,
что
главные
напряжения
упорядочены
:
2
n
n
i
n
i
2
s
t
t
σ
σ
−
=
σ
σ
σ
>
>
Нормальные
и
касательные
напряжения
3
2
1
σ
σ
σ
>
>
n
t
n
σ
=
и
оси
координат
совпадают
с главными
направлениями
тензора
напряжений
.
В этом случае справедливо соотношение
i
n
t
i
i
σ
=
В
этом
случае
справедливо
соотношение
Получим
(
)
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
s
n
n
n
n
n
n
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
+
+
−
+
+
=
Максимальные
касательные
напряжения
Максимальное
и
минимальное
значение
можно
получить
методом
множителей
Лагранжа
.
Метод
состоит
из
построения
функции
где
-
множитель Лагранжа Условие экстремума имеет вид
s
σ
i
i
2
s
n
n
L
λ
σ
−
=
λ
0
L
=
∂
где
-
множитель
Лагранжа
.
Условие
экстремума
имеет
вид
Приравнивая
нулю
эти
производные
,
получим
λ
0
n
i
∂
(
)
[
]
0
n
n
n
2
n
2
3
3
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
=
+
+
+
−
λ
σ
σ
σ
σ
σ
(
)
[
]
0
n
n
n
2
n
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
=
+
+
+
−
λ
σ
σ
σ
σ
σ
Вместе
с
условием
систему
можно
разрешить
.
Одно
из
решений
имеет
вид
(
)
[
]
3
3
2
2
1
1
2
2
2
(
)
[
]
0
n
n
n
2
n
2
3
3
2
2
2
2
1
1
3
2
3
3
=
+
+
+
−
λ
σ
σ
σ
σ
σ
1
n
n
i
i
=
0
0
n
0
n
1
n
±
σ
Величина касательного напряжения минимальная и равна нулю в главных площадках
0
0
n
0
n
1
n
s
3
2
1
=
=
=
±
=
σ
0
0
n
1
n
0
n
s
3
2
1
=
=
±
=
=
σ
0
1
n
0
n
0
n
s
3
2
1
=
±
=
=
=
σ
Величина
касательного
напряжения
минимальная
и
равна
нулю
в
главных
площадках
.
Другое
решение
системы
имеет
вид
(
)
2
/
2
/
1
n
2
/
1
n
0
n
3
2
s
3
2
1
σ
σ
σ
−
=
±
=
±
=
=
(
)
2
/
2
/
1
n
0
n
1
n
3
1
s
3
2
1
σ
σ
σ
−
=
±
=
=
±
=
(
)
Эти
формулы
дают
максимальное
значение
касательного
напряжения
,
которое
действует
в
плоскости
делящей
пополам
прямой
угол
между
направлениями
максимального
и
минимального
главных
напряжений
.
(
)
2
/
0
n
2
/
1
n
1
n
2
1
s
3
2
1
σ
σ
σ
−
=
=
±
=
±
=
Круги
Мора
Удобное
двумерное
графическое
представление
трехмерного
напряженного
состояния
в
точке
дают
круги
Мора
.
Предполагаем
,
что
оси
координат
совпадают
с
главными
направлениями
тензора
напряжений
,
а главные напряжения упорядочены
:
напряжений
,
а
главные
напряжения
упорядочены
:
В
этом
случае
нормальная
и
касательная
компоненты
вектора
напряжения
удовлетворяют
соотношениям
С учетом условия
получим
3
2
1
σ
σ
σ
>
>
2
3
3
2
2
2
2
1
1
n
n
n
n
σ
σ
σ
σ
+
+
=
1
n
n
=
С
учетом
условия
получим
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
n
2
s
n
n
n
σ
σ
σ
σ
σ
+
+
=
+
1
n
n
i
i
=
(
)
(
)
(
)(
)
3
1
2
1
2
s
3
n
2
n
2
1
n
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
−
−
+
−
−
=
(
)
(
)
2
σ
σ
σ
σ
σ
+
−
(
)
(
)
(
)(
)
1
2
3
2
s
1
n
3
n
2
2
n
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
−
−
+
−
=
(
)
(
)
(
)(
)
2
s
2
n
1
n
2
3
n
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
+
−
−
=
На
рисунке
ось
абсцисс
-
,
а
ось
ординат
Для
данного
напряженного
состояния
нормальная
и
касательная
компонента
вектора
напряжения
может
находиться
(
)(
)
2
3
1
3
σ
σ
σ
σ
−
−
n
σ
s
σ
р
р
д
только
в
затененной
области
рисунка
.
Максимальное
касательное
напряжение
вычисляется
по
формуле
2
3
1
max
σ
σ
τ
−
=
2
Плоское
напряженное
состояние
Если
одно
из
главных
напряжений
тождественно
равно
нулю
,
то
реализуется
плоское
напряженное
состояние
.
В
случае
если
0
3
≡
σ
тензор
напряжения
имеет
вид
⎟
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎜
⎛
=
0
0
22
12
12
11
ij
σ
σ
σ
σ
σ
Плоское
напряженное
состояние
реализуется
в
тонких
пластинах
⎟
⎠
⎜
⎝
0
0
0
пластинах
.
Тензор
напряжения
можно
разложить
в
два
тензора
,
девиатор
напряжения
и
шаровой
тензор
(
тензор
гидростатических
напряжений
)
по формуле
напряжений
)
по
формуле
где
называется
средним
напряжением
.
ij
ij
'
ij
σδ
σ
σ
−
=
(
)
3
2
1
3
1
σ
σ
σ
σ
+
+
=
Очевидно
,
что
первый
инвариант
девиатора
тензора
напряжений
тождественно
равен
нулю
.
3
0
J
'
3
'
2
'
1
'
1
=
+
+
=
σ
σ
σ