Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 51-55

2.7. Приведение некоторых дифференциальных уравнений к виду уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Если условие (2.68) для коэффициентов в уравнении (2.62) не выполнено,

то есть	P	Q	, то уравнение (2.62) не является уравнением в полных

	y	x

дифференциалах. Естественно возникает вопрос: можно ли уравнение не в полных дифференциалах привести к виду уравнения в полных дифференциалах.

1. Введем понятие интегрирующего множителя.

Оказывается, что в ряде случаев уравнение вида (2.62) можно привести к уравнению в полных дифференциалах. Идея такого приведения состоит в

нахождении такой функции	(x, y), называемой интегрирующим
множителем, после умножения, на которую уравнение
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0		(2.78)
преобразуется в уравнение
(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy 0		(2.79)
в полных дифференциалах, то есть
Pdx Qdy dU(x, y).		(2.80)

В п. 2.6 показано, что необходимым и достаточным условием этого является соотношение (2.68), которое в рассматриваемом случае принимает вид

	( P)		( Q).	(2.81)

y		x

Равенство (2.81) рассматривается как дифференциальное уравнение, решением которого является интегрирующий множитель (x, y). Выполняя дифференцирование, получим:

	(x, y)		(x, y)	P(x, y)		Q(x, y)		(2.82)
Q(x, y)		P(x, y)		(x, y)			.
	x		y			x
					y

Полученное уравнение содержит неизвестную функцию (x, y), и ее частные производные по x и по y, то есть является дифференциальным уравнением в частных производных. Решение такого уравнения представляет более сложную задачу, чем решение исходного уравнения (2.78). Далеко не всегда из уравнения (2.82) удается найти интегрирующий множитель и выразить с помощью квадратур.

2. Построение интегрирующего множителя в частных случаях.

Достаточно просто интегрирующий множитель находится в случаях, когда он является функцией одной переменной - x или y.

50

Рассмотрим сначала случай интегрирующего множителя, зависящего только от x. Пусть уравнение (2.78) имеет интегрирующий множитель вида(x). Тогда уравнение (2.82) упрощается и имеет вид

			d (x)	P(x,y)		Q(x,y)		(2.83)
	Q(x, y)			(x, y)			,

			dx		y	x

поскольку		0. Уравнение			(2.83)	является		обыкновенным

	y

дифференциальным уравнением. Из (2.83) разделяя переменные, имеем:

d	1	P(x, y)		Q(x, y)		(2.84)
					dx.

			y	x
	Q(x, y)

По предположению функция зависит только от x. Поэтому только от x зависит левая часть дифференциального равенства, а, следовательно, и правая часть этого равенства. Таким образом, для существования интегрирующего множителя вида (x) необходимо, чтобы

1

P(x,y)

Q(x,y)

(x).

y

x

Q(x,y)

Запишем уравнение (2.84) в виде

d

(x)dx.

Интегрируя это уравнение,

получим

d

(x)dx C,

(x) Cexp( (x)dx).

(x)dx,

ln

(2.85)

(2.86)

Обычно в выражении (2.86) берется частное значение C 1.

Покажем, что при выполнении условия (2.85) функция (2.86) превращает уравнение (2.78) в уравнение в полных дифференциалах. Используем признак

(2.81), имеем:

e (x)dxP(x, y) e (x)dx P(x, y),

y y

e (x)dxQ(x, y) e (x)dx (x)Q(x, y) e (x)dx Q(x, y).

x x

Преобразуем второе выражение, используя равенство (2.85). Получим:

x e (x)dxQ(x,y) e (x)dx Py Qx e (x)dx Qx e (x)dx Py .

Таким образом, условие (2.81) выполнено и уравнение (2.79) для нашего случая будет являться уравнением в полных дифференциалах.

Итак, доказано утверждение:

51

Для того чтобы дифференциальное уравнение (2.78) имело

интегрирующий множитель,

зависящий

от

x,

необходимо и достаточно,

1

P

Q

чтобы выражение

было функцией только от x. В этом случае

y

x

Q

интегрирующий множитель находится по формуле:

1

P

Q

(x) exp

dx .

(2.87)

y

Пример. Найти

Q

x

интегрирующий

множитель линейного

уравнения

y p(x)y q(x).

Решение. Запишем уравнение в симметрической форме:

p(x)y q(x) dx dy 0.

Проверим выполнимость условия (2.85):

P(x, y)

p(x)y q(x) p(x),

Q(x, y)

0,

y

x

1

P

Q

P(x) (x).

y

x

Q

Следовательно, функция (x) exp( p(x)dx) является интегрирующим

множителем линейного уравнения 1-го порядка.

