Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 56-60

Это и доказывает, что (U) - интегрирующий множитель уравнения

(2.78).

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегрирующий множитель и проинтегрировать уравнения:

1.

(x2 y2

2x)dx 2ydy 0.

Ответ: ex;

ex(x2 y2) C.

2.

dy

(3x2 cos y sin y)cos y.

Ответ:

1

;

x(x2 tg y) C;

y

k .

dx

cos2

y

2

(x

2

y)dx xsin2ydy 0.

1

;

x

2

sin

2

y Cx.

3.

sin

Ответ:

x2

x

1

y2

x

4.

1

dx 2xy

dy 0.

Ответ:

;

ln

x

ln

y

C.

y

2

x

y

2.8.Пфаффовы формы, полный дифференциал и термодинамика

1.Дифференциальные соотношения, используемые в термодинамике, такие как уравнение первого закона термодинамики для простых систем

Q dU A,

(2.91)

где, Q - количества тепла подводимого (или отводимого) к рассматриваемой термодинамической системе; U - внутренняя энергия системы; A - работа, производимая системой (или производимая над системой);

соотношение для работы термодинамической системы, связанной с увеличением объема V системы против сил внешнего давления p

A pdV;	(2.92)
уравнение второго закона термодинамики
Q TdS,	(2.93)

где, S и T - энтропия и температура системы;

объединенное уравнение первого и второго законов термодинамики (для простой системы)

TdS dU pdV;

а также ряд других термодинамических соотношений, сходны между собой по структуре и имеют следующий вид

Z A1(x1, ,xn)dx1 An(x1, ,xn)dxn,

где x1, ,xn - независимые переменные.

Выражение вида

n
đZ Ak (x1, ,xn)dxk	(2.94)
k 1

55

называется дифференциальным выражением Пфаффа или пфаффовой формой.

(Пфафф Иоганн Фридрих 1765-1825 г.г. – немецкий математик и астроном, один из учителей К. Гаусса. Наибольшие достижения Пфаффа относятся к области исследования теории важного класса дифференциальных уравнений). В формуле (2.94) перечеркнутая буква đ означает, что в правой части равенства стоит, вообще говоря, дифференциальное выражение, которое может быть и полным дифференциалом. Таким образом, введенный символ “đ” объединяет две возможности: đ d , когда правая часть этого равенства

представляет собой полный дифференциал; đ		- в том случае, когда правая
часть не является полным дифференциалом.
Сравнивая,	например, уравнение первого закона термодинамики для
простых систем	(2.91) с выражением (2.94)	видим, что первый закон

термодинамики представляет собой пфаффову форму двух переменных; для термодинамических систем, совершающих, помимо работы расширения, еще один вид работы - пфаффову форму трех переменных

Q dU pdV W ,

где - любая обобщенная сила, за исключением давления, W - любая обобщенная координата, за исключением объема. Выражения (2.92) и (2.93) очевидно являются пфаффовыми формами одного переменного.

2. При рассмотрении дифференциальных выражений вида (2.94) важнейшим вопросом для теории дифференциальных уравнений является вопрос о том, будет ли это выражение полным дифференциалом. Этот вопрос в частном случае двух переменных мы изучали в п. 2.6 и п. 2.7.

Различие в поведении пфаффовых форм, представляющих собой полный дифференциал

	n				n Z(x , ,x		n	)
dZ		A (x , ,x )dx				1			dx ,
						xk
		k 1	n	k					k
	k 1				k 1

Ak (x1, ,xn) Z(x1,xk ,xn) ,

от пфаффовых форм, не являющихся таковыми, весьма существенна и для термодинамики. Дело в том, что вычисленный по любой линии, соединяющий точки M1 и M2 , интеграл от полных дифференциалов

dZ Z(M2) Z(M1)	(2.95)

M1M2

равен разности значений функции Z в этих точках (не зависит от вида линии). Если же đZ dZ, то величина интеграла зависит не только от координат точек M1 и M2 , но и от вида кривой, соединяющей эти точки:

56


	đ Z Z(M1M2).	(2.96)

M1M2

В термодинамике при отсутствии внешних воздействий на простую однокомпонентную систему ее состояние определяется заданием двух независимых интенсивных параметров (Напомним: термодинамические параметры, не зависящие от массы или числа частиц в системе, называются интенсивными). Любой другой параметр состояния такой системы является функцией двух заданных параметров. Иными словами – любые три параметра состояния (например, давление p, удельный объем v Vm или температура T ) однозначно связаны между собой. Уравнение, связывающее эти параметры,

называется уравнением состояния вещества.

Например, уравнения состояния идеального газа – уравнение Клапейрона - Менделеева, имеет вид: pV vRT , где v m - число молей газа; m - масса

газа; - молярная масса;

R 8314,4 Дж (киломоль.K) - универсальная

(молярная) газовая постоянная.

Всистеме координат, по осям которой отложены величины этих параметров, связь между параметрами состояния представляется в виде поверхности состояния. Изменение состояние термодинамической системы приводит к перемещению по поверхности состояния изображающей состояние точки; кривые на поверхности состояния – траектории этой точки.

Втермодинамике разделяют все термодинамические функции на два вида

–функции состояния и функции процесса. Первые из них характеризуются тем,

что при малом изменении состоянии системы изменение этой функции является полным дифференциалом, т.е. при конечном перемещении точки, изображающей состояние системы, имеет место формула (2.95). Для функций процесса – имеет место формула (2.96).

Вп. 2.6 и п. 2.7 мы рассмотрели два класса пфаффовых форм, зависящих от двух переменных: пфаффовы формы, которые не являются полным дифференциалом, но имеют интегрирующий множитель, умножение на который превращает дифференциальное выражение в полный дифференциал некоторой функции.

Например, второй закон термодинамики в формулировке Р. Клаузиуса (Рудольф Юлиус Эмануэль Клаузиус 1822 - 1888 г.г. – выдающийся немецкий

физик) вводит понятие энтропии соотношением dS	1	Q. Энтропия, в

	T

отличии от количества тепла, является функцией состояния и потому dS - есть

полный дифференциал. Последнее означает, что 1 является интегрирующим

T

множителем для пфаффовой формы đQ Q.

57

Кроме указанных выше классов, существует третий класс пфаффовых форм. Принадлежащие этому классу дифференциальные выражения не являются полными дифференциалами, и не имеют интегрирующего множителя.

Голономными пфаффовыми формами называются такие линейные дифференциальные формы (2.94), которые имеют интегрирующий множитель (очевидно, что формы 1-го класса – частный случай 2-го класса).

Пфаффовы формы третьего класса (не имеющие интегрирующего множителя) называются неголономными.

Доказано, что пфаффовы формы двух переменных всегда голономны. В случае трех и более переменных можно утверждать, что одни из них голономны, другие - неголономны. В частности, линейная дифференциальная форма трех переменных

P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y,x)dz

голономна в том случае, если выполняется соотношение:

	Q		R				R

P						Q
	z			y
						x
		x,y						y,z
					x,z

Qz x,y

			Q
P
R				0.

			x
	y	x,z
				y,z

Приведенный в этом параграфе материал указывает перспективу развития теории, изложенной в п. 2.6 и п. 2.7 и связь формальной математической теории с физикой тепловых процессов. В третьем семестре курса “Высшая математика” мы покажем связь этой теории с теорией потенциала, имеющей важнейшее значение для гидро- и аэродинамики, термодинамики и теории электричества.

2.9.Применение дифференциальных уравнений первого порядка

кзадачам физики и экологии

З а д а ч а о р а д и о а к т и в н о м р а с п а д е. Экспериментальным путем установлено, что скорость распада радиоактивного вещества, т. е. скорость изменения его массы в зависимости от времени, прямо

пропорциональна его количеству. Установим закон

изменения

массы m

радиоактивного вещества в зависимости от времени

t ,

считая,

что начальная

масса вещества при t 0

была

m0.

m, в момент времени

Пусть в момент времени

t масса вещества есть

t t масса составляет

m m. За время

t

распадается

масса

m.

Отношение

m

средняя скорость распада за время

t, a

lim

m

dm

t

t 0 t

dt

мгновенная скорость распада в момент времени

t .

58

Согласно условию

dm	km,	(2.97)

dt

где k коэффициент пропорциональности (знак минус взят потому, что масса вещества убывает с течением времени, а производная убывающей функции отрицательна). Получено дифференциальное уравнение первого порядка, из которого надо найти зависимость массы m от времени t . Решая уравнение,

находим dm kdt, lnm kt lnC, откуда

m
m Ce kt.	(2.98)

Формула (2.98) дает зависимость массы вещества как функции времени. В данной задаче постоянная C имеет определенное значение, а именно: при t 0

получаем m0 Ce0 C. Подставляя это значение C в формулу (2.98), получаем

искомую зависимость массы радиоактивного вещества от времени:
m m0 e kt.	(2.99)

Равенство (2.98) представляет собой общее решение дифференциального уравнения, а равенство (2.99) частное решение, отвечающее начальному условию данной задачи.

Коэффициент k определяется экспериментально. Например, для радия k 0,000447. Промежуток времени T , за который распадается половина первоначальной массы радиоактивного вещества, называют периодом полураспада этого вещества. Подставляя в формулу (2.99) вместо m значение m0 /2, вместо k значение 0,000447, получаем уравнение для определения периода полураспада T радия:

			m0		m e 0,000447T	, 0,000447T ln2,
					m e 0,000447T	, 0,000447T ln2,
		2			0
	ln2	2
откуда T	ln2			;T 1550 лет.
откуда T				;T 1550 лет.
0,000447
З а д а ч а		о з а к о н е «е с т е с т в е н н о г о р о с т а1». Закон

«естественного роста» это закон, согласно которому скорость «роста» вещества прямо пропорциональна его количеству. Найдем формулу для определения изменения количества вещества y в зависимости от времени t , считая, что в начальный момент t 0 количество вещества было равно y0 .

Здесь независимой переменной является время t , а искомой величиной количество вещества в любой момент времени. Скорость «роста» вещества есть скорость изменения величины y в зависимости от переменной t .

___________________________________________________________________

1Примеры заимствованы из книги проф. МГУ Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Ч.1. – Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотичная динамика”, 2002. 232 с.

59

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: