Материал: Неопределенные и определенные интегралы. Методические указания и задания по математике. Акчурина Л.В., Дементьева А.М

Общее решение (4.2) дифференциального уравнения (4.1) на плоскости это множество интегральных кривых, а каждому частному решению уравнения (4.1) соответствует одна из них. Если частное решение определяется начальным условием , то интегральная кривая проходит через точку .

Решениями дифференциального уравнения , очевидно, являются функции , , и т.д., которые можно коротко записать в виде – это и есть общее решение, а интегральные кривые на плоскости – параболы (см. слева).

Для определения интегральной кривой, проходящей через точку , найдем значение произвольной постоянной из условия: , в нашем случае: , т.е. , следовательно, . Соответствующее частное решение имеет вид , его график обозначен на рисунке штриховой линией.

4.4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Если дифференциальное уравнение может быть представлено в виде (4.1), где правая его часть допускает представление в виде произведения: , то такое уравнение называется уравнением c разделяющимися переменных. Такое уравнение можно привести к виду, где разные переменные сгруппированы в разных частях равенства

,

последнее уравнение называется уравнением в разделенных переменных.

Замечание. В процессе деления на необходимо чтобы , т.к. имеется возможность потерять решение ( ), где – тогда необходимо отдельно проверить является ли функция решением исходного уравнения.

Пример 20. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Представим уравнение в виде , где правая часть представлена в виде произведения , т.е. исходное уравнение, при делении его допускает разделение переменных (далее проверить, что есть решение уравнения). Проинтегрируем последнее уравнение: , т.е.

. Если , то получим потерянное решение .

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может быть задано в виде

, (4.3)

где функции и тоже могут быть представлены в виде произведения функций , :

. (4.4)

Чтобы решить уравнение (4.4) необходимо выполнить разделение переменных, для этого выполним деление обеих его частей на произведение . Получим уравнение в разделенных переменных:

. (4.5)

Интегрируя обе части уравнения (4.5), получим общее решение

. (4.6)

Пример 21. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Представим уравнение в виде , очевидно, это уравнение вида (4.4). Разделим обе его части на произведение : , отсюда . Вычислим каждый из интегралов:

,

аналогично, .

Общее решение (4.6) имеет вид: , умножим обе части на 2 и представив , получим , откуда .

Пример 22. Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию .

Решение состоит из двух этапов.

1 этап. Определяется общее решение дифференциального уравнения. См. пример 21, в котором оно было найдено: .

2 этап. Из общего решения определяется то единственное, которое соответствует начальному условию , т.е. при и >0 определяется значение постоянной : .

Итак, частное решение имеет вид .

Варианты контрольных заданий Задания для самостоятельной работы.

№ 1 - № 7. Вычислите неопределенные интегралы.

№ 8, № 9. Вычислите определенные интегралы.

№ 10. Найдите площадь фигуры ограниченной заданными линиями.

№ 11. Вычислите длину кривой на заданном интервале.

№ 12. Найдите объем тела полученного в результате вращения плоской фигуры вокруг заданной (в фигурных скобках) оси.

№ 13. Найдите общее решение дифференциального уравнения.

№ 14. Найдите частное решение дифференциального уравнения.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.