Найдем теперь условие, при котором интегрирующий множитель

зависит только от y. В этом случае уравнение (2.82)					также упрощается и
принимает вид
P(x, y)	d	Q	P
				.	(2.88)
				.	(2.88)
	dy	x
	dy	x	y

Если P(x, y) 0, имеем:

d (y)	1	Q(x, y)	P(x, y)
				dy.

(y)		x	y
	P(x, y)

Если

1			Q(x, y)	P(x, y)		(2.89)
					(y),

			x	y
	P(x, y)
то, интегрирующий множитель дается формулой
		(y) exp( (y)dy).				(2.90)

При этом условие (2.89) является необходимым и достаточным для того, чтобы уравнение (2.78) имело такой интегрирующий множитель.

Имеется, помимо рассмотренных, немногочисленные случаи, для которых

интегрирующий множитель находится без затруднений.		Например, легко
находится интегрирующий множитель	уравнения с	разделяющимися
52

переменными, однородного дифференциального уравнения 1-го порядка и в некоторых других случаях, на которых мы не будем останавливаться.

Рассмотрим примеры интегрирования конкретных дифференциальных уравнений с помощью интегрирующего множителя.

Пример. Найти общий интеграл уравнения

(3x 6xy 3y2)dx (2x2 3xy)dy 0.

Решение. Это дифференциальное уравнение не является ни уравнением с разделяющимися переменными, ни однородным, ни линейным, ни уравнением Бернулли. Выясним, является ли оно уравнением в полных дифференциалах.

Проверим выполнение условия

P

Q

:

P(x, y)

y

x

Q(x, y)

(3x 6xy 3y2) 6x 6y;

(2x2 3xy) 4x 3y.

y

x

y

x

Видим, что условие не выполняется. Проверим, имеет ли уравнение интегрирующий множитель, зависящий только от x, воспользовавшись условием (2.85). Имеем:

1	P(x,y)		Q(x, y)	1			1
						(2x 3y)		(x).

		y	x		x(2x 3y)		x
Q(x, y)

Уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий от x, который находим по формуле (2.87):

	dx		ln x
(x) exp		e			x.

	x	x,
Умножив обе части уравнения	на			получим уравнение в полных

дифференциалах:

(3x2 6x2y 3xy2)dx (2x3 3x2y)dy 0.

Общий интеграл этого уравнения найдем по формуле (2.74), положив

x0 y0	0:
	x				3
	(3x2 6x2y 3xy2)dx C, x3	2x3y			3	x	2y2 C.
	(3x2 6x2y 3xy2)dx C, x3	2x3y			2	x	2y2 C.
	0	1	1
Общий интеграл получен. Поскольку		1	1	0,			то решения, не
Общий интеграл получен. Поскольку			x	0,			то решения, не
			x

вытекающего из общего нет. Решение x 0, входящее в состав общего интеграла (при C 0), не является посторонним, что показывает его подстановка в исходное уравнение.

Пример. Найти общий интеграл уравнения y(1 xy)dx xdy 0. Решение. Это уравнение является уравнением Бернулли, но мы построим

решение, приведя его к виду уравнения в полных дифференциалах.

53

P(x, y)

(y xy2) 1 2xy;

Q(x, y)

1;

y

x

1

P(x,y)

Q(x,y)

1

(2 2xy) (x).

Q(x,y)

y

x

Таким образом, уравнение не имеет интегрирующего множителя, зависящего только от x. Проверим выполнение условия (2.89):

1

P(x,y)

2(1 xy)

2

Q(x, y)

(y).

x

y

y(1 xy)

y

P(x, y)

Уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий от y. Находим

его по формуле (2.90):

dy

2ln y

1

(y) exp(

(y)dy) exp

2

e

.

y

y2

Умножив, данное уравнение на 1 y2 , превращаем его в уравнение в

полных дифференциалах:

1

x

dx

dy 0.

y2

y

Его общий интеграл найдем по формуле (2.74), полагая x0 0, y0 1.

Имеем:

x

y

1

x

x2

x dx

0dy C,

C.

y

2

y

0

1

Кроме общего интеграла получаем дополнительное решение, не

вытекающее

из

общего,

из

уравнения

1

y2 0, y 0. Поскольку

1

0,

то в общем интеграле не содержится посторонних решений.

y2

Для некоторых уравнений удается найти интегрирующий множитель подбором. В этом случае бывает полезным следующее утверждение.

Теорема. Если (x, y) - интегрирующий множитель уравнения (2.78), т.е. (x,y)P(x,y)dx (x,y)Q(x,y)dy dU(x,y), то интегрирующим множителем является функция (U) , где (z)- произвольная непрерывная функция, не равная нулю.

Доказательство. Пусть F(z) - первообразная для функции (z), т.е. F (z) (z). Тогда имеем:

(U) Pdx Qdy (U)dU F (U)dU dF(U).

54

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: