Материал: mur_dzhe_lektsii_vitgenshteina_v_193033_gg

___________________________________________________________________________

цветов» на самом деле тождественна логической сумме «В этом квадрате — или красный, или зелёный, или синий, или жёлтый цвет». Тогда как в случае со Смитом,

Джонсом и Робинсоном имеется такая пропозиция, как «Смит находится в комнате», а

значит и такая пропозиция, как «Смит, Джонс и Робинсон — единственные люди,

находящиеся в комнате». Далее Витгенштейн характеризует как большую ошибку,

совершённую им в Трактате, своё тогдашнее убеждение в том, что в случае со всеми

классами, «определёнными грамматикой», общие пропозиции тождественны или логическим произведениям, или логическим суммам (имеются в виду логические произведения или суммы пропозиций, являющихся значениями fx), — так же, как они тождественны, согласно его утверждению, в случае с классом «первичных цветов». По его словам, во время работы над Трактатом он полагал, что все подобные общие пропозиции являются «истинностными функциями», однако теперь он считает, что ошибался. И такая ошибка, по его словам, распространена в математике: её совершают,

например, когда полагают, что 1 + 1 + 1 … это сумма, тогда как это только предел, или

что это частное, тогда как это тоже лишь предел. Как говорит Витгенштейн, его

ввело в заблуждение то обстоятельство, что (x) . fx можно заменить на fa . fb . fc …, и он не увидел того, что последнее выражение не всегда является логическим произведением. Что это только тогда логическое произведение, когда точки являются тем, что он назвал «точками лени» (ими мы пользуемся, например, представляя алфавит в виде «A, B, C …»), то есть тогда, когда целое выражение можно заменить перечислением. Однако там, где точки не являются «точками лени», например, там, где мы представляем кардинальные числа посредством 1, 2, 3 …, это уже не логическое произведение, а целое выражение нельзя заменить перечислением. Как заметил Витгенштейн, во время написания Трактата он стал бы защищать этот ошибочный взгляд, которого затем придерживался, задавая вопрос: «Как вообще (x) . fx может влечь за собой fa, если (x) . fx не является логическим произведением? По его словам,

ответ на этот вопрос состоит в следующем: там где (x) . fx не является логическим произведением, пропозиция «(x) . fx влечет за собой fa» «рассматривается как первичная пропозиция», а там, где это является логическим произведением, данная пропозиция выводится из других первичных пропозиций.

Соображение, которое Витгенштейн здесь высказывает, утверждая, что в случае с кардинальными числами речь не идёт о логическом произведении, он уже высказывал ранее. А именно в (I), хотя там он не указывал на то, что в Трактате он совершил

52 Vox. Философский журнал. Выпуск 19 (декабрь 2015)

___________________________________________________________________________

ошибку, полагая, будто бесконечная последовательность является логическим произведением — что её члены можно перечислить, хотя мы и не способны на такое перечисление. В данном фрагменте из (I) он начинает со слов о том, что под пропозицией «Имеется бесконечное количество оттенков серого между чёрным и белым» мы «подразумеваем нечто совсем иное», чем то, что имеем в виду, когда говорим, к примеру, «Я вижу в этой комнате три цвета». Поскольку, хотя вторую пропозицию можно проверить подсчётом, первую нельзя. По его словам, «Имеется бесконечное количество» не даёт ответа на вопрос «Сколько их?», тогда как «Их три» отвечает на данный вопрос. Далее он обсуждает бесконечную делимость пространства и утверждает (об этом я уже упоминал на стр. 296), что «лингвистическим выражением» пропозиции «Эту линию можно разделить пополам» является предложение «Слова „Эта линия разделена пополам“ имеют смысл», однако предложение «Слова „Эта линия делима до бесконечности“ имеют смысл» явно не является «лингвистическим выражением» пропозиции «Эта линия делима до бесконечности». Он говорит, что, выражая «разделена пополам», «разделена на три равные части», «разделена на четыре равные части» и т.д. посредством f(1 + 1), f(1 + 1 + 1), f(1 + 1 +1 +1) и т.д., мы видим, что между членами последовательности имеет место внутреннее отношение и что данная последовательность не имеет конца. И заключает,

что «лингвистическим выражением» бесконечной возможности является бесконечная возможность в языке. Витгенштейн также указывает на то, что Σ1 + 12 + 14 … стремится к пределу, тогда как логическое произведение не стремится ни к какому пределу. И,

наконец, он говорит, что случаи, к которым относятся символы (x) . x и ( x) из

Principia, при которых первое может рассматриваться как логическое произведение, а

второе — как логическая сумма пропозиций вида , , и т.д., относительно редки. Чаще мы имеем дело с такими пропозициями, как «Я встретил человека»,

которые не «предполагают никакой совокупности». Он также говорит, что данные символы из Principia применимы только к таким случаям, когда мы можем давать рассматриваемым сущностям собственные имена; а давать собственные имена возможно только в совершенно особых случаях.

Помимо этих двух важнейших вопросов, в связи с которыми Витгенштейн говорит о явной ошибочности своих взглядов эпохи работы над Трактатом, его главными соображениями по поводу логики, как мне кажется, были следующие:

(3) Согласно одному из них, Рассел был совершенно неправ, полагая, будто из использования выражений вида «p q» со значением, приданным « » в Principia

___________________________________________________________________________

Mathematica, следует, что из ложной пропозиции мы можем получить как следствие

любую другую пропозицию, а из истинной пропозиции мы можем получить как следствие любую другу истинную пропозицию. Как говорит Витгенштейн, это ошибочное мнение Рассела частично объясняется тем, что тот считал возможным переводить «p q» посредством «Если p, то q». Согласно Витгенштейну, мы никогда не употребляем «Если p, то q», имея в виду только то, обозначается посредством «p q».

Он также говорит, что Рассел признал это, но продолжал утверждать, что в случае с тем, что он называет «формальными импликациями», то есть пропозициями вида (x) .

x x, подобная пропозиция может быть корректно переведена посредством «Если

…, то …». По словам Витгенштейна, это тоже ошибка. Он приводит следующий довод.

Если мы, к примеру, заменим «является человеком» на , а «является смертным» на ,

тогда сам по себе факт, что не существует ни одного человека, будет подтверждать истинность (x) . x x. Однако мы никогда не используем «Если …, то …» так, что сам по себе факт, что не существует ни одного человека, подтверждал бы истинность высказывания «Если нечто есть человек, то это является смертным».

(4) Он также по нескольким поводам говорит о «штрихе» Шеффера и по одному поводу о «трёхзначной» логике Тарского.

В отношении первого Витгенштейн сказал, что «штрих» напоминает о том, что называют математическими «открытиями» — в том смысле, что Шеффер не располагал правилом поиска ответа на вопрос «Существует ли только одна логическая константа?», тогда как, например, для задачи на умножение имеется правило нахождения ответа. По словам Витгенштейна, там, где нет правила, употребление слова

«открытие» вводит в заблуждение, хотя это слово постоянно так употребляют. Он сказал, что Рассел или Фреге вполне могли бы использовать выражение «p|q» как сокращение для «~ p . ~ q», и всё же утверждал, что у них имеется две первичных идеи, «и» и «не», а не одна. Поэтому ясно, что Витгенштейн, признавая, что Шеффер действительно определил «p|q» как то, что значит «~ p . ~ q», всё же считал, что Шеффер сделал что-то ещё. Но что именно? Как он говорит, «открытие» Шеффера состоит в нахождении «нового аспекта» некоторых выражений. Однако я с сожалением признаю, что не понял, а сейчас не понимаю, что Витгенштейн под этим подразумевал.

О трёхзначной логике Тарского он сказал, что она вполне приемлема как

«исчисление» — что Тарский на самом деле «открыл» новое исчисление. Но Витгенштейн заявил, что «истинно» и «ложно» не могут иметь в данной логике то значение, которое они на самом деле имеют. И он особо подчеркнул, что Тарский

54 Vox. Философский журнал. Выпуск 19 (декабрь 2015)

___________________________________________________________________________

ошибся, когда посчитал своё третье значение, которое он называл «неопределённо»,

тождественным тому, что мы обычно подразумеваем под «неопределённо».

(C) Из проблем, являющихся специфическими проблемами философии математики, он, как я считаю, больше всего обсуждал три проблемы, о которых сейчас пойдёт речь. Однако в данном случае я хотел бы напомнить читателю о том, о чём уже заявлял в своей первой статье (стр. 5). Я просто не в состоянии упомянуть обо всём, о

чём он говорил. Также возможно, что некоторые вещи, которые я опускаю, в

действительности важнее тех, что мной упомянуты. Также я хочу предупредить, что в данном конкретном случае особенно велика вероятность того, что я не понял или неверно проинтерпретировал Витгенштейна, поскольку мои собственные математические познания весьма скромны. Однако полагаю, что сказанное мной даст,

по крайней мере, некое представление о том виде вопросов, которые он хотел обсуждать.

(1) В (I) Витгенштейн сказал, что в математике используется два совершенно разных вида пропозиций, причём «ни тот, ни другой совершенно не похож на то, что обычно называют пропозициями». Это (1) пропозиции, доказываемые с помощью цепочки уравнений, в которой вы переходите от аксиом к другим уравнениям посредством аксиом, и (2) пропозиции, доказываемые с помощью «математической индукции». И в (III) он добавляет, что доказательства второго вида (он называет их здесь «рекурсивными доказательствами») не являются доказательствами в том же самом смысле, что доказательства первого вида. Он также сказал, что люди постоянно впадают в заблуждение, когда считают, что «истинно», «проблема», «поиск», «доказательство» всегда означают одно и то же, тогда как на самом деле эти слова в разных случаях «означают совершенно разные вещи».

В качестве примера пропозиции второго вида Витгенштейн приводит закон ассоциативности сложения, а именно «a + (b + c) = (a + b) + c»; он довольно подробно рассматривает доказательство этой пропозиции по двум отдельным поводам — сначала в (I), а затем в (II). В обоих случаях Витгенштейн обсуждает доказательство,

представленное Сколемом, хотя в (I) он прямо не говорит, что рассматриваемое доказательство принадлежит Сколему. В (I) Витгенштейн заявляет, что, по-видимому, в

данном доказательстве та самая пропозиция, которую собираются доказать, в какой-то момент появляется в качестве допущения, а в (III) он указывает на то, что на одном из шагов доказательства Сколем действительно исходит из закона ассоциативности как из допущения. По словам Витгенштейна, поскольку Сколем заявляет, что даёт

___________________________________________________________________________

доказательство, от него можно было бы ожидать вывода из другой формулы, однако в действительности доказательство начинается совершенно иначе, а именно с определения — определения «a + (b +1) = (a + b) + 1». Как в (I), так и в (III)

Витгенштейн утверждает, что Сколему совсем не нужно было допускать закон ассоциативности на одном из шагов доказательства. В (I) он говорит, что данное доказательство «фактически полностью покоится на определении», а в (III), что на самом деле вам не надо использовать закон ассоциативности в доказательстве. Чтобы это показать, он записал доказательство «по-своему», сказав, что при записи определения в виде « 1 = 1» доказываются только две формулы (a) (с + 1) = с + 1

и (b) (с + 1) = с + 1, и что доказательство этих двух формул и означает то, что называют «доказательством закона ассоциативности для всех чисел». Как он утверждает далее, то обстоятельство, что данное доказательство доказывает всё, что нам нужно, «показывает, что мы вовсе не имеем дела с расширением». По его словам, вместо того,

чтобы вести речь о конечной части последовательности «1, 2, 3…», с одной стороны, и

всей последовательности, с другой стороны, мы должны вести речь о небольшой части последовательности и законе, который её порождает. Что доказывание закона ассоциативности «для всех чисел» не может означать то же самое, что доказывание его,

например, для трёх чисел, поскольку для того, чтобы сделать это последнее, вам пришлось бы привести отдельное доказательство для каждого из трёх чисел. И что то,

что мы имеем в доказательстве, является общей формой доказательства для любого

числа. Наконец, он говорит, что всеобщность, обманчиво выраженная в словах о том,

что мы доказали закон ассоциативности для «всех кардинальных чисел», на самом деле присутствует в определении; что это можно было бы записать в виде последовательности, то есть «1 + (1 + 1) = (1 + 1) + 1» «1 + (2 + 1) = (1 + 2) + 1» «2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1» и так далее; и что данная последовательность не есть логическое произведение, частью которого являются приведённые примеры, но правило, и что

«данные примеры здесь только для того, чтобы объяснить это правило».

(2) Ещё одна проблема философии математики, которую Витгенштейн рассматривал по отдельным поводам не менее трёх раз — что следует сказать, отвечая на очевидный вопрос «Имеется ли где-нибудь при разложении числа π три последовательных цифры 7?» Иногда вместо вопроса «Есть ли три?» он выбирает вопрос «Есть ли где-нибудь пять последовательных цифр 7?». Сначала он рассматривает этот очевидный вопрос в (I) — в связи с позицией Брауэра, считавшего,

что закон исключённого третьего неприменим к некоторым математическим